2.3 Kolmiulotteinen koordinaatisto

262

a)
$3\overline{\text{i}}+4\overline{\text{j}}$
b)
$3\overline{\text{i}}-7\overline{\text{k}}$
c)
$4\overline{\text{j}}-7\overline{\text{k}}$

257

a) tosi
b) epätosi, x-akselin pisteiden x-koordinaatti voi olla mitä vain, kunhan y- ja z-koordinaatit ovat 0
c) tosi, piste on sillä koordinaattiakselilla, joka ei ole nolla

256

a) 3
b) 5
c) 4

256

a) 3
b) 5
c) 4

255

a) P=(0, 3, 1)
b) P´=(0, 3, 0)

254

A4
B1
C2
D3

253

a)

$\overline{u}=2\overline{\text{i}}-\overline{\text{j}}+2\overline{\text{k}}$
$\left|\overline{u}\right|=\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$
$\overline{u}^0=\frac{\overline{u}}{\left|\overline{u}\right|}=\frac{2\overline{\text{i}}-\overline{\text{j}}+2\overline{\text{k}}}{3}=\frac{2}{3}\overline{\text{i}}-\frac{1}{3}\overline{\text{j}}+\frac{2}{3}\overline{\text{k}}$
b)

$\overline{v}=-15\overline{u}^0=-10\overline{\text{i}}+5\overline{\text{j}}-10\overline{\text{k}}$

c)
$\overline{OP}=\overline{OA}+\overline{v}=\overline{OA}+-15\overline{u}^0=-8\overline{\text{i}}+5\overline{\text{j}}-15\overline{\text{k}}$
$P=\left(-8{,}\ 5{,}\ -15\right)$

252

a)
$\overline{BC}=\overline{AD}$
$\overline{BC}=4\overline{\text{i}}+2\overline{\text{j}}+5\overline{\text{k}}$
$\overline{OD}=\overline{OA}+\overline{AD}=-2\overline{\text{i}}+\overline{\text{j}}+3\overline{\text{k}}+4\overline{\text{i}}+2\overline{\text{j}}+5\overline{\text{k}}=2\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}+8\overline{\text{k}}$
$D=\left(2{,}\ 3{,}\ 8\right)$
b)

251

b)
$\overline{AB}=\left(x_2-x_1\right)\overline{\text{i}}+\left(y_2-y_1\right)\overline{\text{j}}+\left(z_2-z_1\right)\overline{\text{k}}$
$\overline{AB}=-2\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}+6\overline{\text{k}}$
$\overline{AC}=3\overline{\text{i}}-6\overline{\text{j}}+2\overline{\text{k}}$

$\overline{BC}=5\overline{\text{i}}-9\overline{\text{j}}-4\overline{\text{k}}$

$\left|\overline{AB}\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7\ \left(tai\ -7\right)$
$\left|\overline{AC}\right|=\sqrt{3^2+\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{49}=7\ \left(tai\ -7\right)$

$\left|\overline{BC}\right|=\sqrt{5^2+\left(-9\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{122}$

kolmio ABC on tasakylkinen, kyljet AB ja AC ovat yhtä pitkät

250

a)
P=(4, -1, 8)
Q=(4, -4, 7)
b)
$\left|\overline{OP}\right|=\sqrt{4^2+\left(-1\right)^2+8^2}=\sqrt{81}=9$
$\left|\overline{OQ}\right|=\sqrt{4^2+\left(-4\right)^2+7^2}=\sqrt{79}$
Q on lähempänä origoa koska vektori OQ on lyhyempi