417

$\begin{cases} x=3-2t&\\ y=-1+2t&\\ z=3-t&t\in\mathbb{R} \end{cases}$
$suora\ kulkee\ pisteen\ B\left(3{,}\ -1{,}\ 3\right)\ kautta$

$ja\ suoran\ suuntavektori\ on\ -2\overline{\text{i}}+2\overline{\text{j}}-\overline{\text{k}}$

Pisteen A etäisyys suorasta on kohtisuorasti mitattu etäisyys

toisaalta etäisyys on vektorin $\overline{AA'}$ pituus

Piste A' on suoralla, joten sen koordinaatit ovat muotoa $\left(3-2t{,}\ -1+2t{,}\ 3-t\right){,}\ t\in\mathbb{R}$

$\overline{AA'}=-2t\overline{\text{i}}-12+2t\overline{\text{j}}-6-t\overline{\text{k}}$

Nyt

$\overline{AA'}\perp\overline{s}$

joten

$\overline{AA'}\cdot\overline{s}=0$
$\overline{AA'}\cdot\overline{s}=-2t\cdot-2+\left(-12+2t\right)\cdot2+\left(-6-t\right)\cdot\left(-1\right)=0$
$9t-18=0$
$t=2$
$\overline{AA'}=-4\overline{\text{i}}-8\overline{\text{j}}-8\overline{\text{k}}$
$\left|\overline{AA'}\right|=\sqrt{4^2+8^2+8^2}=12\ \left(tai\ -12\right)$
$pisteen\ A\ \left(3{,}\ 11{,}\ 3\right)\ etäisyys\ suorasta\ on\ 12\$