3.3 Suorien leikkauspiste ja välinen kulma

Teksti

Tehtävä 1

a) Selvitä suorien $3x-2y+1=0$ ja $-2x+y-4=0$ leikkauspiste. Tarkista ratkaisusi laskimella ja liitä siitä kuvakaappaus ratkaisuusi.

leikkauspiste saadaan yhtälöparilla
$\begin{cases} 3x-2y+1=0&\\ -2x+y-4=0& \end{cases}$

$\begin{cases} 3x-2y+1=0&\\ -2x+y-4=0& \end{cases}$
$\begin{cases} 3x+1=2y&\\ -2x-4=-y& \end{cases}$
$x-3=y$
$\begin{cases} 3x-2\left(x-3\right)+1=0&\\ -2x+\left(x-3\right)-4=0& \end{cases}$
$\begin{cases} 3x-2x+6+1=0&\\ -2x+x-3-4=0& \end{cases}$
$\begin{cases} x+7=0\\ -x-7=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x=-7&\\ x=-7& \end{cases}$

$y=-7-3=-10$

piste (-7, -10)

b) Laske suorien välinen kulma käyttäen s. 78 lausetta.
$muutetaan\ lauseet\ muotoon\ y=kx+b$
$3x-2y+1=0$
$2y=3x+1$
$y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$
$-2x+y-4=0$
$y=-2x-4$
$nyt\ voidaan\ käyttää\ lausetta$
$\tan\alpha=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|$
$\tan\alpha=\left|\frac{\frac{3}{2}-2}{1+\frac{3}{2}\cdot2}\right|=\left|-\frac{\frac{1}{2}}{4}\right|=\frac{1}{8}$
$\alpha=7{,}12502...°$

c) Laske suorien välinen kulma käyttäen suuntakulmia.

$y=kx+b$
$y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$

$y=-2x-4$

suuntakulma α saadaan lauseella $\tan\alpha=k$

$\tan\alpha=\frac{3}{2}$
$\alpha=56{,}3099...°$
$\tan\alpha=-2$
$\alpha=-63.4349...°$

suorien välinen kulma saadaan suuntakulmien itseisarvojen erotuksesta

$63{,}4349...°-56{,}3099...°=7{,}12505...°\approx7{,}1°$

d) Mittaa suorien välinen kulma sopivalla ohjelmalla. Liitä kuvakaappaus.

351
A3
B1
C2
352
$muodostetaan\ suorien\ yhtälöt\ kahden\ suoran\ pisteen\ avulla$

$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4-1}{3-\left(-3\right)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$suoran\ yhtälö\ pisteestä\ ja\ kulma\ker toimesta$
$y-y_0=k\left(x-x_0\right)$
$y-1=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\cdot\left(-3\right)$
$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$
$tehdään\ sama\ toiselle\ suoralle$
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-1}{-1-5}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$
$y-1=-\frac{1}{3}\left(x-5\right)$
$y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}&\\ y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}& \end{cases}$
$ratkaistaan\ tekni\sin\ apuvälinein$
$x=\frac{19}{5}{,}\ y=\frac{7}{5}$
$\left(\frac{19}{5}{,}\ \frac{7}{5}\right)$

357 Piirrä kuva. Kolmion kärkipisteitä ei saa katsoa kuvasta, vaan ne tulee laskea tai muutoin perustella.

kolmioiden kärkipisteet ovat suorien leikkauspisteitä

$\begin{cases} x-5=0&\\ y-3=0& \end{cases}$
$\left(5{,}3\right)$
$\begin{cases} x-5=0&\\ 2x+5y-15=0& \end{cases}$
$x=5{,}\$
$2\cdot5+5y-15=0$
$5y=5$
$y=1$
$\left(5{,}1\right)$
$\begin{cases} y-3=0&\\ 2x+5y-15=0& \end{cases}$
$y=3{,}$
$2x+5\cdot3-15=0$
$2x=0$
$x=0$
$\left(0{,}3\right)$

pisteestä ja siitä lähtevien kahden sivun pituudesta voidaan laskea pinta-ala
pisteeksi valitaan tässä (5,3)
$lasketaan\ etäisyys$
$\left(0{,}3\right)\ ja\ \left(5{,}3\right)\ välillä$
$x^2=\left(5-0\right)^2+\left(3-3\right)^2$
$x^2=25$
$x=5\ \left(tai\ -5\right)$
$lasketaan\ etäisyys$
$\left(5{,}3\right)\ ja\ \left(5{,}1\right)\ välillä$
$x^2=\left(5-5\right)^2+\left(3-1\right)^2$
$x^2=4$
$x=2\ \left(tai\ -2\right)$

etäisyydet ovat 5 ja 2

suorien leikkauskulma, joiden leikkauspiste on (5,3)

$\begin{cases} x-5=0&\\ y-3=0& \end{cases}$

x=5, suora on pystysuora, jolloin sen suuntakulma on tasan 90°

y=3, suora on vaakasuora, jolloin sen suuntakulma on tasan 0°

suuntakulmien erotus on 90°, joka on suorien välinen kulma

nähdään että kolmio on suorakulmainen, joten siihen voidaan käyttää suorakulmaisen kolmion pinta-alan laskusääntöä

$A=\frac{ah}{2}=\frac{5\cdot2}{2}=5$
kolmion pinta-ala on 5