2.1 Sinifunktio ja kosinifunktio

TEHTÄVIÄ

202
a)
$f\left(x\right)=2\sin x-1$

$f\left(3\pi\right)=2\sin3\pi-1$
$2\sin\pi-1$
$2\cdot0-1$
$f\left(3\pi\right)=-1$
$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$
$2\cdot\left(-1\right)-1$
$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-3$
$f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$
$2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-1$
$f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-2$

b)
$f\left(0\right)$
$f\left(x\right)=0$
$f\left(0\right)=2\sin0-1$
$f\left(0\right)=-1$
$f\left(x\right)=0=2\sin x-1$
$2\sin x=1$
$\sin x=\frac{1}{2}$
yksi nollakohta on
$x=\frac{\pi}{6}$
täydellinen ratkaisu

nollakohdat

$x=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi$

tai

$x=\pi-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi$

varmistetaan tulokset kuvasta

209
a)
$f\left(x\right)=2\cos x-1$
$f\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=f\left(\frac{7\pi}{6}\right)$
$2\cos\frac{7\pi}{6}-1$
$2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-1$
$-\sqrt{3}-1$
b)
$f\left(x\right)=0$
$2\cos x-1=0$
$\cos x=\frac{1}{2}$
yksi ratkaisu

$x=\frac{\pi}{3}$

täydellinen ratkaisu

$x=\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi$

tai
$x=-\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi$

kun $n\in\mathbb{Z}$
c)

$-3\le-1+2\sin x\le1$

[-3,1]

d)
$f\left(x\right)=-1$
$2\cos x-1=-1$
$2\cos x=0$
$\cos x=0$
yksi ratkaisu

$x=\frac{\pi}{2}$

täydellinen ratkaisu

$x=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

tai

$x=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

kun $n\in\mathbb{Z}$

210
a)
$f\left(x\right)=2+3\cos x$
$g\left(x\right)=-1+2\sin x$
$-1\le\cos x\le1$
$-3\le3\cos x\le3$

$-1\le2+3\cos x\le5$

[-1,5]

$-3\le-1+2\sin x\le1$

[-3,1]
kuva

b)
f(x)=3 on olemassa, sillä se kuuluu funktion arvojoukkoon
g(x)=3 ei ole olemassa, sillä se ei kuulu arvojoukkoon
213

molempien käyrien jakso on 2π
$\cos x=1-\cos x$
$2\cos x=1$

$\cos x=\frac{1}{2}$

yksi ratkaisu

$x=\frac{\pi}{3}$

funktion arvo kohdassa

$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$

kaikki ratkaisut

$x=\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi$

tai

$x=-\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi$

ratkaisut välillä $\left[2\pi{,}\ 4\pi\right]$

$\frac{7\pi}{3}{,}\ \frac{11\pi}{3}{,}\frac{13\pi}{3}$

leikkauspisteet

$\left(\frac{7\pi}{3}{,}\ \frac{1}{2}\right){,}\ \left(\frac{11\pi}{3}{,}\ \frac{1}{2}\right){,}\ \left(\frac{13\pi}{3}{,}\ \frac{1}{2}\right)$

216
a) arvojoukko [-1,5;1,5], kerroin A=1,5
b) funktion f perusjakso 4π, kerroin C=0,5
c)