Kertaustehtäviä
Polynomi- ja rationaalifunktio
1. Milloin funktio on a) määritelty? b) jatkuva? c) derivoituva?
A) [[$ f(x) = 2x^3 - 4x $]]
B) [[$ g(x) = \frac{4x^2 - 16}{x-2} $]]
(Malliratkaisu: Kertaus1.ggb <- puuttuu, että "g ei määritelty, kun x = 2. (piirretään vielä tyhjä pallo pisteeseen (2, g(2)) )
Kulkukaavio – Geogebra-esimerkki
2. Piirrä funktion [[$ f(x) = \frac{4x^3 - 2}{x-2} $]] kuvaaja.
(Tee ensin kulkukaavio. Malliratkaisu: Kertaus2.ggb ja toinen Kertaus2b.ggb, huom. kolmannen asteen funktio, nollakohdat kirjoitettu likiarvoina)
Raja-arvo
3. Määritä raja-arvo
a)
d)
e)
(Malliratkaisu: Kertaus3)
Jatkuvuus
4. Määritä sellainen vakio a, että funktio [[$ f(x) = \begin{cases} ax+1 & \text{kun } x<2 \\ ax^2+x & \text{kun } x \geq 2\end{cases} $]] on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
(Malliratkaisu: Kertaus4 (1).ggb)
Derivointi
5. Derivoi
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(Vastaukset: Kertaus5.ggb)
6. Ratkaise derivaatan nollakohdat (miel. käsin, ratkaise myös Geogebralla).
a)
b)
(Malliratkaisu: Kertaus6.ggb)
Kasvaminen ja väheneminen
7. Millä vakion arvoilla funktio on kaikkialla kasvava?
(Malliratkaisu:Kertaus7.ggb)
Ääriarvot
8. Mikä on funktion suurin arvo välillä ]0,4]?
(Malliratkaisu: Kertaus8.ggb)
9. Mikä on funktion suurin arvo välillä [-2, 0[ ja pienin arvo välillä ]0, 2]?
(Malliratkaisu: Kertaus9.ggb)
10. Kullankaivaja haluaa merkata jokivarren valtauksensa. Hänellä on aitatarpeita 500 metrin verran. Mitkä ovat tontin sivujen pituudet, kun kaivaja haluaa alueen pinta-alasta mahdollisimman suuren?
(Malliratkaisu: Kertaus10.ggb)
11. Heitetään hatusta suklaan piristävän vaikutuksen suuruutta kuvaava kaava: , missä x on aika minuutteina suklaan syömisen jälkeen. Milloin vaikutus on suurin?
(Malliratkaisu: Kertaus11.ggb)
12. Osoita, että funktiolla on vain yksi nollakohta välillä [-1, 2].
1. Milloin funktio on a) määritelty? b) jatkuva? c) derivoituva?
A) [[$ f(x) = 2x^3 - 4x $]]
B) [[$ g(x) = \frac{4x^2 - 16}{x-2} $]]
(Malliratkaisu: Kertaus1.ggb <- puuttuu, että "g ei määritelty, kun x = 2. (piirretään vielä tyhjä pallo pisteeseen (2, g(2)) )
Kulkukaavio – Geogebra-esimerkki
2. Piirrä funktion [[$ f(x) = \frac{4x^3 - 2}{x-2} $]] kuvaaja.
(Tee ensin kulkukaavio. Malliratkaisu: Kertaus2.ggb ja toinen Kertaus2b.ggb, huom. kolmannen asteen funktio, nollakohdat kirjoitettu likiarvoina)
- Kokeile piirtoikkunassa hiiren oikea -> "Näytä kaikki objektit"
Raja-arvo
3. Määritä raja-arvo
a)
b)
c) d)
e)
(Malliratkaisu: Kertaus3)
Jatkuvuus
4. Määritä sellainen vakio a, että funktio [[$ f(x) = \begin{cases} ax+1 & \text{kun } x<2 \\ ax^2+x & \text{kun } x \geq 2\end{cases} $]] on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
(Malliratkaisu: Kertaus4 (1).ggb)
Derivointi
5. Derivoi
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(Vastaukset: Kertaus5.ggb)
6. Ratkaise derivaatan nollakohdat (miel. käsin, ratkaise myös Geogebralla).
a)
b)
(Malliratkaisu: Kertaus6.ggb)
Kasvaminen ja väheneminen
7. Millä vakion arvoilla funktio on kaikkialla kasvava?
(Malliratkaisu:Kertaus7.ggb)
Ääriarvot
8. Mikä on funktion suurin arvo välillä ]0,4]?
(Malliratkaisu: Kertaus8.ggb)
9. Mikä on funktion suurin arvo välillä [-2, 0[ ja pienin arvo välillä ]0, 2]?
(Malliratkaisu: Kertaus9.ggb)
10. Kullankaivaja haluaa merkata jokivarren valtauksensa. Hänellä on aitatarpeita 500 metrin verran. Mitkä ovat tontin sivujen pituudet, kun kaivaja haluaa alueen pinta-alasta mahdollisimman suuren?
(Malliratkaisu: Kertaus10.ggb)
11. Heitetään hatusta suklaan piristävän vaikutuksen suuruutta kuvaava kaava: , missä x on aika minuutteina suklaan syömisen jälkeen. Milloin vaikutus on suurin?
(Malliratkaisu: Kertaus11.ggb)
12. Osoita, että funktiolla on vain yksi nollakohta välillä [-1, 2].