1. Analyysin kertausta ja täydennystä

Raja-arvo

Funktion raja-arvo

Funktiolla f(x) on kohdassa x = a raja-arvona luku b, kun x lähestyy a:ta. Tätä merkitään

$\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ \ \left(tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow a\right)$

Nyt funktion raja-arvossa on kyse siitä, että funktio ei saavuta arvoa b, vaan lähestyy sitä.

Raja-arvon laskeminen: Sijoitetaan se muuttujan arvo, jota lähestytään, funktion lausekkeeseen.

Murtofunktioiden tapauksessa, jos lasketaan raja-arvoa kohdassa, jossa funktiota ei ole määritelty, sijoitus voi johtaa muotoon 0/0, jolloin murtolauseketta joudutaan sieventämään ennen raja-arvon laskemista.

Laske raja-arvo.

$\lim_{x\rightarrow1}\left(x^2-3\right)=1^2-3=-2$

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x^2-6x}{x-2}$
$nyt\ x:n\ arvon\ 2\ sijoitus\ johtaa\ muotoon\ \frac{0}{0}$

⇒ murtolauseketta sievennetään. Tiedetään, että myös osoittajan nollakohta on x = 2 ⇒ osoittajasta löytyy myös tekijä x - 2

$=\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x\left(x-2\right)}{x-2}\ \left(\sup istetaan\ yhteinen\ tekijä\ x-2\right)$
$=\lim_{x\rightarrow2}3x=3\cdot2=6$
$eli\ funktion\ raja-arvo\ on\ 6{,}\ kun\ x\ lähestyy\ 2$

Funktion derivaatta

Derivaatan määritelmä

Funktion f erotusosamäärä välillä [a, x] kertoo funktion keskimääräisen muutosnopeuden tällä välillä. Graafisesti tämä on suoran, sekantin kulmakerroin.

Erotusosamäärä välillä [a, x]

$\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$

Seuraavasta linkistä nähdään mitä tapahtuu, kun x lähestyy a:ta:
Derivaatan määritelmä

Eli derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.
Nyt funktion derivaatta kohdassa x = a on erotusosamäärän raja-arvo, kun x lähestyy a:ta.

$f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$

Tämä on funktion kuvaajalle kohtaan x = a piirretyn tangentin kulmakerroin. Derivaatta kertoo funktion hetkellisen muutosnopeuden.

$Määritä\ funktion\ f\left(x\right)=x^2-4x\ derivaatta\ kohdassa\ x=2\ eli\ f'\left(2\right)$
$f'\left(2\right)=\lim_{x\rightarrow2}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4x-\left(2^2-4\cdot2\right)}{x-2}$
$=\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)\left(x-2\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\left(x-2\right)=0$

eli f '(2) = 0. ⇒ Funktion derivaatta kohdassa x = 2 on 0 eli kohtaan x = 2 vastaavaan paraabelin pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla (funktion derivaatan nollakohta on x = 2)

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

Funktiolla on kohdassa x = a raja-arvona luku b, jos funktion vasemman ja oikeanpuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret eli

$\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ \ \Leftrightarrow\ \lim_{x\rightarrow a_-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a_+}f\left(x\right)\left(=b\right)$

$Tässä\ x\rightarrow a_-\ tarkoittaa{,}\ että\ x\ lähestyy\ a:ta\ vasemmalta\ puolelta$

(a:ta pienemmillä x:n arvoilla)

$ja\ x\rightarrow a_+\ tarkoittaa{,}\ että\ x\ lähestyy\ a:ta\ oikealta\ puolelta$
(a:ta suuremmilla arvoilla)

Jotta funktio f olisi jatkuva kohdassa x = a, niin

1. Funktiolla on oltava raja-arvo kohdassa x = a eli

$\lim_{x\rightarrow a_-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a_+}f\left(x\right)\left(\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\ on\ olemassa\right)$

2. Funktion raja-arvon on oltava yhtä suuri kuin funktion arvo kohdassa x = a eli

$\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Jatkuvan funktion kuvaaja on yhteinäinen ("käyrä ei katkea").
Funktion jatkuvuutta ja raja-arvon olemassa oloa tutkitaan yleensä paloittain määritellyille funktioille

esim
Määritä vakio a siten, että funktio f on jatkuva kaikkialla, kun

$f\left(x\right)=\begin{cases} ax-1{,}\ kun\ x>-1&\\ x^2{,}\ kun\ x\le-1& \end{cases}$

Epäoleellinen raja-arvo

Kun lasketaan erityisesti murtofunktion raja-arvoa kohdassa jossa funktio ei ole määritelty, saadaan raja-arvoksi

- ∞ (ääretön), jolloin funktion arvot kasvavat rajatta tai

- -∞ (miinus ääretön), jolloin funktion arvot pienenevät koko ajan lähestyen -∞

Tällaisia raja-arvoja kutsutaan epäoleelliseksi raja-arvoksi, jotka ovat muotoa

$\frac{vakio}{0}$

esim funktiolla

$f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\$

määrittelyehto on x ≠ 1. Määritä sekä kuvaajan perusteella että laskemalla

$\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)$

$f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}{,}\ x\ne1$
$kuvaajan\ perusteella\ \lim_{x\rightarrow1-}f\left(x\right)=-\infty\ \ ja\ \lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=\infty$

$\Rightarrow\ \lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\ ei\ ole$

Laskemalla tai ilman kuvaajaa päättelemällä

$\lim_{x\rightarrow1}\ \frac{1}{x-1}\ on\ muotoa\ \frac{1}{0}\ \ eli\ raja-arvoksi\ tulee\ \pm\infty$

$\begin{array}{l|l} x-1\ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1&\ \ \ \ \ \ \ +\\ \hline \ \ \ \ \ \ \ \lim_{x\rightarrow1-}f\left(x\right)=-\infty&\lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=\infty \end{array}$

Huom! Murtofunktiolla on pystysuora asymptootti nimittäjän nollakohdassa tai nollakohdissa.

$Esim\ funktion\ f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}{,}\ x\ne1\ \ pystysuora\ asymptootti\ on\ suora\ x\ =\ 1$

Asymptootti on suora, jota funktion kuvaaja lähestyy.