Teksti

4.1

-Väite on tosi tai epätosi

- Väitteen epätodeksi osoittamiseen riittää jo yksi vastaesimerkki

onko kaikilla reaaliluvuilla x (x∈ℝ) $x^2-4x+4>0$ ?

sijoitetaan x paikalle lukuja ja testataan

$x=1$

$1^2-4\cdot1+4=1>0$

$x=2$
$2^2-4\cdot2+4>0$
$4-8+4=0>0$

epätosi

- Jos tehtävä on muotoa "osoita, että", on väite todistettava oikeaksi

Esim. osoita, että

a) parittoman kokonaisluvun neliö on pariton

Olkoon n∈ℤ pariton.

n voidaan esittää muodossa $n=2k+1{,}\ \ \ k\in\mathbb{Z}$

$n^2=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=2\left(2k^2+2k\right)+1=2m+1{,}\ m\in\mathbb{Z}$

Siis n² on pariton

Väite on todistettu

b) kolmen peräkkäisen parillisen kokonaisluvun tulo on jaollinen luvulla 8

Oletus: Olkoon n∈ℤ parillinen eli $n=2k{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Tällöin peräkkäiset parilliset luvut ovat n, n+2 ja n+4

$n=2k$
$n+2=2k+2$
$n+2=2k+4$

väite: $n\left(n+2\right)\left(n+4\right)=8c{,}\ c\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}$

$n\left(n+2\right)\left(n+4\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)$
$=n\left(n^2+6n+8\right)=n^3+6n^2+8n=8k^3+24k^2+16k$
$8\left(k^3+3k^2+2\right){,}=8c{,}\ c\in\mathbb{Z}$
siis n(n+2)(n+4) on jaollinen luvulla 8

c) kolmen peräkkäisen kokonaisluvun tulo on jaollinen luvulla 6

Oletus: Olkoon n∈ℤ

tällöin peräkkäiset kokonaisluvut ovat n, n+1, n+2

väite: $n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$
luku a on jaollinen luvulla 6 jos ja vain jos a:6 jakojäännös on 0

$a=6q+0{,}\ \ \ \ \ q\in\mathbb{Z}$

toisin sanoen $a\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$

kun luku jaetaan luvulla 6, jakojäännös voi olla kokonaisluku väliltä 0-5, luku on muotoa $6q{,}\ 6q+1{,}\ 6q+2{,}\ 6q+3{,}\ 6q+4{,}\ 6q+5$

Käytetään kongruenssia mod 6

$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$

nyt n voi olla

$n\equiv0{,}\ n\equiv1{,}\ n\equiv2{,}\ n\equiv3{,}\ n\equiv4{,}\ n\equiv5\ \left(mod\ 6\right)$

käydään kaikki vaihtoehdot läpi

$n\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$
$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv0\left(0+1\right)\left(0+2\right)$

$n\equiv1\ \left(mod\ 6\right)$
$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv1\cdot2\cdot3=6\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$
$n\equiv2\ \left(mod\ 6\right)$
$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=2\cdot3\cdot4=24\equiv0\ \left(mod\ 6\right)$
$n\equiv3\ \left(mod\ 6\right)$
$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=3\cdot4\cdot5=60\equiv0\left(mod\ 6\right)$

etc.