2. VOIMA JA PAINE Perustehtävät (211–221)

211. Ruuvimeisseli sormien välissä

Ruuvimeisseliä painetaan sormien välissä kuvan mukaisesti. Selitä tuntemukset sormissa fysiikan avulla.
Miksi traktoreissa on yleensä leveät renkaat?

Ratkaisu

a. Koska ruuvimeisseli ei ole kiihtyvässä liikkeessä, siihen kohdistuva kokonaisvoima on Newtonin II lain mukaisesti nolla. Tällöin kumpikin käsi painaa ruuvimeisseliä yhtä suurella, mutta vastakkaissuuntaisella voimalla (jotta ne kumoavat toisensa). Newtonin III lain mukaan ruuvimeisseli kohdistaa tällöin yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset voimat kämmeniin. Siis ruuvimeisseli kohdistaa kumpaankin kämmeneen yhtä suuren voiman.

Voiman aiheuttama paine saadaan laskemalla [[$p=\frac{F}{A}$]], eli paine on sitä suurempi, mitä pienemmälle pinnalle voima kohdistuu. Oikeassa kämmenessä voima kohdistuu ruuvimeisselin kärjen kokoiselle alalle ja vasemmassa ruuvimeisselin kädensijan kokoiselle alalle. Siispä oikeaan kämmeneen kohdistuu suurempi paine, mikä tuntuu voimakkaampana tuntoaistimuksena, jopa kipuna.

b. Mitä suurempi pinta-ala renkaalla on, sitä suuremmalle pinta-alalle traktorin paino jakautuu ja maahan kohdistuva paine pienenee ([[$p=\frac{F}{A}$]]). Mitä pienempi paine, sitä todennäköisemmin pehmeäkin maa kestää sen antamatta periksi, ja traktori ei vajoa.

212. Pulkka keväthangella

Keväthangella olevalle pulkalle kasattiin kilogramman massaisia punnuksia. Kun pulkalle nostettiin 51. punnus, pulkka vajosi hankeen. Pulkka oli ylhäältä katsottuna suorakulmion muotoinen: leveys 52 cm ja pituus 89 cm. Kuinka suuri paine tarvittiin keväthangen rikkomiseen?

Ratkaisu

Paine lasketaan jakamalla pintaan kohdistuva voima pinnan pinta-alalla: [[$p=\frac{F}{A}$]]. Nyt hankeen kohdistuva voima on pulkan ja sen punnusten paino. Paino on voima, jolla maa vetää kappaletta puoleensa ja saadaan kertomalla massa putoamiskiihtyvyydellä: [[$G=mg$]]. Pulkan massaa ei ole kerrottu, mutta punnusten massa on 51 kg ja pulkan massan voidaan olettaa hyvin pieni tähän verrattuna. Pinta-ala on pulkan pinta-ala. Paineeksi saadaan
[[$$p=\frac{F}{A}=\frac{mg}{A}=\frac{51\text{ kg}\cdot 9,81\text{ m}/{s}^2}{0,52\text{ m}\cdot0,89\text{ m}}=1081,0\dots\text{Pa}\approx 1,1\text{ kPa}$$]]

213. Laminaatti ja hydraulipuristin

Laminaatin kestävyyttä testataan tehtaalla kuvan hydraulipuristimella. Laminaattia painava metallisylinterin alapinta on ympyrä, jonka säde on 2,50 cm. Havaittiin, että laminaattiin syntyi kuoppa, kun metallisylinteriä painettiin laminaattia vasten 12,3 kN voimalla.

Laske paine, jolla laminaattiin syntyi kuoppa.
Monet huonekalut ovat neljän jalan varassa. Raskaimmat tällaiset huonekalut voivat olla esimerkiksi arkistokaappeja, joiden massa kansioita täynnä voi olla esimerkiksi 150 kg. Arvioi laminaatin käyttökelpoisuutta laskemalla, minkä kokoiset jalat tällaisella arkistokaapilla vähintään täytyy olla, jotta laminaattiin ei tule kuoppaa.

Ratkaisu

Paineen määritelmä
[[$p=\dfrac{F}{A}$]]

Ympyrän pinta-ala
[[$A=\pi r^2$]]

[[$p=\dfrac{F}{\pi r^2}$]]

[[$F=12,3 \cdot 10^3 \ \mathrm{N}$]]
[[$r=0,0250 \ \mathrm{m}$]]

[[$p=6,2643\cdot 10^6 \ \mathrm{Pa}\approx 6,3 \ \mathrm{MPa}$]]

Pinta-ala paineen määritelmästä
[[$A=\dfrac{F}{p}$]]

Painetta aiheuttava voima syntyy kaapin painosta
[[$F=G=mg$]]

[[$A=\dfrac{mg}{p}$]]

[[$m=150 \ \mathrm{kg}$]]
[[$g=9,81 \ \mathrm{m/s^2}$]]
[[$p=6,2643\cdot 10^6 \ \mathrm{Pa}$]]

[[$A=2,3490\cdot 10^{-4} \ \mathrm{m^2}\approx 2,3 \ \mathrm{cm^2}$]]

Kaapin jalkojen yhteenlaskettu ala on 2,3 cm² eli yhden jalan pinta-ala on noin 0,6 cm². Jos kaapin jalka olisi neliö, on yhden jalan sivun pituus vajaat 0,8 cm. Jotta paine ei kasvaisi liian suureksi, on jalkojen sivujen pituus ja täten pinta-alan oltava suurempi kuin edellä lasketut arvot.

Voisi olettaa, että kaapin jalat rakennetaan suuremmiksi kuin sivuiltaan yhden senttimetrin pituisiksi. Laminaatti on sopiva pinnoite kaapille.

214. Imukuppi katossa

Imukupilla voidaan esimerkiksi kiinnittää esineitä seiniin tai kattoon. Mihin imukupin toiminta perustuu? Vertaa Magdeburgin puolipalloihin ja ylösalaisin olevaan kannelliseen vesilasiin.
Erään ympyränmuotoisen imukupin halkaisija on 4,5 cm. Laske, kuinka suuren massan siihen voi kiinnittää roikkumaan, kun imukuppi on painettu kiinni sisäkattoon.

Ratkaisu

a. Kun imukuppi painetaan seinään tai kattoon, imukupin ja seinän välissä oleva tila pienenee ja imukupin sisältä puristuu ilmaa pois. Ideaali-imukupin tapauksessa kaikki ilma puristuisi pois. Tällöin ideaali-imukupin sisällä olisi tyhjiö, ja ulkopuolella oleva normaali ilmanpaine painaisi imukupin seinää vasten.

Todellisen imukupin ja seinän väliin jää hieman ilmaa jäljelle, mutta imukuppia ulospäin vedetessä paine sen ja seinän välisessä tilassa laskee kyseisen tilan kasvaessa ja ulkopuolella oleva normaali ilmanpaine painaa imukupin seinää vasten.

Tilanne on vastaava kuin Magdeburgin puolipallojen ja ylösalaisin käännetyn kannellisen vesilasin tapauksessa: ilmanpaine on suurempi kuin suljetussa tilassa oleva paine, ja siksi ilmanpaine pitää tilan suljettuna.

b. Jos oletetaan, että imukupin ja katon välistä saadaan puristettua kaikki ilma pois, ulkoinen paine (normaali ilmanpaine, 101325 Pa) painaa imukupin kattoa vasten. Voima saadaan laskettua kaavalla [[$F=pA$]]. Imukuppi pysyy katossa niin kauan, kuin sitä vedetään alaspäin pienemmällä voimalla kuin milla ilmanpaine painaa imukuppia ylös. Roikkuvan massan tulee siis olla riittävän pieni, jossa sen paino [[$G0mg$]] ei ylitä ilmanpaineen imukuppiin kohdistamaa voimaa.

Rajatapauksessa paino ja ilmanpaineen aiheuttama voima ovat yhtäsuuret, ja saadaan yhtälö
[[$$mg=pA$$]]
Pinta-ala on imukupin pinta-ala, [[$A=\pi r^2$]] ja säde on puolet halkaisijasta, 0,0225 m. Yhtälöstä voidaan ratkaista massa:
[[$\begin{align*}mg&=pA&||:g \\ m&=\frac{p \pi r^2}{g}=\frac{101325\text{ Pa}\cdot \pi \cdot \left(0,0225\text{ m}\right)^2}{9,81\text{ m}/\text{s}^2}=16,4\dots \text{kg}\approx 16\text{ kg}& \\ \end{align*} $]]

215. Paineilmiöitä mikrotasolla

Miten seuraavat tapahtumat näkyvät aineen mikrotasolla?

Polkupyörän renkaassa on reikä, ja ilmaa vuotaa siitä ulos. Kumi pehmenee.
Suljettua limonadipulloa lämmitetään. Pullo pullistuu.

Ratkaisu

a. Renkaassa olevat ilman molekyylit törmäilevät kumin seinämiin. Osa molekyyleistä "törmää" seinämän sijaan reikään ja poistuu renkaasta. Koska paine renkaan sisäpuolella on ulkoista ilmanpainetta suurempi, molekyylejä törmää renkaan sisäpintaan useammin kuin ulkopintaan. Siksi reiän kohdalla siirtyy enemmän molekyylejä ulos kuin sisään. Renkaassa olevien molekyylien määrän vähentyessä törmäyksiä sisäpintaan tapahtuu aiempaa harvemmin. Paine laskee ja rengas tuntuu pehmeämmältä.

b. Kun limonadipulloa lämmitetään, sen sisällä olevan kaasun (ja mahdollisen nesteen) lämpöliike kasvaa. Kaasun osalta ilmiö on erityisen voimakas, ja kaasumolekyylit törmäilevät pullon seinämiin aiempaa useammin ja nopeammin. Paine pullossa kasvaa. Törmäyksistä pulloon kohdistuva voima pullistaa pulloa. Mitä pullistuneempi pullo on, sitä suurempi voima tarvitaan sen laajentamiseen edelleen. Siksi ennen pitkää syntyy tasapainotilanne, ellei pullo repeä ennen sitä.

216. Paine välikorvassa

Ihmisen korva voidaan jakaa kolmeen osaan, ulko-, väli- ja sisäkorvaan. Ulkokorvan ja välikorvan välissä on tärykalvo. Välikorvassa on ilmapitoinen kammio, joka yhdistyy nenään ja kurkkuun korvatorven kautta. Ulkokorvassa tapahtuu ulkoisen ilmanpaineen muutoksia, ulkokorvan ja välikorvan välinen paine-ero tasaantuu korvatorven kautta. Flunssassa kudos korvatorven ympärillä voi turvota, jolloin paine-ero ei pääse normaalisti tasaantumaan ulko- ja välikorvan välissä, ja äkillinen ulkoisen paineen muutos voi johtaa kipureaktioon.

Arvioi, kuinka suuri ja minkä suuntainen voima tärykalvoon kohdistuu, kun lentokoneen noustessa sen sisällä oleva ilmanpaine pienenee noin 19 % verrattuna normaaliin ilmanpaineeseen. Tärykalvon poikkileikkaus voidaan arvioida ympyrän muotoiseksi, ja sen halkaisija on noin 9,0 mm.

Ratkaisu

Paineen määritelmä
[[$p=\dfrac{F}{A}$]]

[[$F=pA$]]

Pinta-ala on ympyrän muotoinen
[[$A=\pi r^2=\pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$]]

[[$F=p\cdot \pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$]]

Paine-ero on noin 100 % - 19 % = 81 %

[[$p=0{,}19\cdot 101325 \ \mathrm{Pa}$]]
[[$d=9{,}0\cdot 10^{-3} \ \mathrm{m}$]]

[[$F=1{,}2247 \ \mathrm{N}\approx 1{,}2 \ \mathrm{N}$]]

217. Sukeltajan kokema paine

Sukeltaja on meressä 42 metrin syvyydessä. Määritä sukeltajan kokema kokonaispaine.
Missä syvyydessä paine on kasvanut kymmenkertaiseksi ilmanpaineeseen verrattuna?

Ratkaisu

a. Kokonaispaine koostuu yllä olevan veden hydrostaattisesta paineesta ([[$\rho gh$]], nyt h on 42 m) sekä ilmanpaineesta ([[$p_0=101325\text{ Pa}$]]). Saadaan
[[$$p=p_{\text{hydr}}+p_0=1000\text{ kg}/\text{m}^3\cdot 9,81\text{ m}/\text{s}^2\cdot 42\text{ m}+101325\text{ Pa}=513345\text{ Pa}\approx 510\text{ kPa}$$]]

b. Kokonaispaineen halutaan olevan 1 013 250 Pa. Syvyys on ratkaistavissa samasta yhtälöstä kuin a-kohdassa:
[[$\begin{align*}p&=\rho gh+p_0& \\ p-p_0&=\rho gh & ||:\rho g \\ h&=\frac{p-p_0}{\rho g}=\frac{1013250\text{ Pa}-101325\text{ Pa}}{1000\text{ kg}/\text{m}^3\cdot 9,81\text{ m}/\text{s}^2}=92,9\dots\text{m}\approx 93\text{ m} & \\ \end{align*}$]]

218. Veden tiheyden määrittäminen

Käytä videossa saatuja mittaustuloksia ja määritä veden tiheys. Vertaa taulukkoarvoon.

Aineisto:
Hydrostaattinen_paine.cap
Hydrostaattinen_paine.cmbl
Hydrostaattinen_paine.ods

Ratkaisu

Videossa mitataan painetta vedessä eri syvyyksillä. Kokonaispaine p syvyydellä h on
[[$$p=p_0+\rho gh,$$]]
missä p₀ on ilmanpaine veden yllä, g on putoamiskiihtyvyys ja [[$\rho$]] on kysytty tiheys. Vertaamalla suoran yhtälöön
[[$$y=kx+b$$]]
nähdään, että kulmakerroin [[$k=\rho g$]]. Videosta nähdään, että kulmakerroin on
[[$$k=0,0960\text{ kPa}/\text{cm}=9600\text{ Pa}/\text{m}$$]]
Tiheydeksi saadaan
[[$$\rho=\frac{k}{g}=\frac{9600\text{ Pa}/\text{m}}{9,81\text{ m}/\text{s}^2}=978,5\dots\text{kg}/\text{m}^3\approx 980\text{ kg}/\text{m}^3$$]]
Taulukon mukaan kyseessä on noin 65-asteinen vesi.

219. Vesisuihku putoavasta vesipullosta

Vesipullossa on reikä, josta suihkuaa vettä. Mitä vesisuihkulle tapahtuu pullossa olevan veden määrän vähetessä? Kokeile ja selitä havaintosi.
Miten vesisuihku käyttäytyy ilmalennon aikana, kun pullo pudotetaan? Kokeile ja selitä havaintosi.

Ratkaisu

a. Vesi ei suihkua yhtä kauas pullosta, eli vesisuihkun vaakasuuntainen nopeus pienenee. Tämä johtuu siitä, että vedenpinnan laskiessa hydrostaattinen paine reiän syvyydellä laskee. Samalla voima, jolla paine puristaa vettä ulos pullosta, pienenee. Siksi veden saama kiihtyvyys ja sitä myöten ulostulonopeus pienenevät.

b. Hydrostaattinen paine aiheuttaa voiman, joka työntää vettä ulos reiästä. Hydrostaattinen paine taas syntyy painovoiman vaikutuksesta. Vapaassa pudotuksessa hydrostaattinen paine häviää, sillä vesi putoaa vapaasti pullon mukana. Vesisuihku lakkaa vapaassa pudotuksessa kokonaan.

220. Ihon kokema paine

Ihmisen ihon kokonaispinta-ala on noin 3 000 cm².

Laske, kuinka suuren voiman ilmanpaine synnyttää iholle yhtä neliösenttimetriä kohden.
Kuinka suuri kokonaismassa aiheuttaisi painollaan saman puristuksen, mikäli se jakautuisi tasaisesti koko iholle?

Ratkaisu

Normaalin ilmanpaineen suuruus on 101 325 Pa. Yksikkö pascal on yhden newtonin suuruinen voima neliömetriä kohden.

[[$1 \ \mathrm{cm^2}=10^{-4} \ \mathrm{m^2}$]]

[[$p=\dfrac{F}{A}$]] eli [[$F=pA$]]

[[$F=101325 \ \mathrm{\frac{N}{m^2}}\cdot 10^{-4} \ \mathrm{m^2}=10{,}1325 \ \mathrm{N}$]]

Voiman suuruus on suuruusluokaltaan 10 N neliösenttimetriä kohden.

Paineen määritelmä
[[$p=\dfrac{F}{A}$]]

Voima aiheutuu kappaleen painosta
[[$F=G=mg$]]

[[$p=\dfrac{mg}{A}$]]

[[$m=\dfrac{pA}{g}$]]

[[$p=101325 \ \mathrm{Pa}$]]
[[$A=3000\cdot 10^{-4} \ \mathrm{m^2}$]]
[[$g=9{,}81 \ \mathrm{m/s^2}$]]

[[$m=3098{,}62 \ \mathrm{kg}\approx 3000 \ \mathrm{kg}$]]

221. Paineilmasylinteri ja nostolava

Paineilmasylinteri nostaa nostolavan. Kuinka suuri paine sylinterissä on oltava, jotta sillä saadaan nostettua 350 kg:n kuorma? Sylinteri on ympyrälieriön muotoinen, ja sen halkaisija on 18 cm.

Ratkaisu

Sylinteriä painaa kasaan ulkoisen paineen siihen kohdistama voima, [[$F_0=p_0A$]] ja kuorman paino, [[$G=mg$]]. Sylinteriä pyrkii laajentamaan (ja kuormaa nostamaan) sen sisällä olevan paineen aiheuttama voima, [[$F=pA$]]. Jotta sylinteri nousee, laajentavan voiman on oltava suurempi kuin puristavat voimat yhteensä. Rajatapauksessa ne ovat yhtä suuret. Saadaan yhtälö
[[$$p_0A+mg=pA$$]]
Pinta-ala on sylinterin nousevan kannen pinta-ala, [[$A=\pi r^2$]]. Yhtälöstä voidaan ratkaista paine:

[[$\begin{align*}p_0A+mg&=pA & ||:A \\ p&=\frac{p_0A+mg}{A} & \\ &=\frac{101325\text{ Pa}\cdot \pi \cdot\left(0,09\text{ m}\right)^2+350\text{ kg}\cdot 9,81\text{ m}/\text{s}^2}{\pi \cdot\left(0,09\text{ m}\right)^2} & \\ &=236253,0\dots\text{Pa}\approx 240\text{ kPa} & \\ \end{align*}$]]