Miltei tyhjentyneen auton akun lähdejännite on 10,7 V. Akku on kytketty käynnistysmoottoriin, jonka resistanssi on 0,45 Ω. Moottorin käynnistämiseksi akun rinnalle kytketään toinen akku, jonka lähdejännite on 13,0 V. Molemmilla akuilla on 0,12 Ω:n sisäinen resistanssi. Piirrä kytkentäkaavio ja laske käynnistysmoottoriin syntyvä sähkövirta.

Ratkaisu

Kirchhoffin II lain mukaan [[$\Sigma \Delta V = 0$]]

[[$ \quad E_1-I_1R_s-I_3R_M=0\\ \quad E_2-I_2R_s-I_3R_M=0 $]]​

Kirchhoffin I lain mukaan

[[$\quad I_1+I_2=I_3 $]]​

[[$ \quad E_1=10{,}7 \text{ V}\\ \quad E_2=13{,}0 \text{ V}\\ \quad R_s=0{,}12 \text{ }\Omega\\ \quad R_M=0{,}45 \text{ }\Omega $]]​

Ratkaistaan sähkövirrat I₁ ja I₂ Kirchhoffin II lain lausekkeista

[[$ \quad I_1=\dfrac{E_1-I_3R_M}{R_s}\\ \, \\ \quad I_2=\dfrac{E_2-I_3R_M}{R_s} $]]​

Sijoitetaan edellä ratkaistut lausekkeet Kirchhoffin I lain lausekkeeseen

[[$ \begin{align}\quad I_1+I_2&=I_3\\ \, \\ \quad \dfrac{E_1-I_3R_M}{R_s}+\dfrac{E_2-I_3R_M}{R_s}&=I_3 \end{align} $]]​

Ratkaistaan sähkövirta I₃

[[$ \begin{align} \quad E_1-I_3R_M+E_2-I_3R_M&=R_sI_3\\ \, \\ E_1+E_2&=R_sI_3+2R_MI_3\\ \, \\ E_1+E_2&=(R_s+2R_M)I_3\\ \, \\ I_3&=\dfrac{E_1+E_2}{R_s+2R_M} \end{align} $]]​

Ratkaisuksi saadaan

[[$\quad I_3=23{,}235\ldots \text{ A}\approx 23{,}2 \text{ A} $]]​

Sähkövirtojen I₁ ja I₂ suuruudet saadaan lausekkeista

[[$\quad I_1=\dfrac{E_1-I_3R_M}{R_s}\\ \, \\ \quad I_2=\dfrac{E_2-I_3R_M}{R_s} $]]​

Ratkaisuksi saadaan

[[$\quad I_1=2{,}0343\ldots \text{ A}\approx 2{,}03 \text{ A}\\ \, \\ \quad I_2=21{,}200\ldots \text{ A}\approx 21{,}2 \text{ A} $]]​

tai

Tilanteen voi ratkaista käyttäen yhtälöryhmää, joka muodostetaan Kirchhoffin lakien mukaisista lausekkeista

Ratkaistaan yhtälöryhmä

[[$ \begin{equation} \quad \begin{cases} 10{,}7 \text{ V}-I_1\cdot 0{,}12\text{ }\Omega-I_3\cdot 0{,}45 \text{ }\Omega\\ 13{,}0 \text{ V}-I_2\cdot 0{,}12\text{ }\Omega-I_3\cdot 0{,}45 \text{ }\Omega\\ I_1+I_2=I_3 \end{cases} \end{equation} $]]​

Ratkaisuksi saadaan

[[$ \begin{equation} \quad \begin{cases} I_1= 2{,}0343\ldots \text{ A}\approx 2{,}03 \text{ A}\\ I_2= 21{,}200\ldots \text{ A}\approx 21{,}2 \text{ A}\\ I_3=23{,}235\ldots \text{ A}\approx 23{,}2 \text { A} \end{cases} \end{equation} $]]​