166

Etsitään Diofantoksen yhtälön $6x+7y=50$ positiiviset kokonaislukuratkaisut

Määritetään ensin $syt\left(6{,}7\right)$

$7=6\cdot1+1$
$syt\left(6{,}1\right)$
$6=1\cdot6$
$syt\left(6{,}7\right)=syt\left(6{,}1\right)=1$

Ratkaistaan jakojäännös:

$1=7-1\cdot6$

Joten yhtälön $6x+7y=1$ eräs kokonaislukuratkaisu on

$x=-1$
$y=1$

jolloin $6x+7y=50$ eräs kokonaislukuratkaisu on

$x=-50$
$y=50$

tarkistus:

$-50\cdot6+50\cdot7=50$

$x=-50+\frac{7n}{1}=-50+7n$
$y=50-\frac{6n}{1}=50-6n$

haetaan sopiva kokonaisluku n, kun $x\ge0{,}\ y\ge0$

$-50+7n\ge0$
$7n\ge50\ \parallel:7$
$n\ge7{,}142...$
$50-6n\ge0$
$-6n\ge-50\ \parallel:\left(-6\right)$
$n\le8{,}333...$
$7{,}14...\le n\le8{,}3...$
$n=8$
$x=-50+7\cdot8=6$
$y=50-6\cdot8=2$