4.1 Väitteen todistaminen oikeaksi tai vääräksi

407

$a=nk{,}\ k\in\mathbb{Z}$

$b=nl{,}\ l\in\mathbb{Z}$

$ab=nknl$
$ab=n^2\cdot k\cdot l$

ab on jaollinen luvulla n²

408

a)
$q\in\mathbb{Z}$

$\frac{2q\cdot2q}{2}=2q$

pinta-ala on parillinen kokonaisluku

b)
$ei\ voida{,}\ esimerkiksi\ 2+6$
$2^2+6^2=x^2$
$x^2=40\ \parallel\sqrt{ }$

$x=6{,}324555...$
ei ole parillinen kokonaisluku

411

Juha on todistanut että jos luku on jaollinen luvulla 3, se on jaollinen myös luvulla 6.

Mutta Juhan alkuperäistä väitettä vastoin, jos luku on jaollinen luvulla 3, se ei välttämättä ole jaollinen luvulla 6

Esimerkiksi vaikkapa luku 9

$9=3\cdot3$
$9=1\cdot6+3$

402

nelikulmio ei ole välttämättä suorakulmio, se voi olla myös puolisuunnikas

epätosi

nelikulmion jäljelle jäävien kulmien summa, kun siinä on kaksi suoraa kulmaa:

$360°-90°-90°=180°$
tosi

401

$ab>a$
$ab>b$

$1\cdot0=0$

0 ei ole suurempi kuin 0

epätosi

$\frac{1}{1}=1$

1 ei ole suurempi kuin 1

epätosi

406

$\in\mathbb{Z4\in\mathbb{N\mathbb{C\in}}}$

$x^2+6x+10>1$
$x\in\mathbb{R}$
$x=-3$

$\left(-3\right)^2+6\cdot\left(-3\right)+10=1>1$

epätosi

405

onko kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa aina jaollinen kolmella?

olkoon n∈ℤ

olkoon luvut n, n+1 ja n+2

luku a on jaollinen luvulla 3 jos ja vain jos a:3 jakojäännös on 0
$a=3q+0{,}\ \ \ \ \ q\in\mathbb{Z}$
toisin sanoen $a\equiv0\ \left(mod\ 3\right)$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)\equiv0\ \left(mod\ 3\right)$

n voi olla kongruentti joko luvun 0, 1 tai 2 kanssa

käydään kaikki vaihtoehdot läpi

$n\equiv0\ \left(mod\ 3\right)$
$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)\equiv0+1+2\ =3\equiv0\left(mod\ 3\right)$
$n\equiv1\ \left(mod\ 3\right)$
$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)\equiv1+2+0=3\equiv0\ \left(mod\ 3\right)$
$n\equiv2\ \left(mod\ 3\right)$
$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)\equiv2+0+1\ =3\equiv0\left(mod\ 3\right)$

summa on aina jaollinen kolmella, väite on siis tosi

Teksti

4.1

-Väite on tosi tai epätosi

- Väitteen epätodeksi osoittamiseen riittää jo yksi vastaesimerkki

onko kaikilla reaaliluvuilla x (x∈ℝ) $x^2-4x+4>0$ ?

sijoitetaan x paikalle lukuja ja testataan

$x=1$

$1^2-4\cdot1+4=1>0$

$x=2$
$2^2-4\cdot2+4>0$
$4-8+4=0>0$

epätosi

- Jos tehtävä on muotoa "osoita, että", on väite todistettava oikeaksi

Esim. osoita, että

a) parittoman kokonaisluvun neliö on pariton

Olkoon n∈ℤ pariton.

n voidaan esittää muodossa $n=2k+1{,}\ \ \ k\in\mathbb{Z}$

$n^2=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=2\left(2k^2+2k\right)+1=2m+1{,}\ m\in\mathbb{Z}$

Siis n² on pariton

Väite on todistettu

b) kolmen peräkkäisen parillisen kokonaisluvun tulo on jaollinen luvulla 8

Oletus: Olkoon n∈ℤ parillinen eli $n=2k{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Tällöin peräkkäiset parilliset luvut ovat n, n+2 ja n+4

$n=2k$
$n+2=2k+2$
$n+2=2k+4$

väite: $n\left(n+2\right)\left(n+4\right)=8c{,}\ c\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}$

$n\left(n+2\right)\left(n+4\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)$
$=n\left(n^2+6n+8\right)=n^3+6n^2+8n=8k^3+24k^2+16k$
$8\left(k^3+3k^2+2\right){,}=8c{,}\ c\in\mathbb{Z}$
siis n(n+2)(n+4) on jaollinen luvulla 8

c) kolmen peräkkäisen kokonaisluvun tulo on jaollinen luvulla 6

Oletus: Olkoon n∈ℤ

tällöin peräkkäiset kokonaisluvut ovat n, n+1, n+2

väite: $n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$
luku a on jaollinen luvulla 6 jos ja vain jos a:6 jakojäännös on 0

$a=6q+0{,}\ \ \ \ \ q\in\mathbb{Z}$

toisin sanoen $a\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$

kun luku jaetaan luvulla 6, jakojäännös voi olla kokonaisluku väliltä 0-5, luku on muotoa $6q{,}\ 6q+1{,}\ 6q+2{,}\ 6q+3{,}\ 6q+4{,}\ 6q+5$

Käytetään kongruenssia mod 6

$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$

nyt n voi olla

$n\equiv0{,}\ n\equiv1{,}\ n\equiv2{,}\ n\equiv3{,}\ n\equiv4{,}\ n\equiv5\ \left(mod\ 6\right)$

käydään kaikki vaihtoehdot läpi

$n\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$
$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv0\left(0+1\right)\left(0+2\right)$

$n\equiv1\ \left(mod\ 6\right)$
$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv1\cdot2\cdot3=6\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$
$n\equiv2\ \left(mod\ 6\right)$
$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=2\cdot3\cdot4=24\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$
$n\equiv3\ \left(mod\ 6\right)$
$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=3\cdot4\cdot5=60\equiv0\left(mod\ 6\right)$

etc.