Energiaperiaate ratkaisumentelmänä

Vaakasuoralla alustalla liukuva laatikko

Laatikko liukuu vaakasuoralla alustalla, kunnes pysähtyy. Tutkitaan tilannetta energiaperiaatteen kautta.

Mekaniikan energiaperiaate
Laatikon liike-energia muuntuu liukukitkan tekemäksi työksi.

[[$\quad E_\text{K}-W=0$]]

Kerrotaan sanallisesti, miten laatikon energia muuntuu tilanteessa. Kitka on ei-konservatiivinen voima, joten se tekee työtä. Ilmoitetaan sanallisen perustelun jälkeen energiaperiaatteen mukainen yhtälö. Liukukitka pienentää kappaleen nopeutta, joten sen liukukitkan tekemän työ on merkiltään negatiivista.

Liike-energian määritelmä
[[$\quad E_\text{K}=\frac{1}{2}mv^2$]]

Työn määritelmä
[[$\quad W=F_\mu s$]]

Kitkan määritelmä
[[$\quad F_\mu =\mu N$]]

Painon määritelmä
[[$\quad G=mg$]]

Laatikko ei liiku pystysuunnassa, joten paino ja pinnan tukivoima ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset, joten dynamiikan peruslain mukaan voimien summa on nolla.
[[$\quad \bar{G}+\bar{N}=\bar{0}$]]

[[$\quad G-N=0\\ \quad G=N$]]

Vaakasuunnassa laatikkoon vaikuttaa vain liukukitka, jonka suunta on nopeudelle vastakkainen.

Kirjoitetaan energiamuotojen, työn ja voimien määritelmät ja sijoitetaan ne energiaperiaatteen mukaiseen yhtälöön. Perustellaan voimien keskenäiset suunnat ja suuruudet voimakuviolla tai sanallisesti. Dynamiikan peruslakia ei tarvitse kirjoittaa vaakasuunnassa [[$(F_\mu =ma)$]], ellei tehtävässä ole tarkoitus ratkaista kiihtyvyyttä tai höydyntää kiihtyvyyttä muiden suureiden ratkaisussa.

[[$\quad \frac{1}{2}mv^2-F_\mu s=0$]] (1)

[[$\quad \frac{1}{2}mv^2-\mu Ns=0$]] (2)

[[$\quad \frac{1}{2}mv^2-\mu Gs=0$]] (3)

[[$\quad \frac{1}{2}mv^2-\mu mgs=0$]] (4)

Sijoitetaan määritelmät energiaperiaatteen mukaiseen yhtälöön. Huomataan, että samaa tilannetta voidaan kuvat usealla erilaisella yhtälöllä. Yhtälöt ilmoitetaan muodossa, jossa esiintyvät tunnetut lähtöarvot. Jos tiedossa on liukukitkan suuruus tai liukukitkaa ratkaistaan, voidaan käytetään kitkan tekemälle työlle muotoa, jossa esiintyy liukukitka (yhtälö 1). Jos tiedossa on liukukitkakerroin tai sitä on tarkoitus ratkaista, hyödynnetään myös kitkan määritelmää (yhtälöt 2, 3 tai 4).

Yhtälöstä 4 supistuu laatikon massa pois.
[[$\quad \frac{1}{2}v^2-\mu gs=0$]]

Tyypillisiä suureita, joita tehtävässä ratkaistaan ovat laatikon alkunopeus [[$v$]], liukukitkakerroin [[$\mu$]] tai liukumismatka [[$s$]]. Myös liukukitkaa [[$F_\mu$]] voidaan ratkaista, mutta tällöin käytetään yhtälöä 1 ja silloin laatikon massa täytyy olla tiedossa.

Heiluri

Tutkitaan heilurin liikettä energiaperiaatteen kautta.

Yhden heilahduksen aikana ei-konservatiiviset voimat ovat hyvin vähäiset. Ne eivät tee työtä ja mekaaninen energia säilyy tilanteessa. Heilurin potentiaalienergia muuntuu liike-energiaksi, kun heiluri liikkuu ylimmästä asemasta alimpaan asemaan.

Mekaaninen energia säilyy
[[$\quad E_\text{P}=E_\text{K}$]]

Ylimmässä asemassa heilurin potentiaalienergia on suurimmillaan. Heiluri pysähtyy ylimmässä asemassa, joten sen liike-energia on nolla. Potentiaalienergian nollatasoksi valitaan heilurin alin asema. Alimmassa asemassa heilurin potentiaalienergia on nolla ja liike-energia on suurimmillaan.

Kun heiluri liikkuu alimmasta asemasta ylimpään liike-energia muuntuu potentiaalienergiaksi. Mekaaninen energia säilyy.
[[$\quad E_\text{K}=E_\text{P}$]]

Kun heilurin mekaaninen energia säilyy, nousee heiluri samalle korkeudelle, mistä se lähti liikkeelle.

Kirjoitetaan liike- ja potentiaalienergian määritelmät.

Liike-energian määritelmä
[[$\quad E_\text{K}=\frac{1}{2}mv^2$]]

Potentiaalienergian määritelmä
[[$\quad E_\text{P}=mgh$]]

Mekaanisen energian säilymislaki heilurin liikkuessa ylimmästä asemasta alimpaan asemaan
[[$\quad mgh=\frac{1}{2}mv^2$]]

Mekaanisen nergian säilymislaki heilurin liikkuessa alimmasta asemasta ylimpään asemaan
[[$\quad \frac{1}{2}mv^2=mgh$]]

Yhtälöistä huomataan, että heilurin punnuksen massa ei vaikuta liikkeeseen.
[[$\quad gh=\frac{1}{2}v^2$]]

Tyypillisiä suureita, joita tehtävässä ratkaistaan ovat nopeus [[$v$]] alimmassa asemassa ja korkeus [[$h$]].

Jos heilurin annetaan heilahdella pidempään, alkaa ei-konservatiivisten voimien tekemä työ muuttaa heilurin punnuksen liike-energiaa merkittävästi. Ei-konservatiivisia voimia ovat kitkavoimat heilurin kiinnityskohdassa ja heilurin punnukseen vaikuttava ilmanvastus. Voimat tekevät työtä, kunnes heiluri pysähtyy.

Laatikko liukuu kaltevalla tasolla

Tarkastellaan energiaperiaatteen kautta laatikon liukumista kaltevalla tasolla. Laatikko on kiihtyvässä liikkeessä.

Mekaniikan energiaperiaate
Laatikon potentiaalienergia muuntuu liukukitkan tekemäksi työksi ja laatikon liike-energiaksi.

[[$\quad E_\text{P}-W=E_\text{K}$]]

Laatikolla on alussa potentiaalienergiaa. Kitka on ei-konservatiivinen voima, joten se tekee työtä. Liukukitka vastustaa kappaleen liikettä, joten sen liukukitkan tekemän työ on merkiltään negatiivista.

Potentiaalienergian määritelmä
[[$\quad E_\text{P}=mgh$]]

Liike-energian määritelmä
[[$\quad E_\text{K}=\frac{1}{2}mv^2$]]

Työn määritelmä
[[$\quad W=F_\mu s$]]

Kitkan määritelmä
[[$\quad F_\mu =\mu N$]]

Painon määritelmä
[[$\quad G=mg$]]

Laatikko ei liiku tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa, joten painon pintaa vastaan kohtisuorakomponentti ja pinnan tukivoima ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset. Dynamiikan peruslain mukaan voimien summa on nolla.
[[$\quad \bar{G}_y+\bar{N}=\bar{0}$]]

Painon pystysuuntaisen ja painon välinen yhteys
[[$\quad G_y=G\cos \alpha$]]

[[$\quad G_y-N=0\\ \quad G\cos \alpha=N$]]

Vaakasuunnassa laatikkoon vaikuttaa vain liukukitka, jonka suunta on nopeudelle vastakkainen.

Kirjoitetaan energiamuotojen ja voimien määritelmät. Perustellaan voimien keskenäiset suunnat ja suuruudet voimakuviolla tai sanallisesti. Dynamiikan peruslakia ei tarvitse kirjoittaa vaakasuunnassa [[$(F_\mu =ma)$]], ellei tehtävässä ole tarkoitus ratkaista kiihtyvyyttä tai höydyntää kiihtyvyyttä muiden suureiden ratkaisussa.

Tason kaltevuuskulma yhdistää tason pituuden [[$s$]] ja tason korkeuden toisiinsa.
[[$\quad h=s\sin \alpha$]]

[[$\quad \frac{1}{2}mv^2-F_\mu s=mgh$]] (1)

[[$\quad \frac{1}{2}mv^2-\mu mg\cos \alpha \cdot s=mgh$]] (2)

[[$\quad \frac{1}{2}mv^2-\mu mgs\cos \alpha=mgs\sin \alpha$]] (3)

Sijoitetaan määritelmät energiaperiaatteen mukaiseen yhtälöön. Samaa tilannetta voidaan kuvat usealla erilaisella yhtälöllä. Yllä on muutama erilainen vaihtoehto. Yhtälöt ilmoitetaan muodossa, jossa esiintyvät tunnetut lähtöarvot. Jos tiedossa on liukukitkan suuruus tai liukukitkaa ratkaistaan, voidaan käytetään kitkan tekemälle työlle muotoa, jossa esiintyy liukukitka (yhtälö 1). Jos tiedossa on liukukitkakerroin tai sitä on tarkoitus ratkaista, hyödynnetään myös kitkan määritelmää (yhtälöt 2, 3 tai 4).

Tehtäväannossa ei tarvita kaikkia tietoja, joita lausekkeiden määritelmissä esiintyy tehtävän ratkaisussa. Esimerkiksi yhtälöstä 2 ja 3 voidaan supistaa laatikon massa pois. Tason kaltevuuskulman avulla voidaan selvittää korkeutta tai tason pituutta.
[[$\quad \frac{1}{2}v^2-\mu gs\cos \alpha=gs\sin \alpha$]]

Tyypillisiä suureita, joita tehtävässä ratkaistaan ovat laatikon loppunopeus [[$v$]] tason alaosassa, liukukitkakerroin [[$\mu$]], liukumismatka [[$s$]] tai tason korkeus. Myös liukukitkaa [[$F_\mu$]] voidaan ratkaista, mutta tällöin käytetään yhtälöä 1 ja silloin laatikon massa täytyy olla tiedossa.