Jos lukujonosta tiedetään vain pari jäsentä, sen jatko ei ole yksikäsitteinen.

Määritä lukujonolle [[$ 1, 2, 3,... $]]​ analyyttinen tai rekursiivinen sääntö.

Ratkaisu:
Lukujono voi jatkua usealla tavalla. Esimerkiksi
i) [[$ 1, 2, 3, 4, 5,... $]]

ii) tai [[$ 1, 2, 3, 5, 8,... $]]

iii) tai [[$ 1, 2, 3, 5, 9,... $]]

i) Lukujonon [[$ 1, 2, 3, 4, 5,... $]] analyyttinen sääntö on
[[$a_n=n$]].

Lukujonon rekursiivinen sääntö on, että edelliseen jäseneen lisätään yksi. Tämä merkitään
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_{n-1}+1 & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]

ii) Lukujonossa [[$ 1, 2, 3, 5, 8,... $]] lasketaan yhteen kaksi edellistä jäsentä.
[[$ a_1=1 $]],
[[$ a_2=2 $]] ,
[[$ a_3=a_1+a_2=1+2=3 $]],
[[$ a_4=a_2+a_3=2+3=5 $]] jne.

Lukujonon sääntö on rekursiivinen, koska yleisen jäsenen määrittämiseen tarvitaan edellisiä jäseniä.
Sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_2=2\\a_n=a_{n-1}+a_{n-2} & \quad n=3,4, 5,...\end{array} \right.$]]

iii) Lukujonon [[$ 1, 2, 3, 5, 9,... $]] säännön selvittämiseksi muodostetaan taulukko.

Lukujonon sääntö

[[$ n $]]​	[[$ a_n $]]
[[$1$]]	[[$ 1 $]]
[[$2$]]	[[$ 2 $]]	[[$ =1+1 $]]	[[$ =1+2^0 $]]
[[$3$]]	[[$ 3 $]]	[[$ =1+2 $]]	[[$ =1+2^1 $]]
[[$4$]]	[[$ 5 $]]	[[$ =1+4 $]]	[[$ =1+2^2 $]]
[[$5$]]	[[$ 9 $]]	[[$ =1+8 $]]	[[$ =1+2^3 $]]
[[$ n $]]			[[$ a_1+2^{n-2} $]]

Huomataan, että ensimmäiseen jäseneen lisätään kahden kertotaulua. [[$ 1=2^0 $]], joten toinenkin jäsen saadaan määritettyä samalla tavalla. Lukujono on analyyttinen, koska jäsenen määrittämiseksi riittää tieto sen järjestysnumerosta [[$ n $]]​. Verrataan kahden eksponenttia ja järjestysnumeroa [[$ n $]], jolloin huomataan, että kahden eksponentti on [[$ n-2 $]].

Koska sääntö ei päde ensimmäiseen jäseneen, se merkitään erikseen ja sääntö alkaa toisesta jäsenestä.

Tällöin analyyttinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_1+2^{n-2} & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]