Potenssilaskentaa

Potenssi

Potenssilaskulla voidaan lyhentää toistuvien tekijöiden kertolasku.

Samankantaisten potenssien tulo

Samankantaisilla potensseilla on sama kantaluku
Niiden tulo eli kertolasku voidaan merkitä lyhyemmin yhdellä potenssilla

[[$$ 3^2 \cdot 3^4 = \underline{3 \cdot 3} \cdot \underline{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = 3^6 $$]]

Eli potenssit lasketaan yhteen ja kantaluku säilyy samana

[[$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$]]

Samankantaisten potenssien osamäärä

Kuten edellä, myös samankantaisten potenssien osamäärä eli jakolasku voidaan lyhentää yhteen potenssiin

[[$$ \frac{2^6}{2^4} = \frac{\not 2 \cdot \not 2 \cdot \not 2 \cdot \not 2 \cdot 2 \cdot 2}{\not 2 \cdot \not 2 \cdot \ \not 2 \cdot \not 2} = 2^2 $$]]

Jakolaskussa eksponentit siis vähennetään toisistaan

[[$$ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \text{, kun }a \neq 0 $$]]

Eksponenttina nolla tai negatiivinen kokonaisluku

Eksponenttina nolla

Samankantaisten potenssien osamäärästä tiedämme, että
[[$$ \frac{2^3}{2^3}= \frac{\not2\cdot\not2\cdot\not2}{\not2\cdot\not2\cdot\not2\cdot}=\frac{1}{1}=1 $$]]
toisaalta aiemmin johdetusta kaavasta saadaan
[[$$ \frac{2^4}{2^4}=2^{4-4}=2^0 $$]]
koska samasta laskusta pitää tulla sama tulos laskutavasta riippumatta, niin
[[$$ a^0 = 1 \text{, kun }a\neq0 $$]]

Negatiivinen eksponentti

Osamäärä voidaan laskea[[$$ \frac{2^3}{2^5}= \frac{\not2\cdot\not2\cdot\not2}{\not2\cdot\not2\cdot\not2\cdot\not2\cdot 2\cdot\ 2\cdot}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4} $$]]
toisaalta taas osamäärän kaavasta tiedetään, että
[[$$ \frac{2^3}{2^5}=2^{3-5}=2^{-2} $$]]
Jälleen kerran, laskusta pitää tulla sama tulos laskutavasta riippumatta, eli
[[$$ 2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4} $$]]
ja yleisemmin
[[$$ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{, kun } a\neq0 $$]]

Tulon potenssi

Tulon potenssin laskusääntö voidaan päätellä avaamalla sulut
esim. [[$$ (3\cdot4)^2=(3 \cdot 4)\cdot (3 \cdot 4)=3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4=\underline{3^2\cdot4^2}=9 \cdot 16=144 $$]]
eli
[[$$ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $$]]

Osamäärän potenssi

Osamäärän potenssin laskusääntö voidaan myös päätellä avaamalla sulut
[[$$ (\frac{3}{4})^2=\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4}= \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $$]]eli
[[$$ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $$]]

Potenssin potenssi

Kuten kaikki muutkin, myös potenssin potenssin kaava voidaan päätellä kirjoittamalla potenssimerkinnät auki
[[$$ (2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = \underline{2 \cdot 2 \cdot 2 } \cdot \underline{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^{2 \cdot 3}=2^6 $$]]eli
[[$$ (a^n)^m = a^{n \cdot m} $$]]

Potenssikaavat

[[$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$]]	[[$$ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \text{, kun }a \neq 0 $$]]
[[$$ a^0 = 1 \text{, kun }a\neq0 $$]]	[[$$ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{, kun } a\neq0 $$]]
[[$$ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $$]]	[[$$ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $$]]
[[$$ (a^n)^m = a^{n \cdot m} $$]]