Toisen asteen yhtälölle [[$ax^2+bx+c=0$]] voidaan johtaa yleinen ratkaisukaava täydentämällä neliöksi em. yleinen yhtälö kohdassa 3.2.1 opitulla tavalla.

[[$$ \begin{align} ax^2+bx+c &=0 && || -c \\ ax^2+bx &=-c && || \cdot 4a \\ 4a^2x^2+4abx&=-4ac && \\ (2ax)^2+2 \cdot 2a \cdot b \cdot x&=-4ac &&||+b^2 \\ (2ax)^2 +2 \cdot 2a \cdot b \cdot x +b^2 &=b^2-4ac && || \textrm{binomin neliö} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ (2ax+b)^2&=b^2-4ac && || \textrm{otetaan neliöjuuri, ehto } b^2-4ac \geq 0 \\ 2ax+b &= \pm \sqrt{b^2-4ac} &&|| -b \\ 2ax &= -b \pm \sqrt{b^2-4ac} &&|| :2a (a \neq 0) \\ x&=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \end{align}$$]]

Aiempien kuvaajatarkastelujen mukaan yhtälöllä voi olla kaksi, yksi tai ei yhtään erisuurta reaalista ratkaisua (vrt. luku 3.2). Kun toisen asteen yhtälö ratkaistaan ratkaisukaavan avulla, yhtälö on ensin saatettava perusmuotoon, jossa kaikki termit on siirretty vasemmalle.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälöt
a) [[$ x^2-4x-12=0 $]]
b) [[$x(2-x)=5$]]

Ratkaisu:
a) [[$$\begin{align} & x^2-4x-12=0 & ||\textrm{ratkaisukaava } x&=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2c}\\ \\ &\textrm{erotetaan kertoimet } a=1, b=-4, c=-12 &\\ \\ x&= \frac{-(-4) \pm\sqrt{(-4)^2 -4 \cdot1 \cdot(-12)}}{2\cdot 1} =\frac{4 \pm \sqrt{16-(-48)}}{2} & \\ & =\frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} =\frac{4 \pm 8}{2} & \\ x&=\frac{4-8}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \textrm{ tai } x=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6 &\end{align} $$]]
b)[[$$\begin{align}x(2-x)&=5 & \textrm{Poistetaan sulkeet ja muutetaan perusmuotoon.} \\ 2x-x^2&=5& \textrm{Kaikki termit vasemmalle} \\ -x^2+2x-5&=0 &\textrm{ratkaisukaava}\\ x&=\frac{2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-1) \cdot (-5)}}{2 \cdot (-1)} \\ &=\frac{2 \pm \sqrt{4-20}}{-2} \\ &=\frac{2 \pm \sqrt{-16}}{-2} & \textrm{Negatiivisesta luvusta ei voi ottaa neliöjuurta.} \\ &\textrm{Yhtälöllä ei ole ratkaisua.}& \end{align} $$]]
Vastaus:
a) [[$ x= -2 \textrm{ tai } x=6$]]
b) Yhtälöllä ei ole ratkaisua.


Jos ratkaisukaavassa neliöjuuren arvoksi ei tule kokonais- tai murtolukua, juuri on sievennettävä ja vastaus annettava tarkkana arvona sekä tarvittaessa likiarvona.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälöt
a) [[$\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{9}x -\frac{1}{9}=0$]]
b) [[$4a^2-4a-11=0$]]

Ratkaisu:
a) [[$$\begin{align}&\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}=0 \quad | \cdot 9 \quad \textrm{yksinkertaistetaan kertoimia ennen sijoitusta}\\ &3x^2-x-1=0 &\\ x&=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{1+12}}{6} \\&=\frac{1 \pm \sqrt{13}}{6} \quad \textrm{(tarkka arvo)} \\ x &\approx -0,43 \textrm{ tai } x \approx 0,77 \end{align}$$]]
b) [[$$ \begin{align}&4a^2+4a-11=0&||\textrm{ratkaisukaavasta}\\a=&\frac{4\pm \sqrt{4^2 -4 \cdot 4 \cdot (-11)}}{2\cdot 4} \\ &=\frac{4\pm \sqrt{ 16+11 \cdot 16 }}{8}=\frac{4 \pm \sqrt{16 \cdot 12}}{8} =\frac{4 \pm 4\sqrt{4 \cdot 3}}{8}\\&=\frac{4 \pm 8\sqrt{3}}{8}=\frac{8(\frac{1}{2} \pm \sqrt{3})}{8}=\frac{1}{2} \pm \sqrt{3}\quad (a \approx -1,23 \textrm{ tai } a \approx 2,23)\end{align}$$]]
Vastaus:
a) [[$ x =\frac{1 \pm \sqrt{13}}{6} \approx -0,43 \textrm{ tai } x \approx 0,77 $]]
b) [[$ a = \frac{1}{2} \pm \sqrt{3} \approx -1,23 \textrm{ tai } a \approx 2,23 $]]

Esimerkki 3

Ratkaise luku [[$x$]] yhtälöstä [[$x^2-2ax+x-3a^2-3a=0$]].

Ratkaisu:
Luku [[$a$]] on yhtälössä vakio ja [[$x$]] muuttuja, joka ratkaistaan ratkaisukaavalla. Yhtälössä on kaksi ensimmäisen asteen termiä, joille pitää löytää yhteinen kerroin ottamalla [[$x$]] yhteiseksi tekijäksi.

[[$x^2-2ax+x-3a^2-3a = 0 \Leftrightarrow x^2+\underbrace{(-2a+1)}_{=b}x\underbrace{-3a^2-3a}_{=c}=0$]]
Sijoitetaan ratkaisukaavaan:
[[$$x=\frac{-(-2a+1)\pm \sqrt{(-2a+1)^2-4\cdot1\cdot(-3a^2-3a)}}{2 \cdot 1}=\frac{2a-1\pm \sqrt{16a^2+8a+1}}{2}$$]]
Nyt juuren alla [[$16a^2=(4a)^2$]] ja [[$8a=2\cdot 4a\cdot 1$]], joten lauseke on binomin neliö ja kaavan [[$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$]] avulla saadaan
[[$$x=\frac{2a-1 \pm \sqrt{(4a+1)^2}}{2} = \frac{2a-1 \pm (4a+1)}{2} \quad \text{Huomaa} \sqrt{a^2}=|a|, \text{mutta itseisarvot voi jättää pois } \pm\text{-merkin vuoksi} $$]]
[[$$ x=\frac{2a-1-(4a+1)}{2}=\frac{-2a-2}{2}=\frac{2(-a-1)}{2}=-a-1$$]] tai
[[$$ x= \frac{2a-1+4a+1}{2}=\frac{6a}{2}=3a$$]]
Vastaus: [[$x = -a-1 \text{ tai } x =3a$]]