3.3 Energia, liikemäärä ja säilymislait
Impulssiperiaate ja liikemäärän säilyminen
Liikemäärä
Nopeus ja kiihtyvyys kuvaavat liikkeen laatua. Liikkeen suuruutta kuvaa suure liikemäärä, [[$p$]]. Liikemäärä on liikkuvan kappaleen massan ja nopeuden tulo.
[[$\quad \bar{p}=m\bar{v}$]]
Impulssi
Vuorovaikutuksissa esiintyvät voimat muuttavat liikettä. Liikkeen muutoksen suuruutta kuvaava suure on impulssi, [[$I$]].
[[$\quad \bar{I}=\Delta \bar{p}$]]
Kun voima [[$F$]] on vakio, impulssi lasketaan kaavan [[$I=Ft$]] mukaisena kertolaskuna. Impulssiperiaate yhdistää liikkeen muutoksen aiheuttavan vuorovaikutuksen kappaleeseen, johon vuorovaikutus kohdistuu.
[[$\quad \bar{F}\Delta t=m\Delta \bar{v}$]]
Impulssiperiaatteen mukaan vuorovaikutuksessa esiintyvä voima muuttaa kappaleen nopeutta. Nopeuden muutos riippuu vuorovaikutuksen kestosta ja kappaleen massasta.
Jos voima muuttuu ajan kuluessa, määritetään impulssi voiman integraalina ajan suhteen. Integraali tarkoittaa voiman kuvaajan ja aika-akselin rajaamaa pinta-alaa. Muuttuvan voiman aiheuttama impulssi määritetään aika-voima kuvaajan graafisena integraalina.https://peda.net/id/605df3ec306
Liikemäärän säilymislaki
Liikemäärä säilyy systeemissä, jos systeemi on rajattu siten, että ulkopuoliset voimat eivät vaikuta systeemin kappaleisiin. Systeemin kappaleiden yhteenlaskettu liikemäärä tarkastelun alkuhetkellä on yhtä suuri kuin kappaleiden yhteenlaskettu liikemäärä tarkastelun loppuhetkellä.
[[$\quad \bar{p}_\text{alku}=\bar{p}_\text{loppu}$]]
Systeemin sisältämien kappaleiden välillä voi esiintyä voimia, jotka muuttavat systeemin kappaleiden nopeutta. Tyypillinen systeemin kappaleiden välinen vuorovaikutustilanne törmäys. Törmäystilanteissa siirtyy liikemäärää kappaleelta toiselle. Törmäävien kappaleiden liikemäärä ei siirry systeemin ulkopuolelle, kun kappaleisiin kohdistuvat liikettä vastustavat voimat tai muut systeemin ulkopuolelta kappaleisiin kohdistuvat voimat ovat vähäiset tai törmäystilanteen kesto on hyvin lyhyt.
Kahden kappaleen systeemissä liikemäärän säilymislaki kirjoitetaan muotoon
[[$\quad m_1 \bar{v}_1+m_2 \bar{v}_2=m_1 \bar{u}_1+m \bar{u}_2$]],
missä [[$v$]] on kappaleiden 1 ja 2 alkunopeudet sekä [[$u$]] kappaleiden 1 ja 2 loppunopeudet.
Liikemäärä on vektorisuure. Tällöin liikemäärää voi olla sekä positiiviseen että negatiiviseen suunttan. Positiivisen liikkeen suunta valitaan tehtävässä ja suunnan voi päättää itse.
| Suure | Määritelmä |
|---|---|
| Liikemäärä, [[$p=mv$]] | Kuvaa liikkeen suuruutta |
| Impulssi, [[$I=F\Delta t$]] | Kuvaa liikkeen muutoksen suuruutta |
| Impulssiperiaate, [[$F\Delta t=m\Delta v$]] | Yhdistää vuorovaikutuksen, joka aiheuttaa liikkeen muutoksen kappaleeseen, jonka liikkeen muutosta määritetään |
| Liikemäärän säilymislaki, [[$p_\text{alku}=p_\text{loppu}$]] | Liikemäärä säilyy systeemissä, johon ei vaikuta ulkopuolisia voimia, liikemäärä tarkastelun alku- ja loppuhetkillä ovat yhtä suuret |
Mekaniikan energiaperiaate
Työ ja energia
Voima, liikemäärä ja liike-energia ovat suureita, jotka liittyvät samoihin tilanteisiin. Liikemäärä kuvaa kappaletta, voima liittyy kappaleiden välisiin vuorovaikutuksiin ja energia mahdollistaa liikkeen. Kun voima muuttaa kappaleen liikettä, se tekee kappaleeseen työtä. Kappaleeseen tehty työ muuntuu kappaleen liike-energiaksi.
Kappaletta siirrettäessä voima tekee työn [[$W=Fs$]], missä [[$F$]] on voima ja [[$s$]] on voiman suunnassa tapahtuva siirtymä. Voiman tekemä työ muuntaa energiaa muodosta toiseen ja siirtää sitä kappaleelta toiselle.
Jos voiman suuruus muuttuu siirtymän aikana, malli [[$ W=Fs$]] ei kuvaa tilannetta. Eräs tapa laskea työ on määrittää keskimääräinen voima. Jos tilanne on mallinnettavissa kuvaajana, voidaan työn suuruus laskea integroimalla eli määrittämällä pinta-ala matka–voima-kuvaajasta. Menetelmää on sovellettu nopeuden kuvaajissa matkan määrittämiseen tai impulssin laskemiseen aika-voima-kuvaajissa.
Konservatiivinen ja ei-konservatiivinen voima
Voimaa kutsutaan konservatiiviseksi voimaksi, kun sitä vastaan tehty työ varastoituu kappaleen potentiaalienergiaksi. Potentiaalienergia liittyy esimerkiksi painoon, jousen värähtelyn synnyttävään tai sähkövarausten väliseen voimaan. Konservatiivinen voima pyrkii palauttamaan kappaleen tiettyyn paikkaan tai tietylle korkeudelle. Kitka on esimerkki ei-konservatiivisesta voimasta. Mitä pidempi matka kappaletta siirretään vaakasuuntaisella alustalla, sitä suurempi työ kitkavoimaa vastaan on tehtävä.
| Konservatiivisia | Mihin muotoon varastoi energiaa |
|---|---|
| Paino | Painon potentiaalienergia, [[$E_\text{P}=mgh$]] |
| Jousivoima | Jousen potentiaalienergia, [[$E_\text{P}=\frac{1}{2}kx^2$]] |
| Sähköinen voima | Sähkökentän potentialienergia, [[$E_\text{P}=qU=qEx$]] |
| Ei-konservatiivisia | Mihin muotoon muuttaa energiaa |
| Kitka | Lämpö |
| Ilmanvastus | Lämpö, ilman liike-energia |
| Työntö-/vetovoima | Liike-energia |
Mekaniikan energiaperiaate
Mekaniikassa tarkastellaan rajattuja systeemeitä ja niiden energiaa. Esimerkki rajatusta systeemistä on yksittäinen kappale. Kappaleen energia voi muuttua ulkoisen voiman vaikutuksesta. Systeemiin tehty työ voi muuttaa kappaleen mekaanista energiaa. Kun kappaletta työnnetään liikkeelle kaltevalla tasolla ylöspäin, kasvattaa tehty työ liikkeellelähdön aikana sekä liike- että potentiaalienergiaa. Tasaisen liikkeen aikana kasvaa vain kappaleen potentiaalienergia. Liike- ja potentiaalienergian summaa kutsutaan mekaaniseksi energiaksi. Työn ja mekaanisen energian yhteys on mekaniikan energiaperiaate:
Mekaniikan energiaperiaate
[[$\quad E_\text{alussa}\pm W=E_\text{lopussa}$]]
Positiivinen työ kasvattaa systeemin mekaanista energiaa. Negatiivinen työ pienentää mekaanista energiaa.
Energiaperiaatetta sovellettaessa konservatiivisten voimien tekemää työtä ei tarvitse ottaa huomioon erikseen voiman tekemänä työnä. Konservatiivisten voimien tekemä työ kasvattaa tai pienentää systeemin potentiaalienergiaa ja ilmenee siten potentiaalienergian muutoksena. Jos kaikki työtä tekevät voimat ovat konservatiivisia, systeemin mekaaninen energia on alku- ja lopputilanteessa yhtä suuri: [[$E_\text{alussa}=E_\text{lopussa}$]]. Kun liike- ja potentiaalienergian summa on vakio, on kyseessä mekaanisen energian säilyminen.
Mekaanisen energian säilyminen
Jos systeemiin vaikuttaa vain konservatiivisia voimia, mekaaninen energia (liike- ja potentiaalienergioiden summa) säilyy.
[[$\quad E_\text{K alussa}+E_\text{P alussa}=E_\text{K lopussa}+E_\text{P lopussa}$]]
Energiaperiaate on yleinen ratkaisuperiaate liikeilmiöissä. Se sopii erityisesti ratkaisuperiaatteeksi, kun tarkasteltavassa systeemissä tapahtuu liikkeen tai paikan muutos. Systeemillä on oltava alku- ja lopputila, jotka poikkeavat toisistaan. Energiaperiaatteen soveltamisen mielekkyys riippuu myös tiedossa oleviin lähtöarvoihin.
Energiaperiaatteen ratkaisuvaiheet
1) Energian muuntumisen esittäminen
Energiaperiaate perustuu energian muuntumiseen muodosta toiseen tai kappaleelta toiselle. Kirjoita sanallisesti, miten energia muuntuu muodosta toiseen tai kappaleelta toiselle. Ratkaisun perustana mainitaan mekaniikan energiaperiaate tai mekaaninen energia säilyy.
2) Matemaattinen yhtälö
Matemaattisissa tehtävissä ratkaisu perustuu suureyhtälöön. Kirjoita enrgian muuntuminen suureyhtälönä käyttäen energiamuotojen ja työn määritelmiä.
3) Energiamuotojen ja työn määritelmät
Kirjoita energiamuotojen ja työn määritelmät näkyviin.
4) Voimiakuvio ja voimien määritelmät
Jos tilanteessa jokin voima tekee työtä, piirretään voimakuvio. Vaihtoehtoisesti voidaan selittää, mikä voima tekee työtä ja miten työ vaikuttaa mekaanisen energian suuruuteen. Ilmoita niiden voimien määritelmät, joita tehtävän ratkaisussa tarvitaan.
5) Suureyhtälön ratkaisu
Ratkaise suureyhtälö kysytyn suureen suhteen ennen kuin sijoitetaan lukuarvoja. Ilmoita kaikki tarvittavat lähtöarvot ja ratkaise kysytyn suureen suuruus.