[[$vektorin\ \overline{a}\ pituus{,}\ \left|\overline{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$]]

Kahden pisteen välinen vektori, kun 
[[$A=\left(x_1{,}\ y_{21}\right)\ ja\ B=\left(x_2{,}\ y_2\right)$]]
[[$\overline{AB}=\left[\begin{matrix} x_2-x_1\\ y_2-y_1 \end{matrix}\right]=\left(x_2-x_1\right)\bar{\text{i}}+\left(y_2-y_1\right)\bar{\text{j}}$]]

Vektoreiden summa

[[$Olkoon\ vektorit\ \overline{u}=\left[\begin{matrix} 2\\ -3 \end{matrix}\right]\ ja\ \overline{v}=\left[\begin{matrix} 1\\ 2 \end{matrix}\right].\ Muodosta\ vektorit\ \overline{a}=\overline{u}+\overline{v}\ \ ja\ \overline{b}=\overline{v}-2\overline{u}$]]
[[$\overline{a}=\overline{u}+\overline{v}=\left[\begin{matrix} 2+1\\ -3+2 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 3\\ -1 \end{matrix}\right]\ \left(=3\bar{\text{i}}-\bar{\text{j}}\right)\ ja$]]
[[$\overline{b}=\overline{v}-2\overline{u}=\left[\begin{matrix} 1-2\cdot2\\ 2-2\cdot\left(-3\right) \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} -3\\ 8 \end{matrix}\right]\left(=-3\bar{\text{i}}+8\bar{\text{j}}\right)$]]

Vektoreiden pistetulo
[[$kun\ \overline{a}=\left[\begin{matrix} x_1\\ y_1 \end{matrix}\right]\ ja\ \overline{b}=\left[\begin{matrix} x_2\\ y_2 \end{matrix}\right]\ niin\ näiden\ vektoreiden\ pistetulo$]]

[[$\overline{a}\cdot\overline{b}=x_1x_2+y_1y_2$]]

[[$esim\ edellisen\ esimerkin\ vektoreiden\ tapauksessa$]]
[[$\overline{u}\cdot\overline{v}=2\cdot1+\left(-3\right)\cdot2=-4$]]

HUOM!
[[$Jos\ \overline{a}\cdot\overline{b}=0\ niin\ vektorit\ ovat\ kohtisuorassa\ toisiaan\ vastaan\ \left(\overline{a}\ \perp\ \overline{b}\right)$]]
Pistetulon avulla voidaan määrittää vektoreiden välinen kulma
[[$\cos\alpha=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|}$]]

Avaruusvektoreilla homma toimii samalla tavalla. Vektoriin tulee z-komponentti mukaan




Kotitehtävät: 302 loppuun, 305, 306 ja 307

Vektoreiden yhdensuutaisuus

[[$vektorit\ \overline{a}\ \ ja\ \overline{b}\ \ ovat\ yhdensuuntaiset{,}\ jos\ löytyy\ sellainen\ reaaliluku\ t{,}\ $]]
[[$että\ \overline{a}=t\cdot\overline{b}\ \ \ \left(tai\ \overline{b}=t\cdot\overline{a}\right)$]]
[[$lyhyem\min:\ \overline{a}\ \parallel\ \overline{b}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{a}=t\cdot\overline{b}{,}\ \ \ t\in\mathbb{R}\ $]]

Vektoreiden kohtisuoruus

[[$vektorit\ \overline{a}\ \ ja\ \overline{b}\ \ ovat\ kohtisuorassa\ toisiaan\ vastaan{,}\ jos\ niiden\ pistetulo\ on\ nolla$]]

[[$\overline{a}\ \ \perp\ \overline{b}\ \ \ \Leftrightarrow\ \overline{a}\ \cdot\ \overline{b}\ =0$]]