Tehtävät

Teksti

370

Läpipääsyyn vaaditaan 15 oikeaa vastausta, ja opiskelija tietää 10 vastausta, joten hän pääsee läpi arvaamalla oikein 5 vastausta lopuista 15:sta.

Koska opiskelija arvaa vastauksen 15 tehtävään, joissa vastausvaihtoehtoja on kaksi, tilannetta voidaan ajatella 15 yrityksen toistokokeena, jossa onnistumistodennäköisyys on jokaisella toistolla 1/2.

Opiskelija tarvitsee läpipääsyyn tietämiensä 10 vastauksen lisäksi vähintään 5 oikein arvattua vastausta eli 5, 6, … tai 10 oikeaa arvausta. Lasketaan vastatapahtuman "korkeintaan 4 oikeaa arvausta" eli "0, 1, 2, 3 tai 4 oikeaa arvausta" todennäköisyys. Tapahtumat ovat erilliset oikeiden vastausten eri lukumäärille, joten yhteenlaskusäännöllä saadaan

$P\left(0{,}1{,}3\ tai\ 4\ arvausta\ oikein\right)$
$=P\left(0\ oikein\right)+P\left(1\ oikein\right)+P\left(2\ oikein\right)+P\left(3\ oikein\right)+P\left(4\ oikein\right)$

$=\left(1-\frac{1}{2}\right)^{15}+\binom{15}{1}\cdot\ \left(1-\frac{1}{2}\right)^{15-1}+\binom{15}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)^{15-2}+\binom{15}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)^{15-5}+\binom{15}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)^{15-4}$
$=0{,}05892...$

Siis todennäköisyys, että opiskelija läpäisee testin, on 1-P(korkeintaan 4 arvausta oikein)=1-0,05892...=0,9410...≈0,94.

371
a)

Ajatellaan tilannetta toistokokeena, jossa onnistumisen todennäköisyys on P(O) = 0,33 ja toistoja on 12. Tapahtuman "enintään 9 O:ta" vastatapahtuma on "vähintään 10 O:ta" eli "10, 11 tai 12 O:ta". Erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännöllä saadaan

$P\left(10{,}\ 11\ tai\ 12\ O:ta\right)$
$=P\left(10\ O:ta\right)+P\left(11\ O:ta\right)+P\left(12\ O:ta\right)$
$=\binom{12}{10}\cdot0.33^{10}\cdot\left(1-0{,}33\right)^{12-10}+\binom{12}{11}\cdot0{,}33^{11}\cdot\left(1-0{,}33\right)^{12-11}+0{,}33^{12}$
$=0{,}0004960...$

Siispä

$P\left(enitään\ 9\ O:ta\right)$
$=1-P\left(enitään\ 10\ O:ta\right)$
$=1-0{,}0004960...$
$=0{,}99950$
$\approx0{,}9995$

Nyt toistokokeen onnistumistodennäköisyys on P(B) = 0,17. Tapahtumat "joukossa on kolme B:tä" ja "joukossa on "neljä B:tä" ovat erilliset, joten yhteenlaskusäännöllä saadaan

$P\left(3\ tai\ 4\ B:tä\right)$
$=P\left(3\ B:tä\right)+P\left(4\ B:tä\right)$
$=\binom{12}{3}\cdot0{,}17^3\cdot\left(1-0{,}17\right)^{12-3}+\binom{12}{4}\cdot0{,}17^4\cdot\left(1-0{,}17\right)^{12-4}$
$=0{,}295$
$\approx0{,}30$

383

Tapahtuman "ainakin kaksi itää" vastatapahtuma on "korkeintaan yksi itää" eli "ei yhtään tai yksi itää". Lasketaan vastatapahtuman todennäköisyys.

Ajatellaan tilannetta toistokokeena, jossa onnistumisen todennäköisyys on P(sipuli itää) = 0,7.

$P\left(enitään\ yksi\ itää\right)=P\left(ei\ yhtään\right)+P\left(yksi\right)$

$=\left(1-0{,}7\right)^n+\binom{n}{1}\cdot0{,}7^1\cdot\left(1-0{,}7\right)^{n-1}$
$=0{,}3^n+n\cdot0{,}7\cdot0{,}3^{n-1}$

Siis
$P\left(ainakin\ kaksi\ itää\right)=1-\left(0{,}3^n+n\cdot0{,}7\cdot0{,}3^{n-1}\right)$

Etsitään siis pienin luonnollinen luku n, jolle $P\left(ainakin\ kaksi\ itää\right)\ge0{,}99$ eli $1-\left(0{,}3^n+n\cdot0{,}7\cdot0{,}3^{n-1}\right)\ge0{,}99$

Etsitään luku n ratkaisemalla ensin yhtälö $1-\left(0{,}3^n+n\cdot0{,}7\cdot0{,}3^{n-1}\right)=0{,}99$ symbolisen laskennan ohjelmalla

Saadaan n=6,05...

Saadaan n = 6,05… Mitä enemmän sipuleita istutetaan, sitä suurempi on todennäköisyys, että vähintään haluttu määrä sipuleita itää. Sipuleita on siis istutettava vähintään 7.

Teksti

4.4 Normaalijakauma

Esimerkki. Mailan kestoikä noudattaa normaalijakaumaa.Kestoiän odotusarvo on 960 peliminuutttia ja keskihajonta 105 min. Millä todennäköisyydellä maila hajoaa 870 ja 1000 min välillä?

Ratkaisu

Tapa1:

X= Mailan kestoikä (min)

X~N(960,105)

P(870 ≤ X ≤1000)

Normitetaan satunaismuuttuja X.

$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-960}{105}$

Kun X=1000, niin

$\frac{1000-960}{105}=\frac{40}{105}\approx0{,}38$

Kun X=870

$\frac{870-960}{105}=-\frac{10}{105}\approx-0{,}86$

$P\left(870\le X\le1000\right)=P\left(-0{,}86\le Z\le0{,}38\right)$
$=P\left(Z\le0{,}38\right)-P\left(Z\le-0{,}86\right)=\Phi\left(0{,}38\right)-\Phi\left(-0{,}86\right)$
$=\Phi\left(0{,}38\right)-\left(1-\Phi\left(0{,}86\right)\right)$
$=\Phi\left(0{,}38\right)-1+\Phi\left(0{,}86\right)$
$=0{,}6480-1+0{,}8051$
$=0{,}4531\approx0{,}45=45\%$

Tapa 2:

Todennäköisyyslaskurilla saadaan kysytyksi todennäköisyydeksi 0,4527 eli noin 45%

481

X= betonisäkin massa (kg)

X~N(µ; 0,9)

Mikä on odotusarvo µ, kun P(X>25)= 0,95 eli P(X≤25)=0,05?

Ratkaistaan geogebran CAS-laskimella

µ≈26,48

463

a) 0,1587 ≈ 16%

b) 0,1587 ≈ 16%

c) 0,6827 ≈ 67%

466

a) 16973,8 ≈ 17000

b) 14695,9 ≈ 14700

c) 17464,4 ≈ 17500

468

a) C 0,1587

b) A 0,2266

c) B 0,1587

d) D 0,0668

469

471

475

477

483

Teksti

442
a) Funktio f ei ole tiheysfunktio, koska sen kuvaajan ja x-akselin väliin
jäävän alueen pinta-ala ei ole 1 (vaan 2).
Funktio g ei ole tiheysfunktio, koska sen kuvaajan ja x-akselin väliin
jäävän alueen pinta-ala ei ole 1 (vaan suurempi).
Funktio h ei ole tiheysfunktio, koska se saa negatiivisia arvoja.
b) Funktio k on tiheysfunktio, koska se ei saa missään negatiivisia arvoja
ja lisäksi sen kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on 1.

444

$P\left(X=a\right)=0{,}37$

$P\left(a\le X\le b\right)=0{,}39$

$P\left(X\le a\right)=P\left(X\le a\right)-P\left(X=a\right)$

$P\left(X=a\right)$ tarkoittaa funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala kohdassa x=a eli janan pinta-alaa. Janan pinta-ala on nolla eli jakautuneen satunnaismuuttujan yksittäisen arvon todennäköisyys on nolla eli

$P\left(X=a\right)=0$ . Siten $P\left(X\le a\right)=P\left(X<a\right)=0{,}37$ .

$P\left(X<b\right)=P\left(X\le b\right)-P\left(X=b\right)=P\left(X<a\right)+P\left(a\le X\le b\right)=0{,}37+0{,}39=0{,}76$

c)Tapahtumat X > a ja X ≤ a ovat oistensa vastatapahtumia, joten

$P\left(X>a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-0{,}37=0{,}63$

d)Tapahtumat X ≥ b ja X < b ovatvastatapahtumia, joten

$P\left(X\ge b\right)=1-P\left(X<b\right)=1-0{,}76=0{,}24$

445
Kuvassa A on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä a ≤ x ≤ b
jäävän alueen pinta-ala. Kun f on satunnaismuuttujan X tiheysfunktio,
tämä pinta-ala on sama kuin todennäköisyys P(a ≤ X ≤ b), joka on sama
kuin P(a < X ≤ b). Siis kuvaan A sopivat merkinnät II ja VI.
Kuvassa B on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä x > b jäävän
alueen pinta-ala, joka on sama kuin todennäköisyys P(X > b) eli merkintä V.
Kuvassa C on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä x < b jäävän
alueen pinta-ala, joka on sama kuin todennäköisyys P(X ≤ b) eli merkintä I.
Kuvassa D on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin väleillä x < a ja x > b
jäävän kaksiosaisen alueen pinta-ala, joka on sama kuin todennäköisyys
P(X < a tai X > b). Tapahtuman "X < a tai X > b" vastatapahtuma on
tapahtuma a ≤ X ≤ b, jonka todennäköisyys näkyy kuvassa valkoisen
alueen pinta-alana. Siis kuvaan merkittyä (väritettyä) pinta-alaa vastaa
todennäköisyys P(X < a tai X > b) = 1 − P(a ≤ X ≤ b) eli merkintä III.

Teksti

422

$P\left(X=0\right)=\frac{3}{8}$
$P\left(X=1\right)=\frac{1}{4}$
$P\left(X=2\right)=\frac{1}{8}$
$P\left(X=3\right)=\frac{1}{4}$

$E\left(X\right)=\frac{3}{8}\cdot0+\frac{1}{4}\cdot1+\frac{1}{8}\cdot2+\frac{1}{4}\cdot3=1{,}25$

$D\left(X\right)=\sqrt[]{\frac{3}{8}\left(0-2{,}25\right)^2+\frac{1}{4}\left(1-2{,}25\right)^2+\frac{1}{8}\left(2-2{,}25\right)^2+\frac{1}{4}\left(4-2{,}25\right)^2}=1{,}198...\approx1{,}20$

423

$\begin{array}{l|l} Kruuna&x&x\\ \hline Klaava&x&x\\ &Klaava&Kruuna \end{array}$

$\begin{array}{l|l} &\\ \hline 2&2\\ 1&-1\\ 0&0 \end{array}$

$P\left(X=0\right)=P\left(2\ klaavaa\right)=\frac{1}{4}$
$P\left(X=-1\right)=P\left(1\ kruuna\right)=\frac{1}{2}$
$P\left(X=2\right)=P\left(2\ kruunaa\right)=\frac{1}{4}$

$E\left(X\right)=0\cdot\frac{1}{4}+\left(-1\right)\cdot\frac{1}{2}+\cdot2\cdot\frac{1}{4}=0$

$0\ euroa$

424

$\begin{array}{l|l} Voitto&Kpl&Todennäköisyys\\ \hline 999&50&\frac{50}{3\ 000\ 000}\\ 99&100&\frac{100}{3\ 000\ 000}\\ 19&30\ 000&\frac{30\ 000}{3\ 000\ 000}\\ 1&300\ 000&\frac{300\ 000}{3\ 000\ 000}\\ 0&420\ 000&\frac{420\ 000}{3\ 000\ 000}\\ -1&3\ 000\ 000-750\ 150=2249850&\frac{2\ 249\ 850}{3\ 000\ 000} \end{array}$

$E\left(X\right)=\frac{50}{3\ 000\ 000}\cdot999+\frac{100}{3\ 000\ 000}\cdot99+\frac{30\ 000}{3\ 000\ 000}\cdot19+\frac{300\ 000}{3\ 000\ 000}\cdot1+\frac{420\ 000}{3\ 000\ 000}\cdot0+\frac{2\ 249\ 850}{3\ 000\ 000}\cdot-1=-0{,}44$

Koska on 2 249 850 kpl arpaa jolla ei saa penniäkään, joten jos osetetaan 2 249 851 arpaa, ainakin yhdellä arvalla saa jonkin voiton.

425

$\begin{matrix} \begin{matrix} 6&7&8&9&10\\ 5&6&7&8&9\\ 4&5&6&7&8\\ 3&4&5&6&7\\ 2&3&4&5&6\\ 1&2&3&4&5\\ &1&2&3&4 \end{matrix} \end{matrix}$

$\begin{array}{l|l} x&P\left(X=x\right)\\ \hline 2&\frac{1}{24}\\ 3&\frac{1}{12}\\ 4&\frac{1}{8}\\ 5&\frac{1}{6}\\ 6&\frac{1}{6}\\ 7&\frac{1}{6}\\ 8&\frac{1}{8}\\ 9&\frac{1}{12}\\ 10&\frac{1}{24} \end{array}$

$\text{E}\left(X\right)=2\cdot\frac{1}{24}+3\cdot\frac{1}{12}+4\cdot\frac{1}{8}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6}+7\cdot\frac{1}{6}+8\cdot\frac{1}{8}+9\cdot\frac{1}{12}+10\cdot\frac{1}{24}=6$

427

$\overline{P}=Kukaan\ ei\ tee\ mallia$

$\overline{P}_1=1-P_1=1-0{,}65=0{,}35$

$\overline{P}_2=1-P_2=1-0{,}75=0{,}25$
$\overline{P}_3=1-P_3=1-0{,}54=0{,}46$

$\overline{P}=\overline{P}_1\cdot\overline{P}_2\cdot\overline{P}_3=0{,}04025$

Siten

$P=Ainakin\ yksi\ tekee\ mallia$

$P=1-\overline{P}=0{,}9597...\approx0{,}96$

$E\left(x\right)=1\cdot0{,}65+1\cdot0{,}75+1\cdot0{,}54=1{,}94$

428

5 punaista

3 vihreää

1 musta

$\begin{array}{l|l} Tulos&Voitto\\ \hline 2\ samaa&5\\ Punainen\ JA\ Vihreä&1\\ Ainakin\ yksi\ on\ musta&-5 \end{array}$

$\begin{array}{l|l} Yht.&9\\ \hline Punainen&\frac{5}{9}\\ Vihreä&\frac{1}{3}\\ Musta&\frac{1}{9} \end{array}$

$\begin{array}{l|l} x&P\left(X=x\right)\\ \hline 5&0{,}361\\ 1&0{,}185\\ -5&0{,}111 \end{array}$ e

$P\left(X=5\right)=P\left(punainen\ JA\ punainen\ TAI\ vihreä\ JA\ vihreä\right)$

$=\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}+\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}=0{,}3611...\approx0{,}361$

$P\left(X=1\right)=P\left(punainen\ JA\ Vihreä\right)=\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{3}=0{,}1851...\approx0{,}185$

$P\left(X=-5\right)=\frac{1}{9}=0{,}1111...\approx0{,}111$

$E\left(X\right)=5\cdot0{,}361+1\cdot0{,}185+-5\cdot0{,}111=1{,}435$

429

430

433

435

Teksti

Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on

$F\left(x\right)=P\left(X\le x\right){,}\ x\in\mathbb{R}$

Kertymäfunktio arvo kohdassa x on kohdan x jasit pienempien satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyyksien summa

414

$F\left(x\right)=\begin{cases} 0{,}&kun\ x<1\\ 0{,}15{,}&kun\ 1\le x\\ 0{,}25{,}&kun\ 2\le x\le3\\ 0{,}5{,}&kun\ 3\le x\le4\\ 0{,}8{,}&kun\ 4\le x\le5\\ 1{,}0{,}&kun\ x\ge5 \end{cases}$

$P\left(X\le3\right)=F\left(3\right)=0{,}5$

$P\left(1<X\le4\right)=F\left(4\right)-F\left(1\right)=0{,}8-0{,}15=0{,}65$

$F\left(2\right)=P\left(X\le2\right)=0{,}25$

401
a) Pistetodennäköisyyksien summa on yksi, joten

$P\left(X=2\right)=1-\left(\frac{1}{16}+\frac{3}{8}+\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{16}$

b) Koska e < 3 ja π > 3, saadaan erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan

$P\left(X\le3\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=e\right)=\frac{1}{16}+\frac{5}{16}+\frac{3}{8}=\frac{3}{4}$

406

$Q=1-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\right)=1-\left(\frac{5}{30}+\frac{6}{30}+\frac{10}{30}\right)=1-\frac{21}{30}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$

$\left(2{,}\frac{3}{10}\right)$

$\begin{array}{l|l} X&P\left(X=x\right)\\ \hline -3&\frac{1}{6}\\ 2&\frac{3}{10}\\ 4&\frac{1}{5}\\ 6&\frac{1}{3} \end{array}$

c) P(0≤X≤6)

$P(0\le X\le6)=P\left(X=2\right)+P\left(X=4\right)=\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=\frac{9}{30}+\frac{6}{30}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$

409

412

415

Teksti

351

2 Ruskeaa, 6 mustaa ja 8 sisnistä

Kuoria on yhteensä 16 kpl

Tapa 1:

$P\left(samanväriset\right)=P\left(\mathrm{2\ ruskeaa\ TAI\ 2\ mustaa\ TAI\ 2\ \sin istä}\right)$

$=P\mathrm{\left(2\ ruskeaa\right)+P\left(2\ mustaa\right)+P\left(2\ \sin istä\right)}$

$=\frac{2}{16}\cdot\frac{1}{15}+\frac{6}{16}\cdot\frac{5}{15}+\frac{8}{16}\cdot\frac{7}{15}$

$=\frac{2}{240}+\frac{30}{240}+\frac{56}{240}$
$=\frac{88}{240}$
$=\frac{11}{30}$

Tapa 2:

16 kuoren joukosta voidaan valita 2 kuorta

$\binom{16}{2}=120$ eri tavalla

Kaksi ruskeaa kuorta voidaan valita yhdellä tavalla

Kaksi mustaa kurota voidaan valita

$\binom{6}{2}=15$ eri tavalla ja

kaksi sinistä kuorta voidaan valita

$\binom{8}{2}=28$ eri tavalla.

Yhteensä samanväriset kuoret voidaan valita 1+15+28=44 eri tavalla

$P\left(samanväriset\right)=\frac{44}{120}=\frac{11}{30}$

342

$P\left(valitaan\ puheenjohtaja\ JA\ sihteeri\ JA\ taloudenhoitaja\right)=P\left(\sim\right)$

Puheenjohtajaa voidaan valita

$\binom{13}{1}=13$ eri tavalla

Sihteeriä voidaan valita

$\binom{12}{1}=12$ eri tavalla

Taloudenhoitajaa voidaan valita
$\binom{11}{1}=11$ eri tavalla

$=P\left(\sim\right)=13\cdot12\cdot11=1716$

$\binom{3}{1}+\binom{2}{1}+\binom{1}{1}=3+2+1=6$
c)

$\binom{13}{3}=286$

344

Tapoja on yhteensä

$2\cdot2\cdot2\cdot2=2^4=16$

Koska yksi on ainakin päällä, tästä vähenettävä yhden ''suljettu'' vaihto.

$16-1=15$

345

Vakioveikkauksessa valitaan 13 tulosta 3 vaihtoehtosta, valinantapoja on tuloperiaatteen mukaan

$3^{13}=1\ 594\ 323$ , eli lähes 1,6 miljoonaa

Lotossa valitaan 7 oikeita numeroa 40 vaihtoehtosta

$\binom{40}{7}=18\ 643\ 560$ , eli lähes 19 miljoonaa

Joten vakioveikkauksessa päävoitto on todennäköisempi.

346

Lasten lotossa voidaan valita 3 numeroa $\binom{10}{3}=120$ tavalla.

Jos halutaan saada 0 oikeata, valitaan 7 väärästä numerosta 3, eli

$\binom{7}{3}=35{,}\ todennäköisyys\ on\ \frac{24}{120}=\frac{7}{24}=0{,}291...\approx0{,}30$

Jos halutaan saada 1 oikean, valitaan 3 oikeasta 1 JA 7 väärästä 2, eli

$\binom{3}{1}\cdot\binom{7}{2}=3\cdot42=126{,}\ todennäköisyys\ on\ \frac{126}{120}=\frac{7}{40}=0{,}175\approx0{,}18$

Jos halutaan saada 2 oikeata, valitaan 3 oikeasta 2 JA 7 väärästä 1, eli

$\binom{3}{2}\cdot\binom{7}{1}=42{,}\ todennäköisyys\ on\ \frac{42}{720}=\frac{7}{120}=0{,}583...\approx0{,}58$

Jos halutaa saada kaikki oikein(3 oikein), valitaan 3 oikesta 3

$\binom{3}{3}=$

347

349

452

353

355

356

Teksti

334

3 omenaa, 4 päärynää, 5 mandariinia

Hedemiä on yhteensä 12 kappaletta

12 hedelmän joukosta voidaan valita 2 hedelmää

$\binom{12}{2}=66$ eri tavalla

$P\left(ainakin\ 1\ omena\right)=1-P\left(ei\ yhtään\ omenaa\right)=1-\frac{\binom{9}{2}}{66}=1-\frac{36}{66}=\frac{5}{11}\approx0{,}45$

$P\left(molemmat\ samaa\ lajia\right)=P\left(2\ omenaa\ tai\ 2\ päärynää\ tai\ 2\ mandariinia\right)$

$=\frac{\left(\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+\binom{5}{2}\right)}{66}=\frac{19}{66}\approx0{,}29$

321

$\frac{7!}{\left(7-3\right)!}=210$

$\binom{7}{3}=35$

322

32 korttia

1. 5 korttia

$\binom{32}{5}=201\ 376$

2. 5 korttia

$\binom{32-5}{5}=\binom{27}{5}=80\ 730$

325

10 poikaa

16 tyttöä

$P\left(poika\ ja\ tyttö\ pari\right)=10\cdot16=160$

Opiskelijoita on yhteensä 10+16=26 henkilöä

$P\left(mikä\ tahansa\ pari\right)=\binom{26}{2}=325$

326

47 eläintä

Vilina tunnistaa 35 eläintä

Ei tuunista 12 eläintä

$\binom{47}{5}=1\ 533\ 939$

$\binom{35}{5}=324632$

$P\left(Vilina\ tunnistaa\ kaikki\ viisi\ eläintä\right)=\frac{324632}{1533939}=0{,}211...\approx0{,}21$

327

1-40

$P\left(6+1\ oikein\right)=\frac{\binom{7}{6}\cdot\binom{1}{1}}{\binom{40}{7}}=\frac{7}{18643560}$

$P\left(6\ oikein\right)=\frac{\binom{7}{6}\cdot\binom{40-7-1}{1}}{\binom{40}{7}}=\frac{28}{2330445}$

$P\left(4\ oikein\right)=\frac{\binom{7}{4}\cdot\binom{40-7-1}{3}}{\binom{40}{7}}=\frac{4340}{466089}$

329

5 1.opiskeljiaa

7 2.opiskelijaa

Koska delegaatioita voidaan muodosta vain kahdella tavalla:

2 1.opiskelijaa + 1 2.opiskelija

tai

2 2.opiskelijaa + 1 1.opiskelija

$P\left(2\ 1.opiskelijaa+1\ 2.opiskelija\right)=\binom{5}{2}\cdot\binom{7}{1}=70$

$P\left(2\ 2.opiskelijaa+1\ 1.opiskelija\right)=\binom{7}{2}\cdot\binom{5}{1}=105$

$105+70=175$

V: Delegaatioita voidaan mudosta 175 eri tavalla.

332

$\binom{20}{4}=\frac{20!}{4!\left(20-4\right)!}=\frac{20!}{4!\cdot16!}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{5\cdot19\cdot3\cdot17}{1}=19\cdot17\cdot15$

$\binom{20}{12}=\frac{20!}{12!\left(20-12\right)!}=\frac{20!}{12!\cdot8!}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{19\cdot17\cdot15\cdot14\cdot13}{7}$

$\binom{20}{19}=\frac{20!}{19!\left(20-19\right)!}=$

333

337

338

Teksti

302

3 housua

2 pitkähihaista paitaa

1 musta t-paita

1 vaaleapunainen t-paita

2 valkoista t-paitaa

$\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{18}$

$\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{6}=\frac{1}{9}$

$1\cdot\frac{2}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

303

a) Nlejästä henkilöstä valitaan juoksijat 4-osuuksiseen viestiin,

Erilaisia juoksujärjestyksiä eli permutaatioita on

$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$

b) 7 henkilöstä valitaan juoksijat 5-osuuksiseen viestiin.

Erilaisia juoksujärjestyksiä on

$7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520$

Tapa 2:

$\left(n\right)_k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}=n\cdot\left(n-1\right)\cdot...\cdot\left(n-k+1\right)$

7-alkioisen joukon 5-permutaatiota on

$\left(7\right)_5=\frac{7!}{\left(7-5\right)!}=\frac{7!}{2!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520$ kappaletta.

304

$1.=9$

$2.=10$
$3.=10$
$4.=2$

$9\cdot10\cdot10\cdot2=1800$

$\frac{1800}{10000-1000}=\frac{1}{5}$

306

$\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=10\cdot9\cdot8=720$

$\left(14\right)_4=\frac{14!}{\left(14-4\right)!}==\frac{14!}{10!}$

309

5 tyttöä

4 poikaa

Aloittaja on tyttö=joka toinen on poika

$5\cdot4\cdot4\cdot3\cdot3=720$

Aloittajat on poika=joka toinen on tyttö

$4\cdot5\cdot3\cdot4\cdot2=480$

720+480=1200

Lapsia on yhteensä 9, joten niitä 9-alkioisen joukon 5-permutaatiota on

$\left(9\right)_5=15120$

Koska jonoja on mahdollista muodosta 1200 kpl, sen todennäköisyys saadaan

$\frac{1200}{15120}=\frac{5}{63}$

310

Oikean pääsykoodin vaihtoehtoja on

$1.\ 2$

$2.\ 10$
$3.\ 10$
$4.\ 2$

$2\cdot10\cdot10\cdot2=400$

Milla aikoo kokeilla eri numerosarjoja, joten hän valitsee kokeiltaviksi kolme eri numerosarjaa. Todennäköisyys, että oikea numerosarja on jokin näistä kolmesta, on

$=\frac{3}{400}$

311

313

314

Teksti

265

Karjalanpiirkoita 12

Pikkupullia 9

7 molempia

5 ei kumpikaan

12+2+5=19

$P\left(leipoi\ karjalanpiirakoita\ mutta\ ei\ pikkupullia\right)=\frac{5}{19}\approx0{,}263...\approx0{,}26$

266

Asukkaita 20% on kauniita, 15% rohkeita ja 5% kauniita ja rohkeita.

$P\left(rohkea\ mutta\ ei\ kaunis\right)=10\%=0{,}1$

$P\left(joko\ kaunis\ tai\ rohkea{,}\ mutta\ ei\ molempia\right)=15\%+10\%=25\%=0{,}25$

$P\left(kaunis\ tai\ rohkea\right)=15\%+5\%+10\%=30\%=0{,}3$

$P\left(ei\ kaunis\ eikä\ rohkea\right)=1-P\left(kaunis\ tai\ rohkea\right)=1-0{,}3=0{,}7$

267

P(A)=Uudempi toimii todennäikösyydellä 0,95

P(B)=Vanhempi toimii todennäköisyydellä 0,75

$P\left(Uudempi\ toimii\ ja\ vanhemi\ toimii\right)=0{,}95\cdot0{,}75=0{,}7125$

$P\left(vain\ toinen\ toimii\right)=P\left(A\ ja\ \overline{B}\right)\ tai\ P\left(\overline{A}\ ja\ B\right)=0{,}95\cdot0{,}25+0{,}05\cdot0{,}75=0{,}275$

$P\left(kumpikaan\ ei\ herätä\right)=P\left(\overline{A}\right)\ ja\ P\left(\overline{B}\right)=0{,}25\cdot0{,}05=0{,}0125$

$P\left(ainakin\ yksi\ toimii\right)=P\left(\overline{kumpikaan\ ei\ toimii}\right)=1-0{,}0125=0{,}9875$

268

S=sinililja itää P(S)=90%=0,9

T=tulppaani itää, P(T)=95%=0,95
a)

$P\left(S\ ja\ T\right)=P\left(S\right)\cdot P\left(T\right)=0{,}9\cdot0{,}95=0{,}855$

$P\left(S\ ja\ \overline{T}\right)=P\left(S\right)\cdot P\left(\overline{T}\right)=0{,}9\cdot\left(1-0{,}95\right)=0{,}045$

c) $P\left(täsmälleen\ yksi\ itää\right)=P\left(S\ ja\ \overline{T}\ tai\ \overline{S}\ ja\ T\right)=P\left(S\ ja\ \overline{T}\right)+P\left(\overline{S}+T\right)=P\left(S\right)\cdot P\left(\overline{T}\right)+P\left(\overline{S}\right)\cdot P\left(T\right)=0{,}9\cdot0{,}05+0{,}1\cdot0{,}95=0{,}14$

$P\left(ainakin\ toinen\ itää\right)=1-P\left(kumpikaan\ ei\ idä\right)=1-P\left(\overline{S}\ ja\ \overline{T}\right)=1-0{,}2\cdot0{,}05=0{,}995$

269

270

271

272

273

275

278

283

Teksti

243

$P\left(A\right)=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{40}=0{,}025$

$P\left(A\right)=\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{4}=\frac{9}{40}=0{,}225$

$P\left(A\right)=\frac{9}{10}\cdot\frac{3}{4}=\frac{27}{40}=0{,}675$

245

$P\left(A\right)=P\left(1.\ valo\ vihreä\ ja\ 2.\ valo\ vihreä\ ja\ 3.\ valo\ vihreä\right)$

$P\left(A\right)=0{,}4\cdot0{,}3\cdot0{,}6=0{,}072$

$P\left(A\right)=P\left(1.\ valo\ punainen\ ja\ 2.\ valo\ punainen\ ja\ 3.\ valo\ punainen\right)$

$=0{,}6\cdot0{,}7\cdot0{,}4=0{,}168$

c) A= Ainakin yhden punaisen valon

$\overline{A}\ =Ei\ ollenkaan\ punaista\ valoa=3\ vihreätä\$

$P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-0{,}072=0{,}928$

A= Ainakin yhden vihreän valon
$\overline{A}\ =Ei\ ollenkaan\ vihreätä\ valoa=3\ punaista$
$P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-0{,}168=0{,}832$

246

$P\left(A\right)=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{72}$

$P\left(A\right)=\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}=\frac{5}{18}$

c) A= Enintään yksi konsonantti

$\overline{A}=kaksi\ konsonanttia=\frac{5}{18}$

$P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$

248

250

251

253

258

261

Teksti

223

1800:

$\frac{15231}{15231+15231}=0{,}4891...\approx0{,}489=48{,}9\%$

1900:

$\frac{41904}{41904+44435}=0{,}4853...\approx0{,}485=48{,}5\%$

2000:

$\frac{27492}{27492+29250}=0{,}4845...\approx0{,}485=48{,}5\%$

Todennäköisyys on laskennut

224

$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

$y<\frac{x}{3}$

$A=\frac{6\cdot2}{2}+2\cdot4=14$

$A_{kok}=2\cdot10=20$
$P\left(A\right)=\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$

225

$A=\int_{-2}^1\left(x^2+2x+2\right)dx=6$ (Laskin)

$A_{kok}=3\cdot5=15$

$P\left(A\right)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

227

$\frac{360-\left(70\cdot3+20\cdot3\right)}{360}=\frac{1}{4}$

228
a)

$P\left(A\right)=\frac{A_{10}}{A_{kok}}=\frac{\pi\cdot17{,}5^2}{\pi\cdot170{,}5^2}=0{,}0105...\approx0{,}01$

b)
$P(enintään\ 5)$ , joten $\overline{P}\left(>5\right)$

Luvut, jotka ovat suurmpi kuin 5 on 6, 7, 8, 9, 10

$\overline{P}\left(A\right)=\frac{\pi\cdot\left(4\cdot17+17{,}5\right)^2}{\pi\cdot170{,}5^2}=0{,}251...\approx0{,}25$

$P=1-\overline{P}=1-0{,}25=0{,}75$

$P\left(1{,}2\right)=\frac{\pi\cdot170{,}5^2-\pi\cdot\left(7\cdot17+17{,}5\right)^2}{\pi\cdot170{,}5^2}\approx0{,}36$

$P\left(3{,}4{,}5\right)=0{,}75-0{,}36=0{,}39$

229

a)
$\frac{70700+688100}{70700+688100+789700+843700+43300+61800}=0{,}445...\approx0{,}45=45\%$
b)
$\frac{688100}{70700+688100+789700+843700+43300+61800}=0{,}2195...\approx0{,}22=22\%$
c)

230

a) Epätosi. Tilaston perusteella kyseisen ampumahiihtäjä osuu tauluun paljon väitettyä todennäköisemmin.

b) Tosi, koska ampumahiihtäjän todennäköisyys osua on $\frac{344}{382}=0{,}90052...\approx0{,}9$

c) Tosi, koska 1-0,9=0,1

d) Epätosi. Tilaston perusteella ei voida sanoa mitään varma yksittäisen laukauksen onnistumisesta.

231

Koko tapahtuma kestää 65 minuuttia, ja itse purkkaus 5 minuttia, joten

$P\left(saappuu\ purkauksen\ aikana\right)=\frac{5}{65}=\frac{1}{13}=0{,}0769...\approx0{,}08$

$P\left(joutuu\ odottaamaan\ purkauksen\ alkua\ vähintään\ 15\ \min s\right)=\frac{60-15+5}{65}=\frac{50}{65}=\frac{10}{13}=0{,}7692...\approx0{,}77$

$P\left(joutuu\ odottaamaan\ purkauksen\ alkua\ vähintään\ 10\ \min s\right)=\frac{60-50}{65}=\frac{10}{65}=\frac{2}{13}=0{,}1538...\approx0{,}15$

233

koska yhden pisteen pinta-ala on 0, kysytty todennäköisyys on 0

237

Teksti

201

a) 2/3

b) 1/3

c) 1/3

202

a) 1/4

b) 3/4

c) 1/2

d) 3/13

204

a) P(A)=5/18

$\begin{array}{l|l} &&&&&&\\ \hline 6&x&x&x&x&x&\\ 5&&&&&&x\\ 4&&&&&&x\\ 3&&&&&&x\\ 2&&&&&&x\\ 1&&&&&&x\\ &1&2&3&4&5&6 \end{array}$

b) P(A)=11/36

$\begin{array}{l|l} &&&&&&\\ \hline 6&x&x&x&x&x&x\\ 5&&&&&&x\\ 4&&&&&&x\\ 3&&&&&&x\\ 2&&&&&&x\\ 1&&&&&&x\\ &1&2&3&4&5&6 \end{array}$

c)P(A)=25/36

$\begin{array}{l|l} &&&&&&\\ \hline 6&&&&&&\\ 5&x&x&x&x&x&\\ 4&x&x&x&x&x&\\ 3&x&x&x&x&x&\\ 2&x&x&x&x&x&\\ 1&x&x&x&x&x&\\ &1&2&3&4&5&6 \end{array}$

d) P(A)= 5/36

$\begin{array}{l|l} &&&&&&\\ \hline 6&&&&&&\\ 5&x&&&&&\\ 4&&x&&&&\\ 3&&&x&&&\\ 2&&&&x&&\\ 1&&&&&x&\\ &1&2&3&4&5&6 \end{array}$

205

$\overline{A}$ = Arpakuution heitossa silmä luku on enintään 3

$\overline{B}$ = Luokasta on ainakin yksi poika

$\overline{C}$ = Vähintään yhdellä koulun oppilaalla matematiikan arvosna on 10

IV; 0,4

206

a) P(A)= 2/15

b) P(A)= 4/15

c) P(A)=0

d) P(A)=8/15

e) P(A)=7/15

f) P(A)=15/15

208
5 sinistä, 3 punaista, 4 vihreätä

$P\left(on\ punainen\right)=\frac{3}{5+3+4}=\frac{1}{4}$

$P\left(ei\ punainen\right)=\frac{3}{4}$

$P\left(ei\ ole\ vihreä\ eikä\ punainen\right)=P\left(\mathrm{on\ \sin inen}\right)=\frac{5}{12}$

$P\left(on\ \sin inen\ TAI\ punainen\right)=\frac{5}{12}+\frac{3}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

209

4 ja 5, 3 ja 6

4 ja 6, 5 ja 5

$\begin{matrix} 6&7&8&9&10&11&12\\ 5&6&7&8&9&10&11\\ 4&5&6&7&8&9&10\\ 3&4&5&6&7&8&9\\ 2&3&4&5&6&7&8\\ 1&2&3&4&5&6&7\\ &1&2&3&4&5&6 \end{matrix}$

Koska todennäköisyys saada silmäluparista summaksi 9 on $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$ , ja summaksi 10 on $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$ . $\frac{4}{36}>\frac{3}{36}$ , joten on aina todennäköisempi saada summaksi 9 kuin

210

$\begin{matrix} 6&x&x&x&x&x&\\ 5&x&x&x&x&&\\ 4&x&x&x&&&\\ 3&x&x&&&&\\ 2&x&&&&&\\ 1&&&&&&\\ &1&2&3&4&5&6 \end{matrix}$

Tämän perusteella:

$P\left(A\right)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

$\begin{matrix} 6&&&&&&\\ 5&&&&&&\\ 4&&&&&&\\ 3&&&&x&x&x\\ 2&&&&x&x&x\\ 1&&&&x&x&x\\ &1&2&3&4&5&6 \end{matrix}$

$\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

$\begin{matrix} 6&&&&x&&\\ 5&&&x&&&\\ 4&&x&&&&x\\ 3&x&&&&x&\\ 2&&&&x&&\\ 1&&&x&&&\\ &1&2&3&4&5&6 \end{matrix}$

$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$

212

$\frac{1}{365}$

$\frac{12}{365}$

$\frac{31+28}{365}=\frac{59}{365}$

214

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

216

Vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa täsmälleen silloin, kun pistetulo on 0, eli kun

$6\cdot\left(-1\right)+ab=0$

Koska $6\cdot\left(-1\right)=-6$ , joten ab on oltava 6

$\begin{matrix} 6&x&&&&&\\ 5&&&&&&\\ 4&&&&&&\\ 3&&x&&&&\\ 2&&&x&&&\\ 1&&&&&&x\\ &1&2&3&4&5&6 \end{matrix}$

Siis $P\left(vektorit\ ovat\ kohtisuorassa\right)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

Teksti

122

A III

B II

C I

125

a) 37,5

b) 50

c) 80%

d) 40%

e) 30%

127

128

129

130

132

135

138

140

141

142

a) [1,6]

b) 3

c) ≈1,51

145

$\frac{719-681{,}29}{35{,}6}=1{,}059...\approx1{,}1$

$\frac{59{,}32-57{,}74}{2{,}45}=0{,}644...\approx0{,}64$

Koska 1,1>0,64m, urheilija menestyy paremmin pituushypyssä.

146

148

$\frac{15-14{,}5}{2{,}2}=0{,}227...\approx0{,}23$

$\frac{9{,}4-9{,}7}{1{,}9}=-0{,}157...\approx-0{,}16$

0,23>-0,16

A poikkee enemmän kuin B

150

1,48>1,28

Opiskelija menestyy paremmin ruotsissa.

152

Välien todellisetarvot

$\frac{155+164}{2}=159{,}5$

$\frac{165+174}{2}=169{,}5$

$\frac{175+184}{2}=179{,}5$
$\frac{185+194}{2}=189{,}5$

$\overline{x}=\frac{6\cdot159{,}5+15\cdot169{,}5+12\cdot179{,}5+3\cdot189{,}5}{\left(6+15+12+3\right)}=172{,}8333...\approx172{,}83$

$s=\sqrt[]{\frac{6\cdot\left(159{,}5-172{,}83\right)^2+15\cdot\left(169{,}5-172{,}83\right)^2+12\cdot\left(179{,}5-172{,}83\right)^2+3\cdot\left(189{,}5-172{,}83\right)^2}{\left(6+15+12+3\right)}}$
$=8{,}503...\approx8{,}5$

153

Keksiarvo:

$\frac{547\cdot2+548\cdot2+549\cdot2}{6}=548mm$

Otoskeskihajonta:

$s=\sqrt[]{\frac{\left(548-548\right)^2+\left(547-548\right)^2+\left(547-548\right)^2+\left(548-548\right)^2+\left(549-548\right)^2+\left(549-548\right)^2}{6}}$

$=0{,}816...\approx0{,}82mm$