Teksti

370

Läpipääsyyn vaaditaan 15 oikeaa vastausta, ja opiskelija tietää 10 vastausta, joten hän pääsee läpi arvaamalla oikein 5 vastausta lopuista 15:sta.

Koska opiskelija arvaa vastauksen 15 tehtävään, joissa vastausvaihtoehtoja on kaksi, tilannetta voidaan ajatella 15 yrityksen toistokokeena, jossa onnistumistodennäköisyys on jokaisella toistolla 1/2.

Opiskelija tarvitsee läpipääsyyn tietämiensä 10 vastauksen lisäksi vähintään 5 oikein arvattua vastausta eli 5, 6, … tai 10 oikeaa arvausta. Lasketaan vastatapahtuman "korkeintaan 4 oikeaa arvausta" eli "0, 1, 2, 3 tai 4 oikeaa arvausta" todennäköisyys. Tapahtumat ovat erilliset oikeiden vastausten eri lukumäärille, joten yhteenlaskusäännöllä saadaan

$P\left(0{,}1{,}3\ tai\ 4\ arvausta\ oikein\right)$
$=P\left(0\ oikein\right)+P\left(1\ oikein\right)+P\left(2\ oikein\right)+P\left(3\ oikein\right)+P\left(4\ oikein\right)$

$=\left(1-\frac{1}{2}\right)^{15}+\binom{15}{1}\cdot\ \left(1-\frac{1}{2}\right)^{15-1}+\binom{15}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)^{15-2}+\binom{15}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)^{15-5}+\binom{15}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)^{15-4}$
$=0{,}05892...$

Siis todennäköisyys, että opiskelija läpäisee testin, on 1-P(korkeintaan 4 arvausta oikein)=1-0,05892...=0,9410...≈0,94.

371
a)

Ajatellaan tilannetta toistokokeena, jossa onnistumisen todennäköisyys on P(O) = 0,33 ja toistoja on 12. Tapahtuman "enintään 9 O:ta" vastatapahtuma on "vähintään 10 O:ta" eli "10, 11 tai 12 O:ta". Erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännöllä saadaan

$P\left(10{,}\ 11\ tai\ 12\ O:ta\right)$
$=P\left(10\ O:ta\right)+P\left(11\ O:ta\right)+P\left(12\ O:ta\right)$
$=\binom{12}{10}\cdot0.33^{10}\cdot\left(1-0{,}33\right)^{12-10}+\binom{12}{11}\cdot0{,}33^{11}\cdot\left(1-0{,}33\right)^{12-11}+0{,}33^{12}$
$=0{,}0004960...$

Siispä

$P\left(enitään\ 9\ O:ta\right)$
$=1-P\left(enitään\ 10\ O:ta\right)$
$=1-0{,}0004960...$
$=0{,}99950$
$\approx0{,}9995$

Nyt toistokokeen onnistumistodennäköisyys on P(B) = 0,17. Tapahtumat "joukossa on kolme B:tä" ja "joukossa on "neljä B:tä" ovat erilliset, joten yhteenlaskusäännöllä saadaan

$P\left(3\ tai\ 4\ B:tä\right)$
$=P\left(3\ B:tä\right)+P\left(4\ B:tä\right)$
$=\binom{12}{3}\cdot0{,}17^3\cdot\left(1-0{,}17\right)^{12-3}+\binom{12}{4}\cdot0{,}17^4\cdot\left(1-0{,}17\right)^{12-4}$
$=0{,}295$
$\approx0{,}30$

383

Tapahtuman "ainakin kaksi itää" vastatapahtuma on "korkeintaan yksi itää" eli "ei yhtään tai yksi itää". Lasketaan vastatapahtuman todennäköisyys.

Ajatellaan tilannetta toistokokeena, jossa onnistumisen todennäköisyys on P(sipuli itää) = 0,7.

$P\left(enitään\ yksi\ itää\right)=P\left(ei\ yhtään\right)+P\left(yksi\right)$

$=\left(1-0{,}7\right)^n+\binom{n}{1}\cdot0{,}7^1\cdot\left(1-0{,}7\right)^{n-1}$
$=0{,}3^n+n\cdot0{,}7\cdot0{,}3^{n-1}$

Siis
$P\left(ainakin\ kaksi\ itää\right)=1-\left(0{,}3^n+n\cdot0{,}7\cdot0{,}3^{n-1}\right)$

Etsitään siis pienin luonnollinen luku n, jolle $P\left(ainakin\ kaksi\ itää\right)\ge0{,}99$ eli $1-\left(0{,}3^n+n\cdot0{,}7\cdot0{,}3^{n-1}\right)\ge0{,}99$

Etsitään luku n ratkaisemalla ensin yhtälö $1-\left(0{,}3^n+n\cdot0{,}7\cdot0{,}3^{n-1}\right)=0{,}99$ symbolisen laskennan ohjelmalla

Saadaan n=6,05...

Saadaan n = 6,05… Mitä enemmän sipuleita istutetaan, sitä suurempi on todennäköisyys, että vähintään haluttu määrä sipuleita itää. Sipuleita on siis istutettava vähintään 7.