Kuvaaja ja kulmakerroin

Suoran kulmakerroin

Kulmakerroin

​Kuvaajalta valitun kahden pisteen välinen kulmakerroin saadaan määritettyä jakamalla pisteiden y-koordinaattien muutos Δy sitä vastaavalla x-koordinaattien muutoksella Δy.​

[[$ \begin{align} \text{kulmakerroin}&=\dfrac{\text{y-koordinaattien muutos}}{\text{x-koordinaattien muutos}} \\ \\ k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{align} $]]​



​

Yleisesti kuvaajalta valittu kahden pisteen välinen kulmakerroin kuvaa kuvaajan keskimääräistä muutosnopeutta. Esimerkiksi [[$(t, x)$]]-koordinaatistossa kuvaajalta valittu pisteiden välinen kulmakerroin kuvaa kappaleen keskimääräistä nopeutta eli keskinopeutta.


Kappaleen keskinopeus välillä 0,0...7,0 s on

[[$ v_k=\dfrac{\Delta x}{\Delta t} =\dfrac{\text{6,0 m}-\text{0,0 m}}{\text{7,0 s}-\text{0,0 s}} \approx \text{0,86 m/s} $]]​

Tangentin kulmakerroin

Käyrälle piirretty tangentti on suora, joka leikkaa käyrää vain yhdessä pisteessä, eli se sivuaa käyrää. Suoralle piirretyn tangentin kulmakerroin kuvaa käyrän hetkellistä muutosnopeutta. Tutki, miten kulmakerroin muuttuu, kun siirrät pistettä, jolle tangentti on piirretty.


​
​

Esimerkiksi [[$(t, x)$]]-koordinaatistossa kuvaajalle yhteen pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin kuvaa kappaleen hetkellistä nopeutta.

Tangentin kulmakertoimen määrittämistä kutsutaan myös graafiseksi derivoinniksi.

​

​Videolla käyrälle sijoitetun tangentin kulmakerroin (eng. slope) suurenee mittauksen edetessä, eli kappaleen nopeus kasvaa (käyrä jyrkkenee), kunnes kappale pysähtyy (kuvaaja muuttuu vaakasuoraksi). Kulmakertoimen suuruus on liikkeen hetkellinen nopeus.

Esimerkki 2: epälineaarinen kuvaaja ja interpolointi

Fysiikan ylioppilaskoe, syksy 2015, tehtävä 2

Saturn V -rakettia käytettiin Apollo-ohjelmassa kantorakettina. 16. päivänä heinäkuuta 1969 Saturn V lähetti ensimmäisen ihmisen Kuuhun Apollo 11 -lennolla. Taulukko esittää Saturn V -raketin lentokorkeuden ja nopeuden juuri laukaisun jälkeen.
[[$ h $]] (m) 0 4 13 32 55 83 103
[[$ v $]] (m/s) 0 4 7 12 16 20 23

  1. Piirrä raketin nopeuden kuvaaja lentokorkeuden funktiona. (3 p.)
  2. Määritä raketin nopeus, kun sen lentokorkeus on 76 m. (1 p.)
  3. Määritä raketin keskikiihtyvyys aikavälillä 4,0...6,0 s, jolloin raketti nousee korkeudelta 25 m korkeuteen 48 m. (2 p.)


Ratkaisu GeoGebralla

Esimerkki 3: epälineaarinen kuvaaja ja suoran sovitus kuvaajalle

Fysiikan ylioppilaskoe, kevät 2014, tehtävä 2

Radio-ohjattavan leikkiauton suoraviivaista liikettä kuvattiin videokameralla. Oheisessa taulukossa on auton paikka ajan funktiona.
[[$ t $]] (s) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5
[[$ x $]] (m) 0,00 0,00 0,00 0,03 0,10 0,23 0,43 0,71 1,09 1,33 1,37 1,37

  1. Määritä auton paikan kuvaaja [[$ x(t) $]]. (3 p.)
  2. Määritä auton keskinopeus aikavälillä 1,7...4,2 s. (2 p.)
  3. Kuinka kauan auto liikkuu? (1 p.)


Ratkaisu GeoGebralla