3. Yhtälö ja yhtälöpari
Ensimmäisen asteen yhtälö
Yhtälössä kaksi lauseketta merkitään yhtä suuriksi. Esimerkiksi lauseke voi olla
[[$2x-3\ \ tai\ x+2$]]
Nämä lausekkeet sisältävät muuttujatermit 2x ja x sekä vakiotermit -3 ja 2.
Molempien lausekkeiden arvot voidaan laskea eri muuttujan arvolla, esim
[[$kun\ x=2\ niin\ lausekkeen\ 2x-3\ arvo\ on\ 2\cdot2-3=1\ \ ja\ lausekkeen\ x+2\ arvo\ on\ 2+2=4$]]
Kun kaksi lauseketta merkitään yhtä suuriksi, saadaan yhtälö
[[$2x-3=x+2$]]
Ne muuttujan arvot, joilla lausekkeet (yhtälön vasen ja oikea puoli) saavat saman arvo, ovat yhtälön ratkaisuja.
[[$Ratkaise\ yhtälö\ 2x-3=x+2$]]
Ratkaise yhtälö
a. [[$4x+2=2\left(x-2\right)$]]
[[$4x+2=2x-4$]]
[[$4x-2x=-4-2$]]
[[$2x=-6\ \ \mid:2$]]
[[$x=-3$]]
[[$b.\ 2\left(3x-1\right)-3\left(x+2\right)=4x$]]
[[$6x-2-3x-6=4x$]]
[[$3x-8=4x$]]
[[$3x-4x=8$]]
[[$-x=8$]] |:(-1)
[[$x=-8$]]
[[$c.\ \frac{x+2}{2}-\frac{x+1}{10}=1$]]
Millä tämä yhtälö kannattaa kertoa, jotta nimittäjät saadaan "häviämään"?
Kahdessa vasemman puolen termissä nimittäjät ovat 2 ja 10 niin kertomalla koko yhtälö luvulla 10, saadaan
molemmat nimittäjät häviämään
[[$\frac{x+2}{2}-\frac{x+1}{10}=1\ \ \ \mid\cdot10$]]
[[$\frac{10\left(x+2\right)}{2}-\frac{10\left(x+1\right)}{10}=10$]]
[[$5\left(x+2\right)-\left(x+1\right)=10$]]
[[$5x+10-x-1=10$]]
[[$4x=1$]]
[[$x=\frac{1}{4}$]]
[[$d.\ \frac{x+8}{4}+\frac{3x-1}{2}=x$]]
Poistetaan nimittäjät kertomalla yhtälön molemmat puolet luvulla 4
[[$\frac{4\left(x+8\right)}{4}+\frac{4\left(3x-1\right)}{2}=4x$]]
[[$x+8+2\left(3x-1\right)=4x$]]
[[$x+8+6x-2=4x$]]
[[$x+6x-4x=-8+2$]]
[[$3x=-6$]]
[[$x=-2$]]
Yhtälö säilyy yhtäpitävänä eli ekvivanlenttina, jos
1. Yhtälön molempiin puoliin lisätään (tai vähennetään) sama luku tai lauseke.
Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että kun yhtälön jokin termi siirretään yhtälön toiselle puolelle niin termin etumerkki vaihdetaan
2. yhtälö (yhtälön molemmat puolet) kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla (≠0).
3. yhtälön puolet vaihdetaan.
[[$2x-3\ \ tai\ x+2$]]
Nämä lausekkeet sisältävät muuttujatermit 2x ja x sekä vakiotermit -3 ja 2.
Molempien lausekkeiden arvot voidaan laskea eri muuttujan arvolla, esim
[[$kun\ x=2\ niin\ lausekkeen\ 2x-3\ arvo\ on\ 2\cdot2-3=1\ \ ja\ lausekkeen\ x+2\ arvo\ on\ 2+2=4$]]
Kun kaksi lauseketta merkitään yhtä suuriksi, saadaan yhtälö
[[$2x-3=x+2$]]
Ne muuttujan arvot, joilla lausekkeet (yhtälön vasen ja oikea puoli) saavat saman arvo, ovat yhtälön ratkaisuja.
[[$Ratkaise\ yhtälö\ 2x-3=x+2$]]
Ratkaise yhtälö
a. [[$4x+2=2\left(x-2\right)$]]
[[$4x+2=2x-4$]]
[[$4x-2x=-4-2$]]
[[$2x=-6\ \ \mid:2$]]
[[$x=-3$]]
[[$b.\ 2\left(3x-1\right)-3\left(x+2\right)=4x$]]
[[$6x-2-3x-6=4x$]]
[[$3x-8=4x$]]
[[$3x-4x=8$]]
[[$-x=8$]] |:(-1)
[[$x=-8$]]
[[$c.\ \frac{x+2}{2}-\frac{x+1}{10}=1$]]
Millä tämä yhtälö kannattaa kertoa, jotta nimittäjät saadaan "häviämään"?
Kahdessa vasemman puolen termissä nimittäjät ovat 2 ja 10 niin kertomalla koko yhtälö luvulla 10, saadaan
molemmat nimittäjät häviämään
[[$\frac{x+2}{2}-\frac{x+1}{10}=1\ \ \ \mid\cdot10$]]
[[$\frac{10\left(x+2\right)}{2}-\frac{10\left(x+1\right)}{10}=10$]]
[[$5\left(x+2\right)-\left(x+1\right)=10$]]
[[$5x+10-x-1=10$]]
[[$4x=1$]]
[[$x=\frac{1}{4}$]]
[[$d.\ \frac{x+8}{4}+\frac{3x-1}{2}=x$]]
Poistetaan nimittäjät kertomalla yhtälön molemmat puolet luvulla 4
[[$\frac{4\left(x+8\right)}{4}+\frac{4\left(3x-1\right)}{2}=4x$]]
[[$x+8+2\left(3x-1\right)=4x$]]
[[$x+8+6x-2=4x$]]
[[$x+6x-4x=-8+2$]]
[[$3x=-6$]]
[[$x=-2$]]
Yhtälö säilyy yhtäpitävänä eli ekvivanlenttina, jos
1. Yhtälön molempiin puoliin lisätään (tai vähennetään) sama luku tai lauseke.
Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että kun yhtälön jokin termi siirretään yhtälön toiselle puolelle niin termin etumerkki vaihdetaan
2. yhtälö (yhtälön molemmat puolet) kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla (≠0).
3. yhtälön puolet vaihdetaan.
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
Potenssiyhtälö
Toisen asteen potenssiyhtälön
[[$x^2=a\ \ ratkaisut\ ovat\ x=\sqrt{a}\ \ tai\ x=-\sqrt{a}{,}\ lyhyem\min\ x=\pm\sqrt{a}$]]
[[$Yhtälöllä\ x^2=a\ ei\ ole\ ratkaisuja{,}\ jos\ a<0$]]
Esimerkki: Ratkaise
a)
[[$x^2-25=0$]]
[[$x^2=25\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm5$]] [[$\left(x=\pm\sqrt{25}\right)$]]
b)
[[$3x^2-18=0$]]
[[$3x^2=18\ \parallel:3$]]
[[$x^2=6$]]
[[$x=\pm\sqrt{6}\approx\pm2{,}45$]]
3. asteen potenssiyhtälö on muotoa tai se on muokattavissa muotoon
[[$x^3=a\ \ ja\ tämän\ ratkaisu\ on\ x=\sqrt[3]{a}$]]
ratkaise yhtälö
[[$2x^3+16=0$]]
[[$2x^3=-16\ \ \parallel:2$]]
[[$x^3=-8$]]
[[$x=\sqrt[3]{-8}=-2\ \ \left(sillä\ \left(-2\right)^3=-8\right)$]]
s. 71 tehtäviä alkaen 346
Kotitehtäviä: 348, 349, 330
[[$x^2=a\ \ ratkaisut\ ovat\ x=\sqrt{a}\ \ tai\ x=-\sqrt{a}{,}\ lyhyem\min\ x=\pm\sqrt{a}$]]
[[$Yhtälöllä\ x^2=a\ ei\ ole\ ratkaisuja{,}\ jos\ a<0$]]
Esimerkki: Ratkaise
a)
[[$x^2-25=0$]]
[[$x^2=25\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm5$]] [[$\left(x=\pm\sqrt{25}\right)$]]
b)
[[$3x^2-18=0$]]
[[$3x^2=18\ \parallel:3$]]
[[$x^2=6$]]
[[$x=\pm\sqrt{6}\approx\pm2{,}45$]]
3. asteen potenssiyhtälö on muotoa tai se on muokattavissa muotoon
[[$x^3=a\ \ ja\ tämän\ ratkaisu\ on\ x=\sqrt[3]{a}$]]
ratkaise yhtälö
[[$2x^3+16=0$]]
[[$2x^3=-16\ \ \parallel:2$]]
[[$x^3=-8$]]
[[$x=\sqrt[3]{-8}=-2\ \ \left(sillä\ \left(-2\right)^3=-8\right)$]]
s. 71 tehtäviä alkaen 346
Kotitehtäviä: 348, 349, 330
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
Yhtälöpari
Yhtälöpari saadaan kun tutkitaan milloin kaksi yhtälöä, joissa on kaksi tuntematonta, ovat samanaikaisesti voimassa.
Yhtälöpari voidaan ratkaista sijoitus- tai yhteenlaskumenetelmällä.
Esimerkki
Selvitä, millä x:n ja y:n arvoilla yhtälöt 2x + y + 1 = 0 ja 2x + 3y - 3 = 0 toteutuvat.
Tätä yhtälöparia merkitään
[[$\begin{cases} 2x+y+1=0&\\ 2x+3y-3=0& \end{cases}$]]
[[$x=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$]]
[[$nyt\ y=-2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)-1=3-1=2$]]
Kotitehtävät: 279a, 381 ja 382Tätä yhtälöparia merkitään
[[$\begin{cases} 2x+y+1=0&\\ 2x+3y-3=0& \end{cases}$]]
Yhteenlaskumenetelmä:
Kun yhtälöt lasketaan allekkain yhteen niin toinen tuntemattomista pitäisi eliminoitua (yhteenlaskussa summa on nolla).
Nyt allekkain laskien kumpikaan ei eliminoidu ⇒ muokataan yhtälöä (joskus molempia) kertomalla yhtälö sopivalla luvulla
Sijoitusmenetelmä:
Toisesta yhtälöstä ratkaistaan toinen tuntemattomista (x tai y), jonka lauseke sijoitetaan toiseen yhtälöön.
Joissakin yhtälöpareissa toinen yhtälö voi olla jo valmiiksi ratkaistu x:n tai y:n suhteen.
[[$\begin{cases} 2x+y+1=0&\\ 2x+3y-3=0& \end{cases}$]]
Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä y
[[$2x+y+1=0$]]
[[$y=-2x-1$]]
tämä y:n lauseke sijoitetaan alempaan yhtälöön y:n paikalle
[[$2x+3\cdot\left(-2x-1\right)-3=0$]]
[[$2x-6x-3-3=0$]]
[[$-4x=6\ \ \parallel:\left(-4\right)$]]
Sijoitusmenetelmä:
Toisesta yhtälöstä ratkaistaan toinen tuntemattomista (x tai y), jonka lauseke sijoitetaan toiseen yhtälöön.
Joissakin yhtälöpareissa toinen yhtälö voi olla jo valmiiksi ratkaistu x:n tai y:n suhteen.
[[$\begin{cases} 2x+y+1=0&\\ 2x+3y-3=0& \end{cases}$]]
Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä y
[[$2x+y+1=0$]]
[[$y=-2x-1$]]
tämä y:n lauseke sijoitetaan alempaan yhtälöön y:n paikalle
[[$2x+3\cdot\left(-2x-1\right)-3=0$]]
[[$2x-6x-3-3=0$]]
[[$-4x=6\ \ \parallel:\left(-4\right)$]]
[[$x=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$]]
[[$nyt\ y=-2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)-1=3-1=2$]]
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.