3.2 Tangenttifunktio, tangenttiyhtälö ja tangentin derivaatta

333

$\sin3x-\sqrt{3}\cos3x=0$

$\frac{\sin3x}{\cos3x}=\tan3x$

$\sin3x-\sqrt{3}\cos3x=0$

$\sin3x=\sqrt{3}\cdot\cos3x\parallel:\cos3x$ , cos x ei ole nolla, sillä yhtälö ei toteudu, jos cos x on nolla

$\frac{\sin3x}{\cos3x}=\sqrt{3}$
$\tan3x=\sqrt{3}$
$3x=\frac{\pi}{3}+n\cdot\pi\parallel:3$
$x=\frac{\pi}{9}+n\cdot\frac{\pi}{3}$

326

a)
$\tan x=3$
yksi ratkaisu
$\tan^{-1}\left(3\right)=x=1{,}24904...\approx1{,}2$
kaikki ratkaisut
$x=1{,}2+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$
b)
$\tan x=n$ ratkaisuja saadaan suoran $y=n{,}\ n\in\mathbb{R}$ ja kuvaajan leikkauspisteistä

329

$\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$
yksi ratkaisu

$x=\frac{5\pi}{6}$

kaikki ratkaisut

$x=\frac{5\pi}{6}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

ratkaisu välillä $\text{]}-\frac{3\pi}{2}{,}\ -\frac{\pi}{2}\text{[}$

$n=-2$
$x=\frac{5\pi}{6}+\left(-2\right)\cdot\pi=-\frac{7\pi}{6}$

ratkaisu välillä $\text{]}\frac{5\pi}{2}{,}\ \frac{7\pi}{2}\text{[}$

$n=2$
$x=\frac{5\pi}{6}+2\cdot\pi=\frac{17\pi}{6}$

328

a)
$f\left(x\right)=2\tan x-\sin2x$

$f\left(0\right)=2\tan0-\sin2\cdot0=2\cdot0-0=0$

$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\tan\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{2}$
$2-1=1$

$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\tan\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{3}$
$2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

324

a)
$\tan3x=\tan39°$
$3x=39°+n\cdot180°$
$x=13°+n\cdot60°{,}\ n\in\mathbb{Z}$
b)
$\tan2x=-4$
$2x=\tan^{-1}\left(-4\right)+n\cdot180°$
$x=-38°+n\cdot90°{,}\ n\in\mathbb{Z}$

c)
$\tan\frac{x}{2}=1$
$\frac{x}{2}=\tan^{-1}\left(1\right)+n\cdot180°$
$x=90°+n\cdot360°{,}\ n\in\mathbb{Z}$