Teoria

Teksti

Kaupan myyntikorissa on kuusi tuoretta sämpylää ja neljä kuivahtautta sämpylää. Korista otetaan peräkkäin kolme sämpylää. Olkoon satunnaismuuttuja X kuivahtaneiden sämpylöiden lukumäärä. Kuinka monta kuivahtanutta sämpylää todennäköisesti saadaan?

Ratkaisu:

Korissa on 10 sämpylää

6 tuoretta, 4 kuivahtautta

3 sämpylää peräkkäin

X = Kuivahtaneiden sämpylöiden lkm

Satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ovat 0, 1, 2 ja 3

Lasketaan satunnaismuuttujan arvoja vastaavat pistetodennäköisyydet

$P\left(X=0\right)=\frac{\binom{4}{0}\binom{6}{3}}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{6}$

$P\left(X=1\right)=\frac{\binom{4}{1}\binom{6}{2}}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{2}$

$P\left(X=2\right)=\frac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}=\frac{3}{10}$

$P\left(X=3\right)=\frac{\binom{4}{3}\binom{6}{0}}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{30}$

Lasketaan odotusarvo

$E\left(X\right)=0\cdot\frac{1}{6}+1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{3}{10}+3\cdot\frac{1}{30}=0+\frac{1}{2}+\frac{3}{5}+\frac{1}{10}=\frac{6}{5}=1{,}2$

Sattunaismuuttujan X todennäköisin arvo on 1.

2. Erään led-lampputyypin kestoikä noudattaa normaalijakaumaa siten, että keskiarvo on 13000 tuntia ja keskihajonta 1200 tuntia. Aulan kaikkiin kuuteen valaisimeen vaihdetaan syksyllä led-lamput. Jokainen lamppu palaaa kahden vuoden aikana 10950 tuntia.

Millä todemmäköisyydellä kahden vuoden kuluttua kaikki kuusi lamppua ovat vielä toimintakuntoisia?

Entä millä todennäköisyydellä vähintään 4 lampuista on tuolloin toimintakuntoisia?

Ratkaisu:

X = Lampun kestoikä (h)

X~N(13000, 1200)

$\mathrm{\mathrm{P\left(lamppu\ toimii\ 2\ vuoden\ kuluttua\right)=P\left(lamppu\ kestää\ vähintään\ 10950\ h\right)=P\left(X\ge10950\right)}}$

$P\left(6\ lamppua\ toimii\ 2\ vuoden\ kuluttua\right)=0{,}9562^6=0.7643...\approx0{,}764$

Lamppu toimii todennäköisyydellä P=0,9562 ja lamppu ei toimii todennäköisyydellä 1-P.

$P\left(vähintään\ 4\ lamppua\ toimii\right)=P\left(4\ tai\ 5\ tai\ 6\ toimii\right)$

$=\binom{6}{4}0{,}9562^4\cdot\left(1-0{,}9562\right)^2+\binom{6}{5}0{,}9562^5\cdot\left(1-0{,}9562\right)+\binom{6}{6}0{,}9562^6\cdot\left(1-0{,}9562\right)^0$
$\approx0{,}9988$

Tapa 2:

Olkoon Y = toimivien lamppujen lkm

Lamppu toimii todennäköisyydellä P=0,9562

Y~Bin(6;0,9562)

$P\left(Y\ge4\right)=P\left(Y=4\right)+P\left(Y=5\right)+P\left(Y=6\right)\approx0{,}9985\left(tnlaskkuri\right)$

Kahden vuoen kuluttua 6 lamppua toimivat n.76% tn

Vähintään 4 lampuista toimii 99,9% tn

4.1 Diskreetti jakauma

Muuttuja X sanotaan satunnaismuuttujaksi, jos muuttujan arvo määräytyy satunnaisilmiön mukaan.

Esim. nopanheiton silmäluku ja ensi viikon sademäärä pvat satunnaismuuttujia.

Diskreetti satunnaismuuttuja saa vain yksittäisiä arvoja.

Jatkuva satunnaismuuttuja voi daada tietyllä välillä olevia arvoja.

Diskreetin satunaismuuttujan X arvot $x_1{,}\ x_2{,}\ ...\ {,}\ x_3$

ja niihin liittyvät pistetodennäköisyydet

$p_i=P\left(X=x_i\right)$ muodostavat diskreetin todennäköisyysjakauma

Pistetodennäköisyyksien summa on 1 eli $p_1+p_2+...+p_n=1$

401

X=pelaajan voittosumma euroina

a) Satunnaismuuttujan mahdollisesti arvot ovat (€) -2, 1, 3 ja 5

b) Lasketaan arvojen todennäköisyydet

$P\left(x=-2\right)=P\left(silmäluku\ on\ parillinen\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$P\left(x=1\right)=P\left(silmäluku\ on\ 1\right)=\frac{1}{6}$

$P\left(x=3\right)=P\left(silmäluku\ on\ 3\right)=\frac{1}{6}$

$P\left(x=5\right)=P\left(silmäluku\ on\ 5\right)=\frac{1}{6}$

Esitetään jakauma taulukkona ja graafisesti

$\begin{array}{l|l} x&P\left(X=x\right)\\ \hline -2&\frac{1}{2}\\ 1&\frac{1}{6}\\ 3&\frac{1}{6}\\ 5&\frac{1}{6} \end{array}$

X=3:

Voittosummaon kolme euroa eli nopanheitolla tuli 3

$P\left(X=3\right)=\frac{1}{6}$

X=-2:

Pelaaja häviää kaksi euroa eli nopanheitolla tuli parillinen silmäluku

$P\left(X=-2\right)=\frac{1}{2}$

X≤3:

Voittosumma on korintaan 3 euroa

$P\left(X\le3\right)=P\left(X=-2\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=3\right)=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

2.3 Kertolaskusääntö ja tapahtumien riippumattomuus

Jos tapahtuman A todennäköisyys ei riipu tapahtumasta B ja toisin päin, ovat A ja B riippumattomia. Tällöin

$P\left(A\ ja\ B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$

Jos tapahtuman B todennäköisyyteen vaikuttaa tapahtuma A, ovat tapahtumat A ja B toisistaan riippuvia.

Merkintä P(B|A) tarkoittaa ehdollista todennäköisyyttä;

tapahtuman B todennäköisyys, kun A:n tiedetään tapahtneen.

Yleinen kertolaskusääntö

$P\left(A\ ja\ B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\mid A\right)$

244

a) Kortiapakassa on 52 korttia, joista patoja on 13 kpl.

$P\left(kaksi\ pataa\right)=P\left(1.kortti\ on\ pata\ ja\ 2.\ kortti\ on\ pata\right)$

$=\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}=\frac{1}{17}=0{,}0588...\approx0{,}059$

b) Korttipakassa on 26 mustaa korttia

$P\left(Kaksi\ mustaa\right)=P\left(1.\ kortti\ on\ musta\ ja\ 2.\ kortti\ on\ musta\right)$

$=\frac{26}{52}\cdot\frac{25}{51}=\frac{25}{102}\approx0{,}25$

c) A= Ainakin yksi punainen

$P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1$

$P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{25}{102}=\frac{77}{102}\approx0{,}75$

249

$P\left(tyttö\right)=49\%$

$P\left(kolme\ poikaa\right)=P\left(1.\ poika\ ja\ 2.\ poika\ ja\ 3.\ poika\right)$

$=0{,}51\cdot0{,}51\cdot0{,}51=0{,}51^3\ \approx0{,}1327=13\%$

$P\left(kome\ tyttöä\right)=P\left(1.\ tyttö\ ja\ 2.\ tyttö\ ja\ 3.\ tyttö\right)$

$=0{,}49\cdot0{,}49\cdot0{,}49=0{,}49^3\approx0{,}1176=12\%$

c) A= Ainakin yksi poika

$\overline{A}=\ Ei\ ollenkaan\ poikia=3\ tyttöä$

$P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-0{,}1176\approx0{,}8824=88\%$