Teksti

$Jos\ a\equiv b\left(mod\ n\right)\ ja\ c\equiv d\left(mod\ n\right)\ ja\ luku\ p\ on\ positiivinen\ kokonaisluku$

a) $a+c\equiv b+d\left(mod\ n\right)$

b) $ac\equiv bd\ \left(mod\ n\right)$

c) $a^p\equiv b^p\left(mod\ n\right)$

Onko luku jaollinen luvulla 8?

Jos ei, mikä on jakojäännös?

$89\cdot805+60$

$7^{1249}+25$

Jos luku on jaollinen luvulla 8, se on kongruentti nollan kanssa (mod 8)

$89=8\cdot11+1{,}\ joten\ 89\equiv1\left(mod\ 8\right)$
$805=8\cdot100+5{,}\ joten\ 805\equiv5\ \left(mod\ 8\right)$
$60=7\cdot8+4{,}\ joten\ 60\equiv4\left(mod\ 8\right)$
$89\cdot805+60\equiv1\left(mod\ 8\right)$

luku ei ole jaollinen, jakojäännös on 1

$7=1\cdot8-1{,}\ 7\equiv-1\ \left(mod\ 8\right)$
$25=8\cdot3+1{,}\ 25\equiv1\ \left(mod\ 8\right)$
$7^{1249}+25\equiv\left(-1\right)^{1249}+1=-1+1=0$
luku on jaollinen luvulla 8

Kongruenssin avulla voidaan määrittää isojenkin potenssimuotoisten lukujen viimeinen numero

Luvun viimeinen numero on jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 10