1. TERMODYNAAMINEN SYSTEEMI Soveltavat tehtävät (151–164)
151. Fahrenheit-asteikko
- Ota selvää, millainen on Fahrenheit-asteikko. Minkä kahden kiintopisteen avulla se on määritelty?
- Muunna celsiusasteiksi 50 °F ja fahrenheitasteiksi 50 °C.
- Selvitä, missä Fahrenheit-asteikkoa käytetään.
Ratkaisu
a. Fahrenheit-asteikko on määritelty asettamalla veden jäätymispisteen lämpötilaksi 32 °F ja veden kiehumispisteeksi 212 °F. Näin ollen
[[$$32\text{ }^{\circ}\text{F} = 0\text{ }^{\circ}\text{C ja }212\text{ }^{\circ}\text{F} = 100\text{ }^{\circ}\text{C}.$$]]
Nähdään, että 212 °F - 32 °F = 180 °F muutos vastaa 100 °C muutosta, eli
[[$$\Delta T=1\text{ }^{\circ}\text{C}=1,8\text{ }^{\circ}\text{F}.$$]]
Alunperin ylempi kiintopiste oli ihmisen ruumiinlämpö, jonka oli arvioitu olevan 96 °F. Koska tämä on epämääräinen määritelmä, sitä on myöhemmin tarkennettu.
b. [[$$50\text{ }^{\circ}\text{F} = \frac{50-32}{1,8}\text{ }^{\circ}\text{C}=10\text{ }^{\circ}\text{C}$$]]
[[$$50\text{ }^{\circ}\text{C}=\left(50\cdot 1,8 + 32\right)\text{}^{\circ}\text{F}=122\text{ }^{\circ}\text{F}$$]]
c. Fahrenheit-asteikko on yleisesti käytössä ainoastaan Yhdysvalloissa, Bahamasaarilla ja Belizessä. 1960-luvulle saakka se oli läytössä myös lähes kaikissa englantia puhuvissa maissa, mutta sen käytöstä on luovuttu celsius-asteikon hyväksi. Syynä tähän on, että pyritään siirtymään SI-järjestelmän mukaisten yksiköiden käyttöön. Lämpötilan SI-järjestelmän yksikkö on Kelvin, ja lämpötilan muutoksissa yksi kelvin vastaa yhtä celsiusastetta. Historiallisesti englanninkielinen maailma jäi käyttämään muita kuin SI-järjestelmän yksiköitä, koska SI-järjestelmä on peräisin Ranskasta, jonka kanssa englanninkielinen maailma oli sodassa järjestelmän kehittämisen aikaan 1700- 1800 -lukujen vaihteessa.
152. Erilaisia lämpömittareita
Ratkaisu
Tyypillisesti saunassa olevan viisarimittarin toiminta perustuu kaksoismetalliliuskaan. Kahdesta eri metallista tehdyt liuskat on nidottu kiinni päällekkäin paksummaksi liuskaksi. Tämä liuska on kierretty spiraaliksi. Kun kaksoismetalliliuska lämpenee, toinen metalleista laajenee enemmän kuin toinen ja liuska käyristyy lisää tai oikenee. Liuskan toiseen päätyyn kiinnitetty viisari kääntyy tällöin.
Digitaaliset lämpömittarit perustuvat useimmiten vastuksiin joiden resistanssi (kyky vastustaa sähkövirtaa) riippuu lämpötilasta. Mittari mittaa oikeastaan jännitettä vastuksen päiden välillä tai virtaa vastuksen läpi ja muuntaa tuloksen ohjelmoidusti lämpötilaksi.
153. Metallitangon tuntematon materiaali
Ohutta metallitankoa lämmitettiin ja tangon pituuden muutosta mitattiin. Tangon pituus alussa oli 1,000 m. Selvitä mittaustulosten perusteella, mikä on tutkitun aineen pituuden lämpölaajenemiskerroin, ja mikä aine voisi olla kyseessä.
Aineisto
Taulukko: Metallitangon lämmitys.ods (LibreCalc)
Taulukko: Metallitangon lämmitys.cmbl (Logger Pro)
Taulukko: Metallitangon lämmitys.cap (Capstone)
Ratkaisu
Pituuden lämpölaajeneminen noudattaa matemaattista mallia [[$l=l_0+l_0\alpha\Delta T$]], missä l on uusi pituus, l0 on alkuperäinen pituus, [[$\alpha$]] on aineelle ominainen pituuden lämpölaajenemiskerroin ja [[$\Delta T$]] on lämpötilan muutos. Tämä voidaan esittää myös muodossa
[[$$l-l_0=l_0\alpha\Delta T$$]]
Matemaattisesti tämä on suoran yhtälö: [[$y=kx+b$]], missä y on pituuden muutos, x on lämpötilan muutos, k eli kulmakerroin on alkuperäinen pituus kerrottuna pituuden lämpölaajenemiskertoimella ja b=0. Siispä esittämällä mittaustulokset koordinaatistossa ja määrittämällä parhaiten pisteisiin sopivan suoran kulmakertoimen saadaan selvitettyä tutkitun aineen pituuden lämpölaajenemiskerroin. Tästä voidaan päätellä, mikä aine olisi voinut olla kyseessä.
Mittausdataa on muokattava siten, että lämpötilan sijaan on tiedossa lämpötilan muutos. Tämän jälkeen tulokset näyttävät koordinaatistossa seuraavilta:
Kulmakerroin on siis 0,0086 mm/K = 0,0000086 m/K. Aiemmin todettiin, että [[$\text{kulmakerroin}=l_0\alpha$]], joten
[[$$\alpha=\frac{\text{kulmakerroin}}{l_0}=\frac{0,0000086\text{ m/K}}{1,000\text{ m}}=8,6\cdot10^{-6}\text{ }1/\text{K}$$]]
Taulukkokirjaan listatuista metalleista lähimmäksi pääsee titaani: [[$\alpha=8,5\cdot10^{-6}\text{ }1/\text{K}$]].
154. Veden lämpölaajeneminen
Aineistossa on taulukko veden tiheydestä eri lämpötiloissa.
- Esitä veden tiheys lämpötilan suhteen graafisesti ja määritä kuvaajan perusteella tiheys 87 °C:n lämpötilassa neljän numeron tarkkuudella.
- Vettä on 1,000 kg. Tee tiheystietoja hyödyntäen toinen graafinen esitys veden tilavuudesta lämpötilan suhteen. Voidaanko veden tilavuuden lämpölaajenemista kuvata mallilla [[$$\quad V=V_0+\gamma V_0 \Delta T,$$]] jossa [[$V_0$]] on alkuperäinen tilavuus, [[$\gamma$]] vakio ja [[$\Delta T$]] lämpötilan muutos?
Aineisto
Taulukko: Veden tiheys eri lämpötiloissa.ods (LibreCalc)
Taulukko: Veden tiheys eri lämpötiloissa.cmbl (Logger Pro)
Taulukko: Veden tiheys eri lämpötiloissa.cap (Capstone)
Ratkaisu
a.
Sovitetaan mittauspisteisiin sopiva kuvaaja. Määritetään kuvaajan avulla tiheys lämpötilassa 87 °C.
Veden tiheys lämpötilassa 87 °C on 967,3 kg/m3.
b.
Tiheyden ja massan välinen riippuvuus
[[$\rho = \dfrac{m}{V}$]]
[[$V=\dfrac{m}{\rho}$]]
Lasketaan veden tilavuudelle arvot, kun massa ([[$m$]]) on 1000 kg.
Lämpölaajenemisen kaavan [[$V=V_0+\gamma V_0\Delta T$]] mukaan tilavuudella ja lämpötilan muutoksella on lineaarinen riippuvuus. Jos lineaarinen riippuvuus olisi oikea malli, muodostuisi tilavuuden kuvaajasta suora. Tiheyden avulla määritetty kuvaaja ei muodosta suoraa. Tilavuuden lämpölaajenemisen kaava ei kuvaa veden tilavuuden lämpötilan muutosta oikealla tavalla.
155. Eniten lämpölaajeneva aine
Mikä MAOL taulukkokirjaan listatuista kiinteistä aineista laajenee eniten sitä lämmitettäessä? Onko laajeneminen havaittavissa kotikonstein?
Ratkaisu
Aineen lämpölaajenemisen suuruutta kuvaa sen lämpölaajenemiskerroin. MAOLiin listatuista kiinteistä aineista tämä on suurin kumilla, 150 ... 200[[$\cdot$]]10-6 1/K.
"Kotikonstein" voisi tarkoittaa, että pystytään luotettavasti havaitsemaan noin puolen millimetrin suuruinen pituuden mutos ja että käytettävissä oleva lämpötilaväli olisi -25 °C (pakastin) ... 200 °C (uuni). Kumi kestää kyseisen lämpötila-alueen palamatta tai sulamatta.
Lämpölaajeneminen on sitä suurempaa, mitä isommasta kappaleesta on kyse. Tyypilliseen uuniin mahtuu noin 50 cm pitkä kumitanko. Tällaisen hankkiminen on tavalliselle kansalaiselle täysin mahdollista.
Lasketaan, kuinka paljon 50 cm pitkä kumitanko pitenee lämpötilan muuttuessa 225 astetta:
[[$$l-l_0=l_0\alpha\Delta T=0,5\text{ m}\cdot 200\cdot 10^{-6}\cdot 225\text{ K}= 0,0225\text{ m}=2,25\text{ cm}$$]]
Tällainen pituuden muutos on selvästi havaittavissa.
156. Sulavat jääpalat
Kaksi keskenään samanlaista jääpalaa otettiin pakastimesta ja asetettiin huoneenlämpöisille alustoille. Ohessa on video tilanteesta sekä vastaava tilanne kuvattuna lämpökameralla. Selitä, miksi jääpalat käyttäytyvät eri tavoin.
Ratkaisu
Alustat siirtävät lämpöä eri tavalla jääpaloihin. Jääpala sulaa alustalla, josta johtuu lämpöä jääpalaan. Alusta on huoneen lämpötilassa ja sillä on korkeampi lämpötila kuin jääpalalla. Jääpalan vastaanottama lämpö sulattaa sitä.
Toinen alusta on eriste. Lämpöä siirtyy huonosti alustasta jääpalaan. Koska lämpöä siirtyy vain vähän, ei jääpala myöskään sula.
Eristeen lämpötila ei muutu, mikä nähdään lämpökamerakuvassa. Lämpöä johtava alusta viilenee sulamisveden vaikutuksesta. Tämä näkyy alustan erilaisena värityksenä lämpökamerakuvassa.
157. Pienin mahdollinen lämpöliike?
Ratkaisu
Lämpötilan laskiessa riittävästi aine päätyy kiinteään olomuotoon. Siinä lämpöliike on rakenneosasten (atomien tai molekyylien) värähtelyä tasapainoasemansa ympärillä. Pienin mahdollinen värähtely on sellaista, että rakenneosaset eivät värähtele lainkaan vaan ovat paikallaan. Tässä tilanteessa lämpötila ei voi laskea enempää, joten voidaan päätellä, että on varmaankin olemassa pienin mahdollinen lämpötila.
158. Kaukolämpö
- Millaisia lämmön siirtymisen tapoja hyödynnetään kaukolämmön siirtämisessä?
- Miten kaukolämmön lämpöhäviöitä pyritään pienentämään?
Ratkaisu
a.
Kaukolämmön avulla energiaa siirretään kuumaan veteen sitoutuneena voimalaitoksista yhteiskunnalle. Kiinteistöissä kiertävä vesi lämpenee kaukolämpövesiverkon seurauksena. Energia siirtyy kuljettumalla voimalaitoksista yhteiskunnan käyttöön.
Kiinteistöissä lämpö siirtyy pattereista huoneeseen säteilemällä tai johtumalla, jos patteria kosketetaan.
b.
Kun kaukolämpövesi kulkee putkistoissa, se luovuttaa energiaa kaukolämpöputkea ympäröivään maahan. Putket päällystetään lämmöneristimellä, jotta energiahäviöt olisivat mahdollisimman vähäiset. Voimalaitoksiin palaava viileämpi vesi eristetään lämminvesiputkesta, jotta putkien välillä ei siirrty energiaa ja tapahdu energiahävikkiä.
Kaukolämpöverkostoa ei kannata vetää liian kauaksi voimalaitoksesta, koska energiahävikki kasvaa liian suureksi. Kaukolämpöverkostot rakennetaan täten taajamiin lähelle voimalaitosta.
159. Riisipuuron jäähtymisen estäminen
Ratkaisu
Kuuma puuroastia myös säteilee lämpösäteilyä joka suuntaan. Tämän voi estää käärimällä astian alumiinifolioon tai johonkin muuhun aineeseen, joka heijastaa sähkömagneettista säteilyä.
Lämpöä johtuu puurosta astiaan ja siitä ympäristöön. Tämän estämiseksi astian pitäisi olla mahdollisimman hyvä lämmöneriste.
160. Auton tuulilasin jäätyminen taivasalla
Vihje: ilmiö havaitaan lähinnä pilvettömällä säällä.
Ratkaisu
Auton ja ilman välillä johtuu lämpöä, ja tämä ilmiö pyrkii pitämään auton ja ilman yhtä lämpimänä. Ilma on kuitenkin heikko lämmönjohde, joten auton lämpötila muuttuu oleellisesti myös lämpösäteilyn takia. Auto vaihtaa lämpöä säteilemällä ympärillään olevien esineiden kanssa ja pyrkii asettumaan niiden kanssa lämpötasapainoon, eli samaan lämpötilaan.
Katoksessa oleva auto pyrkii siis johtumalla asettumaan ympäröivän ilman lämpötilaan ja säteilemällä yllä olevan katoksen lämpötilaan. Nämä ovat yleensä sama asia.
Taivasalla oleva auto pyrkii johtumalla asettumaan ympäröivän ilman lämpötilaan, mutta säteilemällä taivaan, eli avaruuden lämpötilaan. Tämä on hyvin alhainen. Voidaan ajatella myös niin, että katoksen alla oleva auto saa lämpösäteilyä katoksesta, mutta taivasalla oleva ei saa sitä. Näin ollen taivasalla oleva auto jäähtyy ilmaa kylmemmäksi. Mitä suuremmaksi lämpötilaero ilman ja auton välillä kasvaa, sitä enemmän lämpöä johtuu ilmasta autoon, eikä auton lämpötila pääse laskemaan kuin muutaman asteen ilmaa kylmemmäksi. Ilman lämpötilan ollessa pari astetta plussan puolella ilmiö voidaan nähdä siten, että auton pintaan härmistyy ilmankosteudesta jäätä.
161. Vesisäiliön ja siinä olevan veden lämpölaajeneminen
- Sylinterin muotoisen ruostumattomasta teräksestä valmistetun vesisäiliön korkeus on 1,55 m ja pohjan halkaisija 0,620 m. Lukemat on mitattu 11,0 °C:n lämpötilassa. Paljonko säiliöön mahtuu 80,0-asteista vettä?
- Säiliö täytettiin aivan täyteen 80-asteista vettä. Säiliö ja vesi jäähtyvät hiljalleen 22 °C:n lämpötilaan. Valuuko vettä yli, vai mahtuuko säiliöön lisää vettä? Paljonko?
Ratkaisu
a. On selvitettävä säiliön tilavuus 80-asteisena. Teräksen lämpölaajenemiskerroin on 12[[$\cdot$]]10-6 1/K. Sylinterin muotoisen säiliön tilavuus saadaan laskemalla [[$\pi r^2h$]], missä r on pohjaympyrän säde ja h on sylinterin korkeus. Lasketaan nämä 80,0 asteessa (eli lämpötilan muutos on 69,0 astetta):
[[$$r=r_0+r_0\alpha\Delta T=0,310\text{ m}+0,310\text{ m}\cdot12\cdot 10^{-6}1/\text{K}\cdot 69\text{ K}=0,3102566\text{ m}\approx 0,310257\text{ m}$$]]
[[$$h=h_0+h_0\alpha\Delta T=1,55\text{ m}+1,55\text{ m}\cdot 12\cdot 10^{-6}1/\text{K}\cdot 69\text{K}=1,551283\text{ m}\approx 1,55128\text{ m}$$]]
Lasketaan tilavuus näillä arvoilla:
[[$$V=\pi r^2 h=\pi\cdot\left(0,310257\text{ m}\right)^2\cdot1,55128\text{ m}=0,469119\dots\text{m}^3\approx 0,469\text{ m}^3$$]]
Säiliöön mahtuu siis noin 469 litraa vettä.
Vastaus: noin 469 litraa
b. Sekä säiliö että vesi kutistuvat lämpötilan laskiessa. Lasketaan ensin säiliön tilavuus 22 asteen lämpötilassa. A-kohdan tavoin saadaan
[[$$V=\pi r^2 h=\pi \left(0,310\text{ m}+0,310\text{ m}\cdot 12\cdot 10^{-6}\cdot 11\text{ K}\right)^2\cdot\left(1,55\text{ m}+1,55\text{ m}\cdot 12\cdot 10^{-6}\cdot 11\text{ K}\right)=0,46814\dots\text{m}^3\approx 0,4681\text{m}^3$$]]
Veden tilavuuden muutos saadaan selvitettyä tarkimmin käyttämällä veden tiheyden taulukkoarvoja eri lämpötiloissa. 80,0-asteisen veden massan saa laskemalla
[[$$m=\rho_{80} V_{80},$$]]
missä [[$V_{80}$]] on 80,0-asteisen veden tilavuus (siis a-kohdassa laskettu säiliön tilavuus). Veden massa ei muutu sen jäähtyessä. Lasketaan siis, paljonko sama massa vie tilaa 22 asteessa:
[[$$V_{22}=\frac{m}{\rho_{22}}=\frac{\rho_{80} V_{80}}{\rho_{22}}=\frac{0,97181\text{ kg}/\text{l}\cdot469,12\text{ l}}{0,99778\text{ kg}/\text{l}}=456,90\dots\text{l}\approx 456,9\text{l}$$]]
Säiliön koko on siis nyt noin 468,1 litraa ja siellä on noin 456,9 litraa vettä.
Säiliöön mahtuu lisää vettä noin
[[$$468,1\text{ l}-456,9\text{ l}=11,2\text{ l}\approx 11\text{ l}$$]]
Vastaus: noin 11 litraa
162. Lämmön siirtyminen
- Kumpi kuvaajista esittää maalatussa astiassa olevan veden lämpötilaa? Selitä, miksi lämpötilat muuttuvat eri tavoin.
- Anna arkielämän esimerkki, jossa on hyödyllistä ottaa kyseinen ilmiö huomioon.
Ratkaisu
a.
Tumma pinta absorboi eli imee itseensä paremmin lampusta tulevaa säteilyenergiaa kuin metallinen pinta. Koska lampusta siirtyy samalla teholla energiaa sekä tummaan että metalliseen pintaan, ottaa tumma pinta enemmän energiaa vastaan kuin metallinen pinta. Tummapintaisen astian lämpötila nousee nopeammin kuin metallipintaisen astian. Tummapintaisen astian lämpötilan kuvaaja on punainen ja metalllisen astian sininen.
b.
Jos valon säteilyenergiaa halutaan ottaa vastaan kannattaa pinta värjätä mustaksi. Esimerkiksi auringonsäteilystä siirtyy lämpöä tummaan pintaan enemmän kuin vaaleaan pintaan ja auringonsäteilyssä olevien kappaleiden lämpötila nousee vaaleita kappaleita korkeammaksi. Kuumalla kesäsäällä käytetään vaaleita vaatteita, jotta vaatteet eivät absorboi ylimääräistä lämpöä ja lämmitä tätä kautta kehoa.
Jos säteilylähteen energiaa halutaan estää karkaamasta, kannattaa pinta päällystää heijastavalla materiaalilla. Lämpöpeite heijastaa esimerkiksi oman kehon säteilyä takaisin kehoon. Koska peite ei absorboi hyvin vähän lämpöä, peitteen kautta menetetään vain vähän kehon lämpöenergiaa ympäristöön. Kehon lämpötila säilyy korkeampana ja estää kylmettymistä.
163. Selviytyminen lumihangessa yön yli
Kuljettuasi upottavassa, noin metrin paksuisessa umpihangessa jo pitkään alkaa tulla pimeä ja autiotuvalle on vielä matkaa. Päätät viettää yön hangessa ja jatkaa matkaa aamulla. Vaatteiden, ruuan ja muun perustarpeiston lisäksi mukanasi on kuvan tarvikkeet:
- sukset ja sauvat
- varasauvat
- solumuovinen makuualusta
- puhallettava ilmatäytteinen makuualusta
- kevytrakenteinen lumilapio
- makuupussi
- kaksi pressua, jotka ovat toiselta puolelta heijastavaa materiaalia (ns. avaruuspeitettä), kooltaan 2 m x 1,5 m.
Miten toimit, jotta saat vietettyä yön pitäen itsesi mahdollisimman lämpimänä?
Ratkaisu
Oman kehon lämpötila on korkeampi kuin ympäristön lämpötila. Lämpöä pyrkii siirtymään kehosta ympäristöön. Lämpöä voi siirtyä johtumalla pintoihin, joihin kosketetaan sekä säteilemällä.
Keho on eristettävä lumesta, jotta lämpöä ei pääse siirtymään johtumalla kehosta lumeen. Makuualusta toimii lämmöneristeenä ja estää kehon lämpöä johtumasta maanpintaan, kun nukutaan. Makuualustat voidaan laittaa esimerkiksi päällekäin, jotta lumi ja keho eivät joudu kosketuksiin.
Makuupussi on kehon lämmön säilymisen kannalta kaikkein keskeisin. Kehon lämpö ei saa johtua makuupussin kautta lumeen. Jos näin tapahtuu, lumi sulaa ja kostuttaa makuupussin, jolloin lämmön siirtyminen kehosta pois voimistuu. Makuupussin voi suojata pressulla ja kääntää heijastavan puolen kehoa vasten. Tällöin kehon lämpö ei pääse karkaamaan ympäristöön, eikä makuupussi myöskään kastu.
Lumi on lämmöneriste ja estää lämpöä säteilemästä kehosta ympäristöön tai johtumasta ilmaan. Lumeen voidaan kaivaa ja tehdä pesä, jotta oman kehon tuoma lämpö säilyy pesässä. Pressua voidaan käyttää suojaamaan pesän seinämiä, mikä heijastaa lämpöä pesän sisälle tai estää lämmön johtumista lumen ja kehon välillä.
164. Itsetehty lämpömittari
Ratkaisu
Tilavuuden lämpölaajeneminen
[[$\Delta V=\gamma V_0\Delta T$]]
Tilavuus [[$V$]] on putken pinta-alan [[$A$]] ja korkeuden [[$h$]] tulo.
[[$V=Ah$]]
Putken tai pullon muoto ei muutu lämpötilan seurauksena, joten niiden tilavuus on vakio. Neste laajenee ainoastaan korkeussuunnassa. Määritetään nestepatsaan korkeuden muutos lämpötilayksikköä kohden.
[[$A\Delta h=\gamma V_0\Delta T$]]
[[$\dfrac{\Delta h}{\Delta T}=\dfrac{\gamma V_0}{A}$]]
Lämpölaajenemiskerroin [[$\gamma$]], alkutilavuus [[$V_0$]] ja putken pinta-ala ovat vakioita, joten korkeuden muutos lämpötilayksikköä kohden on vakio. Mittaustuloksista lasketaan suureen suuruus.
[[$\dfrac{\Delta h}{\Delta T}=\dfrac{17{,}1 \ \mathrm{cm}-3{,}9 \ \mathrm{cm}}{40 \ \mathrm{^{\circ}C}-20 \ \mathrm{^{\circ}C}}=0{,}66 \ \mathrm{\frac{cm}{^{\circ}C}}$]]
Määritetään nesteen lämpötila, kun nestepatsaan korkeus oli 12,9 cm.
[[$\dfrac{\Delta h}{\Delta T}=\dfrac{\Delta h_2}{\Delta T_2}$]]
[[$\Delta T_2=\dfrac{\Delta h_2}{\frac{\Delta h}{\Delta T}}$]]
[[$\Delta h_2=12{,}9 \ \mathrm{cm}-3{,}9 \ \mathrm{cm}=9{,}0 \ \mathrm{cm}$]]
[[$\dfrac{\Delta h}{\Delta T}=0{,}66 \ \mathrm{\frac{cm}{^{\circ}C}}$]]
[[$\Delta T_2=13{,}63636 \ \mathrm{^{\circ}C}\approx 14 \ \mathrm{^{\circ}C}$]]
Loppulämpötila
[[$T_{\text{loppu}}=T_0+\Delta T_2=20 \mathrm{^{\circ}C}+14 \mathrm{^{\circ}C}=34 \ \mathrm{^{\circ}C}$]]
Vastaus: 34 °C