Alaosastaan avoimen kuumailmapallon tilavuus on 1 400 m³. Lämmitettäessä palloa sen sisältämä ilma laajenee ja pallon sisälle jäävä ilma vähenee, jolloin pallo kykenee nostamaan massan muutosta vastaavan kuorman. Ilmanpaine on ulkona normaali ja lämpötila 23 °C. Mihin lämpötilaan pallon sisältämä ilma tulee lämmittää, jotta sen massa saadaan vähenemään 250 kg? Ilman moolimassa on 29 g/mol.

Ratkaisu:

Kuumailmapallossa sisällä olevan ilman paine on koko ajan sama kuin normaali ilmanpaine, koska kuumailmapallo on alaosastaan avoin.

Lasketaan aluksi ainemäärä 1400 m3 ilmaa 23 °C lämpötilassa normaalissa ilmanpaineessa yleisen kaasun tilanyhtälön avulla.

[[$ \begin{align} p_1V_1&=n_1RT_1 \qquad && ||:RT_1 \\ n_1&=\dfrac{p_1V_1}{RT_1} \\ n_1&=\dfrac{101\ 325 \text{ Pa} \cdot 1400 \text{ m}^3}{8,314 \frac{\text{Pa} \cdot \text{m}^3}{\text{K} \cdot \text{mol}}\cdot 296,15 \text{ K}} \\ n_1&=57 \ 613,3 \ldots \text{ mol} \approx 57 \ 613 \text{ mol} \end{align} $]]​

Lasketaan sitten kuinka suurta ainemäärää 250 kg ilmaa vastaa eli kuinka paljon ilmaa kuumailmapallosta poistuu lämmityksen aikana.

[[$ \begin{align} n_2&=\dfrac{m_2}{M} \\ n_2&=\dfrac{250 \ 000 \text{ g}}{29 \text{ g/mol}} \\ n_2&=8620,6 \ldots \text{ mol} \approx 8621 \text{ mol} \end{align} $]]​

Lasketaan kuinka paljon ilmaa kuumailmapallossa on lämmityksen lopuksi.

[[$ n_3=n_1-n_2 =57 \ 613 \text{ mol}- 8621 \text{ mol}= 48 \ 992 \text{ mol} $]]​

Lasketaan yleisen kaasun tilanyhtälön avulla kuumailmapallossa olevan ilman lämpötila lämmityksen jälkeen.

[[$ \begin{align} p_1V_1&=n_3RT_3 \qquad &&||:n_3R \\ T_3&=\dfrac{p_1V_1}{n_3R} \\ T_3&=\dfrac{101 \ 325 \text{ Pa} \cdot 1400 \text{ m}^3}{48 \ 992 \text{ mol} \cdot 8,31\frac{\text{Pa} \cdot \text{m}^3}{\text{K} \cdot \text{mol}}}\\ T&=348,432 \ldots \text{ K} \approx 348 \text{ K} \end{align} $]]​

Vastaus: Kuumailmapallossa olevan ilman lämpötila on noin 348 K eli 75 °C

Kineettinen kaasuteoria kytkee matemaattisesti toisiinsa makrotasolla havaittavat suureet, kuten lämpötilan ja paineen, sekä mikrotasolla havaittavan hiukkasten nopeuden. Se on tilastollisen fysiikan vanhimpia teorioita ja syntynyt useiden fyysikoiden kehittämänä, lähtien Daniel Bernoullin vuonna 1738 julkaisemasta Hydrodynamica-teoksesta.

Tutustu aineistossa olevaan tiivistelmään kineettisen kaasuteorian päätuloksista ja vastaa seuraaviin kysymyksiin:

1. Hieman tyhjenneessä heliumpallossa on heliumkaasua normaalipaineessa ja 21 °C lämpötilassa. Laske pallossa olevien heliumatomien nopeuden neliöllinen keskiarvo.
2. Jos kaasun lämpötila kaksinkertaistuu, mitä tapahtuu rakenneosien nopeudelle?
3. Osoita, että yhdistämällä kineettisen kaasuteorian lausekkeet paineelle ja lämpötilalle saadaan ideaalikaasun tilanyhtälö, ja laske tältä pohjalta moolisen kaasuvakion arvo.

Ratkaisu: 

a. Aineiston mukaan on voimassa suureyhtälö
[[$ T=\dfrac{mv_\text{rms}^2}{3k}. $]]​

Nopeuden neliöllinen keskiarvo on
[[$ v_\text{rms}^2=\dfrac{3Tk}{m}. $]]​

Heliumkaasun moolimassa on 4,0026 g/mol. Yhden heliumatomin massa saadaan jakamalla tämä Avogadron vakiolla [[$ N_{\text{A}}=6{,}022 \cdot 10^{23}\ 1/\text{mol} $]]​. 

[[$ \quad v_\text{rms}^2=\dfrac{3Tk N_{\text{A}}}{M} $]]​

[[$ \quad v_\text{rms}=\sqrt{\dfrac{3Tk N_{\text{A}}}{M}} $]]​

[[$ \quad v_\text{rms}=\sqrt{\dfrac{3\cdot 294{,}15 \text{ K}\cdot 1,380649\cdot 10^{-23} \text{J/K} \cdot6{,}022 \cdot 10^{23}\ 1/\text{mol} }{0{,}0040026\ \text{kg/mol}}} \approx 1\ 350\ \text{m/s} $]]​


b. Aineiston mukaan lämpötilalle ja rakenneosien nopeudelle on voimassa suureyhtälö [[$ T=\dfrac{mv_\text{rms}^2}{3k}. $]]​

Tästä saadaan ratkaistua nopeudelle lauseke [[$ v=\pm \sqrt{\dfrac{3kT}{m}}. $]]​ Hylätään negatiivinen vaihtoehto.

Jos lämpötila muuttuu arvosta [[$ T $]]​ arvoon [[$ 2T, $]]​ niin nopeus muuttuu [[$ \sqrt{2} $]]​-kertaiseksi.

c. Aineiston mukaan lämpötilalle ja rakenneosien nopeudelle on voimassa suureyhtälö [[$ T=\dfrac{mv_\text{rms}^2}{3k}$]]​ ja paineelle ja rakenneosien nopeudelle on voimassa [[$ p=\dfrac{Nmv^2_\text{rms}}{3V} $]]​.

Ratkaistaan esimerkiksi lämpötilan suureyhtälöstä nopeuden neliö.
[[$ \begin{align} T&=\dfrac{mv_\text{rms}^2}{3k} \qquad \|\cdot \dfrac{3k}{m} \\ v_\text{rms}^2&=\dfrac{3kT}{m} \end{align} $]]​

Sijoitetaan nopeuden neliö paineen suureyhtälöön.
[[$ \begin{align} p&=\dfrac{Nm\cdot \dfrac{3kT}{m}}{3V} \qquad&& \|\cdot 3V \\[6pt] 3pV&=Nm\dfrac{3kT}{m} \qquad &&\|:3 \\[6pt] pV&=NkT &&\| N=n\cdot N_A \\ pV&=nN_A k T \end{align} $]]​

Vertaamalla ideaalikaasusysteemin tilanyhtälöön huomataan, että mooliselle kaasuvakiolle [[$ R $]] saatiin arvo [[$ N_A k. $]]​​ Lasketaan lopuksi tämä arvo.

[[$ \begin{align} R&=6{,}02214076 \cdot 10^{23} \dfrac{1}{\text{mol}}\cdot 1,380649\cdot 10^{-23} \dfrac{\text{J}}{\text{K}} \\ R&=8{,}31446261815\ \dfrac{\text{J}}{\text{mol K}} \end{align} $]]​

Moolisen kaasuvakion arvoksi saadaan noin 8,3144 J/(mol K)