Derivaattafunktio

Polynomifunktion derivaatta

Funktion f(x) derivaattaa kohdassa x (yleinen derivaatta) merkitään

$f'\left(x\right)\ tai\ \ Df\left(x\right)\ tai\ \frac{df}{dx}=\frac{dy}{dx}\left(=\frac{d}{dx}f\left(x\right)\right)$

Yleensä tehtävissä funktio derivoidaan derivoimissääntöjen avulla, sillä derivointi derivaatan määritelmän avulla on työlästä

Yleisiä derivoimissääntöjä

1. Summan derivointi (esim polynomifunktion jokainen termi derivoidaan erikseen)

$D\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=Df\left(x\right)+Dg\left(x\right)\left(=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)\right)$

2. Vakiotekijän siirtosääntö

$D\left(af\left(x\right)\right)=a\cdot Df\left(x\right)\left(=a\cdot f'\left(x\right)\right)$

3. Vakiofunktion derivaatta on aina nolla eli D a = 0 (a on vakio)

4. Lisäksi polynomin potenssitermeille on voimassa

$Dx^n=n\cdot x^{n-1}$

esimerkiksi

$Dx^3=3x^2{,}\ Dx^5=5x^4\ jne$
$Huom!\ \ Dx=1\left(=1\cdot x^0\right)\ \ \Rightarrow Dax=a$

Määritä
$a.\ \ D\left(x^4-2x^3+4x-2\right)$
Polynomin jokainen termi derivoidaan erikseen

$=Dx^4-2\cdot Dx^3+4\cdot Dx-D2=4x^3-2\cdot3x^2+4\cdot1-0=4x^3-6x^2+4$

$b.\ \ f'\left(x\right){,}\ kun\ f\left(x\right)=3x^2-5x+4$