MAA14 hyödyllistä algebraa
kosiniyhtälö
Siniyhtälö
|
157 |
158 |
160 |
162 |
|
161 |
163 |
164 |
172 |
|
176 |
177 |
vihje tehtävään 177. Tutki maolia kohdasta trigonometria -> palautuskaavat ja sovella kaavoja.
Sinin ja kosinin ominaisuuksia
Sinin ja kosinin määritelmän laajennus
|
71 |
72 |
74 |
80 |
|
76 |
77 |
78 |
|
|
87 |
91 |
Trigonometriset funktiot
|
49 |
51 |
53 |
55 |
|
56 |
61 |
63 |
|
|
69 |
70 |
Pallo
Osamurtohajotelmat
raja-arvon määritelmä
Määritä raja-arvo ja todista se oikeaksi raja-arvon määritelmää käyttäen. Tai vaihtoehtoisesti määritä vain raja-arvo.
a) [[$ \lim_{x\rightarrow2}5x $]]
b) [[$ \lim _{x\rightarrow 1}x^4 $]]
c) [[$ \lim _{x\rightarrow 2}\ \frac{x^2-5x+6}{x^2+x-6} $]]
d) [[$ \lim _{x\rightarrow -\sqrt{2}}\ \frac{x^3-\sqrt{2}x^2-4x}{x^2-2} $]]
e) [[$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^3-5x^2-5x-3}{x^3-2x^2-2x-3} $]]
a) [[$ \lim_{x\rightarrow2}5x $]]
b) [[$ \lim _{x\rightarrow 1}x^4 $]]
c) [[$ \lim _{x\rightarrow 2}\ \frac{x^2-5x+6}{x^2+x-6} $]]
d) [[$ \lim _{x\rightarrow -\sqrt{2}}\ \frac{x^3-\sqrt{2}x^2-4x}{x^2-2} $]]
e) [[$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^3-5x^2-5x-3}{x^3-2x^2-2x-3} $]]
raja-arvo laskennallisesti
1.
Etsi laskemalla sellainen väli jolla x:n tulee pysyä, jotta funktio f(x) pysyy etäisyydellä 0,1 raja-arvosta kohdassa x=2.
a) [[$ f(x)=2x $]]
b) [[$ f(x)=2x^2 $]]
c) [[$ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} $]]
2. Etsi laskemalla sellainen väli jolla x:n tulee pysyä, jotta funktio f(x) pysyy etäisyydellä 0,01 funktion raja-arkvosta kohdassa x=1
a) [[$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} $]]
3. Selvitä funktion raja-arvo ja etsi sellainen väli jolla funktio pysyy 0,001 etäisyydellä raja-arvosta
a) [[$ h(x)=\frac{x^2+x}{x} $]], x=0
b)[[$ g(x)=\frac{2x^2-18}{x+3} $]],x=-3
c)[[$ j(x)=x^2+3x+2, x=3 $]]
Etsi laskemalla sellainen väli jolla x:n tulee pysyä, jotta funktio f(x) pysyy etäisyydellä 0,1 raja-arvosta kohdassa x=2.
a) [[$ f(x)=2x $]]
b) [[$ f(x)=2x^2 $]]
c) [[$ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} $]]
2. Etsi laskemalla sellainen väli jolla x:n tulee pysyä, jotta funktio f(x) pysyy etäisyydellä 0,01 funktion raja-arkvosta kohdassa x=1
a) [[$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} $]]
3. Selvitä funktion raja-arvo ja etsi sellainen väli jolla funktio pysyy 0,001 etäisyydellä raja-arvosta
a) [[$ h(x)=\frac{x^2+x}{x} $]], x=0
b)[[$ g(x)=\frac{2x^2-18}{x+3} $]],x=-3
c)[[$ j(x)=x^2+3x+2, x=3 $]]
Tunti 7 Raja-arvo jatkuu
Voit tehdä edellisen tunnin tehtäviä jos ne kaipaavat vielä harjoitusta
1.
Piirrä funktion kuvaaja ja etsi kuvaajan avulla sellainen väli x:lle, jotta f(x) pysyy 0,1 etäisyydellä arvosta raja-arvostaan kohdassa x=2 kun
a) [[$ f(x)=2x^2 $]]
b) [[$ f(x)=\frac{1}{x} $]]
c) [[$ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} $]]
Etsi funktion kuvaajan avulla sellainen etäisyys jonka sisällä funktio g(x) ei pysy vaikka x rajattaisiin miten tahansa lähelle kohtaa x=1
[[$ g\left(x\right)=\begin{cases} 2x+1&x\le1\\ x^2&x>1 \end{cases} $]]
1.
Etsi laskemalla sellainen väli jolla x:n tulee pysyä, jotta funktio f(x) pysyy etäisyydellä 0,1 arvosta 2.
a) [[$ f(x)=2x $]]
b) [[$ f(x)=2x^2 $]]
c) [[$ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} $]]
tunti 6 raja-arvo jatkuu
Tehtävät 89 a ja 90 a huolellisesti raja-arvon sääntöjä käyttäen. Raja-arvon laskusäännöt alla. Loput tehtävät voi tehdä sijoittaen.
Tunti 5
Raja-arvo
Tunti 4
tunti 3
Tunti 2
Tekijöihin jakaminen ja rationaalifunktion sieventäminen
Lämmittelyä MAA2 kirjan tehtävät 5.11-5.13
19.13,
19.14
19.17
Rationaalifunktio.png
selvitä määrittelyehto ja sievennä
[[$ \frac{\sqrt{x^2}-\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2+4x+4}}{\sqrt{x^3-4x^2+4x}+\sqrt{x^3+6x^2+9x}} $]]
Lämmittelyä MAA2 kirjan tehtävät 5.11-5.13
19.13,
19.14
19.17
Rationaalifunktio.png
selvitä määrittelyehto ja sievennä
[[$ \frac{\sqrt{x^2}-\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2+4x+4}}{\sqrt{x^3-4x^2+4x}+\sqrt{x^3+6x^2+9x}} $]]