Kertaus

Mikä on keskeistä?

Haluamme tutkia funktion kulkua, koska meitä kiinnostaa suurin ja pienin arvo.

onko funktio määritelty? onko se jatkuva? onko se derivoituva?
- polynomifunktio on
- rationaalifunktio (polynomi / polynomi) on, paitsi ei määritelty nimittäjän nollakohdissa; muuten jatkuva
funktio voi muuttaa kasvusuuntaa derivaatan nollakohdissa
funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa
raja-arvoa tarvitaan, kun tutkitaan jatkuvuutta: vasen- ja oikeanpuoleinen raja-arvo oltava sama
- (ja kun tutkitaan derivoituvuutta: erotusosamäärän raja-arvo oltava olemassa. Helpommin: polynomifunktiot derivoituvia, rationaalifunktiot derivoituvia määrittelyjoukossaan)

Siis keskeistä on derivoiminen, derivoiminen ja derivoiminen, sen jälkeen derivaattafunktion nollakohdat ja derivaatan merkit (+ tai -) nollakohtien välissä.

Raja-arvot pitää osata laskea myös rationaalilausekkeilla.

Kertaustehtäviä

Polynomi- ja rationaalifunktio
1. Milloin funktio on a) määritelty? b) jatkuva? c) derivoituva?
A) [[$ f(x) = 2x^3 - 4x $]]
B) [[$ g(x) = \frac{4x^2 - 16}{x-2} $]]
(Malliratkaisu: Kertaus1.ggb <- puuttuu, että "g ei määritelty, kun x = 2. (piirretään vielä tyhjä pallo pisteeseen (2, g(2)) )

Kulkukaavio – Geogebra-esimerkki
2. Piirrä funktion [[$ f(x) = \frac{4x^3 - 2}{x-2} $]] kuvaaja.
(Tee ensin kulkukaavio. Malliratkaisu: Kertaus2.ggb ja toinen Kertaus2b.ggb, huom. kolmannen asteen funktio, nollakohdat kirjoitettu likiarvoina)

Kokeile piirtoikkunassa hiiren oikea -> "Näytä kaikki objektit"

Raja-arvo
3. Määritä raja-arvo
a) $\lim_{x\rightarrow3}\frac{2x+3}{x-1}$

b) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x^2-4x}{2x}$

c) $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-3x}{x-3}$
d) $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{x-2}$
e) $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{4-x^2}$

(Malliratkaisu: Kertaus3)

Jatkuvuus
4. Määritä sellainen vakio a, että funktio [[$ f(x) = \begin{cases} ax+1 & \text{kun } x<2 \\ ax^2+x & \text{kun } x \geq 2\end{cases} $]] on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.

(Malliratkaisu: Kertaus4 (1).ggb)

Derivointi
5. Derivoi

a) $f\left(x\right)=4$

b) $g\left(x\right)=4x^5-\frac{2}{3}x^3+2x-5$

c) $h\left(x\right)=\left(4x-3\right)\left(3x^2+2x\right)$

d) $i\left(x\right)=x^{-6}$

e) $j\left(x\right)=\frac{4x^2-3}{2x}$

f) $k\left(x\right)=\left(4x^2-3\right)^3$

(Vastaukset: Kertaus5.ggb)

6. Ratkaise derivaatan nollakohdat (miel. käsin, ratkaise myös Geogebralla).

a) $f\left(x\right)=5x^2-2x$

b) $g\left(x\right)=\frac{x^3-1}{5x}$

(Malliratkaisu: Kertaus6.ggb)

Kasvaminen ja väheneminen
7. Millä vakion $a$ arvoilla funktio $f\left(x\right)=x^3+ax^2-3x\ +a$ on kaikkialla kasvava?
(Malliratkaisu:Kertaus7.ggb)

Ääriarvot
8. Mikä on funktion $f\left(x\right)=5-11x+7x^2-x^3$ suurin arvo välillä ]0,4]?
(Malliratkaisu: Kertaus8.ggb)

9. Mikä on funktion $f\left(x\right)=\frac{x^2+2}{3x}$ suurin arvo välillä [-2, 0[ ja pienin arvo välillä ]0, 2]?
(Malliratkaisu: Kertaus9.ggb)

10. Kullankaivaja haluaa merkata jokivarren valtauksensa. Hänellä on aitatarpeita 500 metrin verran. Mitkä ovat tontin sivujen pituudet, kun kaivaja haluaa alueen pinta-alasta mahdollisimman suuren?
(Malliratkaisu: Kertaus10.ggb)

11. Heitetään hatusta suklaan piristävän vaikutuksen suuruutta kuvaava kaava: $f(x)=\frac{5x}{x^3-2x+4}$ , missä x on aika minuutteina suklaan syömisen jälkeen. Milloin vaikutus on suurin?
(Malliratkaisu: Kertaus11.ggb)

12. Osoita, että funktiolla $f\left(x\right)=\frac{3x-2}{x^2-x}$ on vain yksi nollakohta välillä [-1, 2].

(Malliratkaisu: Kertaus12.ggb)

(13. Mikä on funktion $f\left(x\right)=\frac{3x}{x^2+2}$ suurin ja pienin arvo?)

Teoria tiiviisti

Derivaatta on
-tangentin kulmakerroin
-funktion kasvunopeus
-erotusosamäärän raja-arvo

Funktion ominaisuuksia kohdassa x = a
- onko määritelty (= voiko x saada arvon a?)
- onko raja-arvo (= voiko raja-arvon laskea? onko vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot samat?)
- onko jatkuva (= onko raja-arvo ja funktion arvo sama?)
- onko derivoituva (= onko erotusosamäärällä raja-arvoa?)
- onko kasvava vai vähenevä? (= derivaatan merkki + vai -)

Funktion kulun tutkiminen
- valitse muuttuja, selvitä funktio (usein annettu jo, paitsi sanallisissa)
- muuttujan määrittelyjoukko (esim. pituus > 0)
- derivoi funktio (derivointisäännöt!)
- selvitä derivaatan merkit
-- ratkaise derivaatan nollakohdat ja merkki niiden välissä
-- (tai ratkaise epäyhtälöt f'(x) > 0 ja f'(x) < 0)
- tee kulkukaavio
––huom! muuttujan määrittelyjoukko ja funktion epäjatkuvuuskohdat
––huom! kulkukaaviota ei aina tarvita: jatkuvassa funktiossa suurin ja pienin arvo löydetään välin päätepisteistä tai derivaatan nollakohdista.
- vastaa kulkukaavion avulla kysymykseen (esim laske suurin arvo f(x), pienin jne.)