Polynomit
Polynomi?
- Polynomissa on yksi tai useampi termi (poly = monta)
- esim. 5x + 3y - 4
- Joskus termien lukumäärää halutaan tarkentaa:
- Monomissa on vain yksi termi, esim. 5x
- Binomissa on kaksi termiä, esim. 5x + 2
- + tai - merkistä alkaa aina uusi termi!
- Polynomi (Wikipedia)
Yhteen-, vähennys- ja kertolaskut
Seiskaluokalla on opiskeltu
- Samanmuotoisten termien yhdistäminen
- Polynomien yhteen ja vähennyslasku sekä
- Polynomin kertominen monomilla
- Polynomilaskentaa seiskaluokalta: 2.1 - Kirjainlaskentaa
- erityisesti yhteen- ja vähennyslasku: Lausekkeiden summa ja erotus
----------
Termien yhteen- ja vähennyslasku
- vain samanmuotoiset (täysin sama kirjainosa) termit yhdistetään!
- esim.
[[$ 7x+6-5x+8\\=7x-5x+6+8\\=2x+14 $]]
- 7x, 5x ja -4x ovat samanmuotoisia, mutta 3x ja 2x2 eivät!
- 3x, 4a ja 6 ovat kaikki erimuotoisia
Plus ja miinus sulkeiden edessä
- välittömästi sulkeiden edessä oleva miinus muuttaa sulkeiden sisällä olevien termien etumerkit!
- esim.
[[$ 5x \color{red}{-(3x-6)}\\=5x\color{red}{-3x+6}\\=2x+6 $]]
- jos sulkeiden edessä on plusmerkki, se ja sulkeet voidaan suoraan poistaa (jos sisällä ei ole enää mitään laskettavaa...)
- esim.
[[$ 8\color{red}{+(12x-3)}\\=8\color{red}{+12x-3}\\=12x+5 $]]
Kertolasku sulkeiden edessä
- jos sulkeiden edessä on kertolasku, niin pitää muistaa kertoa kaikki sulkeiden sisällä olevat termit erikseen!
- esim.
[[$ 3(5x-2)\\=3 \cdot 5x + 3 \cdot (-2)\\=15x-6 $]]
- esim 2.
[[$ 2x(3x^2-4x+6)\\=2x \cdot 3x^2+2 \cdot (-4x)+2x \cdot 6\\=6x^3-8x^2+12x $]]
----------
Monomin kertominen monomilla kun molemmissa on muuttuja:
- kertoimet kerrotaan keskenään ja kirjainosat keskenään
- esim.
[[$ 2x \cdot 4x^2=2\cdot4 \cdot x \cdot x^2=8x^3 $]] - esim 2.
[[$ 3x \cdot 5y = 15xy $]]
Polynomin kertominen polynomilla
- ensimmäisen polynomin jokaisella termillä kerrotaan toisen polynomin jokainen termi
- esim. [[$$ (2x + 3)(4x+1)\\ =\underline{2x \cdot 4x} + \underline{2x \cdot 1} + \underline{3 \cdot 4x} + \underline{3 \cdot 1}\\ = 8x^2 + 2x + 12 x + 3\\ = \underline{8x^2+14x+3} $$]]
Sieventäminen ja arvon laskeminen
Sieventäminen
- Sieventäminen tarkoittaa lausekkeen kirjoittamista mahdollisimman lyhyessä (sievässä) muodossa
- Käytännössä lauseketta lasketaan niin pitkälle kuin pystytään
- vastaukseen jää useimmiten muuttuja/muuttujia
Lausekkeen arvon laskeminen
- sijoitetaan annettu muuttujan/muuttujien arvot lausekkeeseen
- vastauksena yksi luku
- sievennä aina ennen sijoittamista!
Jakolasku (monomilla jakaminen)
Monomin jakaminen monomilla
- Samalla tavalla kuin kertolaskussa,
- jakolaskussa luvut jaetaan keskenään ja kirjainosat keskenään
- esim. [[$$ \frac{25x}{5}=\frac{25}{5} \cdot x = 5x $$]]
[[$$ \frac{12x^3}{2x^2}=\frac{12}{2} \cdot \frac{x^3}{x^2} = 6x $$]]
Polynomin jakaminen monomilla
- polynomin jokainen termi jaetaan erikseen monomilla (kuten edellisessä esimerkissä)
- (polynomin jakaminen monomilla on siis kuin useamman monomi/monomi-jakolaskun summa)
- esim. [[$$ \frac{12x+6}{3}=\frac{12x}{3}+\frac{6}{3}=4x+2 $$]]
[[$$ \frac{8x^2-4x}{2x}=\frac{8x^2}{2x}-\frac{4x}{2x}=4x-2 $$]]
Jakolasku (polynomilla jakaminen)
Yhteisen tekijän erottaminen
- muokataan polynomi (helpommin) jaettavaan muotoon
- hyviä esimerkkejä kirjan lisäksi joensuun lukion pedanet-sivulla!
- vaiheittain esitetty opetus.tv:n sivulla
Polynomin jakaminen polynomilla
- käytetään aina hyväksi tekijöihin jakamista!
- lopuksi supistetaan
- jaettavaan polynomiin jää usein sama termi tai polynomi kuin jakajassa (tai sitten molemmat voi supistaa samalla luvulla (tai monomilla))