445

a)
Piirretään kuva

leikkauspiste on B=(-3,1,7)
kulma on 57,2
b)

suuntavektori

$\overline{BA}=\left(-5-\left(-3\right)\right)\overline{\text{i}}+\left(-2-1\right)\overline{\text{j}}+\left(11-7\right)\overline{\text{k}}=-2\overline{\text{i}}-3\overline{\text{j}}+4\overline{\text{k}}$

suoran yhtälö on

$\begin{cases} x=-3-2t&\\ y=1-3t&\\ z=7+4t& \end{cases}$

leikkauspiste tason $x-4y+4z-21=0$

$-3-2t+\left(-4\left(1-3t\right)\right)+4\left(7+4t\right)-21=0$
$-3-2t-4+12t+28+16t-21=0$
$26t=0$
$t=0$
$\begin{cases} x=-3-2\cdot0&\\ y=1-3\cdot0&\\ z=7+4\cdot0& \end{cases}$
leikkauspiste on $\left(-3{,}1{,}7\right)$

tason normaalivektorin $\overline{n}=\overline{\text{i}}-4\overline{\text{j}}+4\overline{\text{k}}$ ja suoran suuntavektorin $\overline{BA}$ välinen kulma

$\overline{n}\cdot\overline{BA}=-2\cdot1-3\cdot\left(-4\right)+4\cdot4=26$

$\left|\overline{BA}\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-3\right)^2+4^2}=\sqrt{29}$
$\left|\overline{n}\right|=\sqrt{1^2+\left(-4\right)^2+4^2}=\sqrt{33}$

$\cos\left(\overline{n}{,}\overline{BA}\right)=\frac{\overline{n}\cdot\overline{BA}}{\left|\overline{n}\right|\left|\overline{BA}\right|}=\frac{26}{\sqrt{33}\cdot\sqrt{29}}=0{,}840460...$
$\cos^{-1}\left(0{,}840460...\right)=32{,}8112...°\approx32{,}8°$

suoran ja tason välinen kulma
$\alpha=90°-32{,}8°=57{,}2°$