Esimerkit

Kertaus

13.

Funktio on jatkuvajos

$f\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$

a) lasketaan funktion raja-arvo kohdassa x=5
$f\left(x\right)\begin{cases} x^3-121&{,}kun\ x<5\\ \frac{x^3+x^2}{x^4-2x}&{,}kun\ x>5 \end{cases}$ $f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow5-}\left(x^3-121\right)=5^3-121=4$
$f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow5+}\left(\frac{x^3+x^2}{x^4-2x}\right)=\frac{5^3+5^2}{5^4-2\cdot5}=\frac{1}{4}$

koska $4\ne\frac{1}{4}$ , joten funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa x=5

Siten funktiota ei saada jatkuvaksi kohdsassa x=5

$f\left(x\right)=\frac{x-5}{50-2x^2}{,}x\ne\pm5$

$\lim_{x\rightarrow5}\left(\frac{x-5}{50-2x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow5}\frac{x-5}{-2\left(x^2-25\right)}=\frac{x-5}{-2\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=\lim_{x\rightarrow5}\frac{1}{-2\left(x+5\right)}=\frac{1}{-2\left(5+5\right)}=\frac{1}{-20}$

Valitsemalla $f\left(5\right)=-\frac{1}{20}$ saadaan funktio jatkuvaksi kohdassa x=5

$h'\left(3\right)=\lim_{x\rightarrow3}\frac{h\left(x\right)-h\left(3\right)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\left(x^2-2x+1\right)-\left(3^2-2\cdot3+1\right)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-2x+1-9+6-1}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-2x-3}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{x-3}=x+1=3+1=4$

5.1

$D\ x^n=nx^{n-1}{,}\ kun\ x\ne0\ ja\ n\in\mathbb{Z}$

Muista:

$x^{-k}=\frac{1}{x^k}{,}\ x\ne0$

Esim. Derivoi

$\frac{3}{x^3}{,}\ x\ne0$

$D\ \frac{3}{x^3}=D\ 3\cdot\frac{1}{x^3}=D\ 3x^{-3}=9x^{-4}=-9\cdot\frac{1}{x^4}=\frac{-9}{x^4}$

$\frac{x^4-2}{x^4}{,}\ x\ne0$

$D\ \frac{x^4-2}{x^4}=D\ \frac{x^4}{x^4}-\frac{2}{x^4}=D\ 1-\frac{2}{x^4}$
$=D\ 1-2x^{-4}=8x^{-5}=\frac{8}{x^5}$

Lause:
Olkoot f ja g derivoituvia. Tällöin

$D\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$

$D\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)^2\right)}$

Esim. Määritä

$f\left(x\right)=2x\ eli\ f'\left(x\right)=2\ ja\ g\left(x\right)=x^2+1\ eli\ g'\left(x\right)=2x$

$D\ \left(2x\left(x^2+1\right)\right)=2\left(x^2+1\right)+2x\cdot2x=2x^2+2+4x^2=6x^2+2$

$f\left(x\right)=x^4-2{,}\ f'\left(x\right)=4x^3{,}\ g\left(x\right)=x^4{,}\ g'\left(x\right)=4x^3$

$D\ \frac{x^4-2}{x^4}=\frac{4x^3\cdot x^4-\left(x^4-2\right)\cdot4x^3}{\left(x^4\right)^2}=\frac{4x^7-4x^7+8x^3}{x^8}=\frac{8x^3}{x^8}=\frac{8}{x^5}{,}\ x\ne0$

515

$\begin{cases} y=x^2\\ y=\frac{x^2+x}{3-x} \end{cases}$

Laskimella saadaan käyrien leikkauspisteet (0,0) ja (1,1)

Ratkaistaan leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet.

Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo leikkauspisteessä.

Olkoon

$f\left(x\right)=x^2$ ja

$g\left(x\right)=\frac{x^2+x}{3-x}{,}\ x\ne3$

$f'\left(x\right)=2x$

$g'\left(x\right)=\frac{\left(2x+1\right)\left(3-x\right)-\left(x^2+x\right)\left(-1\right)}{\left(3-1\right)^2}=\frac{-x^2+6x+3}{\left(3-x\right)^2}$

Lasketaan derivaattafunktioiden arvot leikkauspisteessä eli kun x = 0 ja x = 1

$f'\left(0\right)=0$
$g'\left(0\right)=\frac{3}{3^2}=\frac{1}{3}$
$f'\left(1\right)=2$
$g'\left(1\right)=\frac{-1^2+6\cdot1+3}{\left(3-1\right)^2}=2$

Pisteessä (0,0) tangenttien kulmakertoimet ovat erisuuret, joten leikkaavat toisensa

Pisteessä (1,1) tangenttien kulmakertoimet ovat samat eli käyrillä on yhteinen tangentti. Tällöin käyrät sivuavat toisiaan.

Kpl. 4.2

4.2 Polynomifunktion ääriarvot

Lause

Jatkuvalla funktiolla f on suurin ja pienin arvo suljetulla välillä [a, b],

Jos funktio f on lisäksi derivoituva välillä ]a, b[, niin suurin ja pienin arvo saavutetaan

a) välin päätepisteessä tai

b) välille kuuluvassa derivaatan nollakohdassa

Esim. Määritä funktion $f\left(x\right)=x^3+x^2-x+1$ pienin ja suurin arvo välillä [-2,0]

$f'\left(x\right)=3x^2+2x-1$

$f'\left(x\right)=0$
$3x^2+2x-1=0$
$x=-1\ tai\ x=\frac{1}{3}\left(laskin\right)$

Suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä tai välillä olevassa deriaatan nollakohdassa.

$f\left(-2\right)=\left(-2\right)^3+\left(-2\right)^2-\left(-2\right)+1=-8+4+2+1=-1$

$f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1=-1+1+1+1=2$

$f\left(0\right)=1$
V: Suurin arvo saavutetaan kohdassa x=-1 ja se on 2, pienin arvo saavutetaan kohdassa x=-2 ja se on -1

(Suurin arvo saautetaan pisteessä (1,2), pienin arvo saavutetaan pisteessä (-2,-1)

Määritelmä

Funktio f paikallinen minimikohta on a, jos funktion pienin arvo a:n lähiympäristössä on f(a).

Vastaavasti paikalllinen maksimi.

435.

$f\left(x\right)=3x^4-16x^3+18x^2+28$

$f'\left(x\right)=12x^3-48x^2+36x$

Derivaatan nollakohdat

$f'\left(x\right)=0$
$12x^3-48x^2+46x=0$

$x=0\ {,}\ x=1\ tai\ x=3\left(laskin\right)$

Tutkitaan derivaatan merkkiä testikohtien avulla.

$f'\left(-1\right)=12\cdot\left(-1\right)^3-48\left(-1\right)^2+36\cdot\left(-1\right)=-96<0$

$f'\left(0{,}5\right)=7{,}5>0$
$f'\left(2\right)=-24<0$

$f'\left(4\right)=144>0$

$\begin{array}{l|l} &&0&&1&&3&\\ \hline f'\left(x\right)&-&&+&&-&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow \end{array}$

Funktiolla on paikallinen maksimiarvo kohdassa x=1, joka on x=0 ja x=3 $f\left(1\right)=33$

Funktiolla on paikallinen minimiarvo kohdassa x=0 ja x=3. Minimiarvot ovat $f\left(0\right)=28\ ja\ f\left(3\right)=1$

Funktiolla ei olei suurinta arvoa, koska funktio on kasvava, kun x>3. Esim. $f\left(4\ \right)=60>33$ , joten funktio saa paikallista maksimiarvoaan suureoua arvija. Siispä x:n kasvaessa funktion arvo kasaa, eikä suurinta arvoa voida määrittää. Funktion pieni arvo on 1, joka saavutetaan kohdassa x=3

Funktiolla ei ole nollakohtia, koska funktion pienin arvo on positiivinen.

Kpl.2.3

2.3 Funktion jatkuvuus

Määritelmä

Funktio f on jatkuva kohdassa a, jos tässä kohdassa funktion f arvo on sama kuin funktion f raja-arvo. Toisin sanoen f on jatkuva kohdassa a, jos $f\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$

Funktion on oltava määritely kohdassa a (eli f(a) on olemassa).

Esim. Tutki onko $f\left(x\right)\begin{cases} 2x+1&{,}\ x\le2\\ 2x^2+\frac{1}{3}x-4&{,}\ x>2 \end{cases}$ jatkuva kohdassa 2

$f\left(2\right)=2\cdot2+1=5$

Lasketaan toispuoloeiset raja-arvot

Vasemmanpuoleinen raja-arvo on

$\lim_{x\rightarrow2-}f\left(x\right)=\left(2x+1\right)=2\cdot2+1=5$

$\lim_{x\rightarrow2+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2}\left(2x^2+\frac{1}{3}x-4\right)=8+\frac{2}{3}-4=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}$

Koska $\lim_{x\rightarrow2-}f\left(x\right)\ne\lim_{x\rightarrow2+}f\left(x\right)$ , niin raja-arvoa $\lim_{x\rightarrow2}f\left(x\right)$ ei ole olemassa. Siten funktion f(x) ei ole jatkuva kohdassa

Huom: Polynomi- ja rationaalifunktiot ovat AINA jatkuvia määrittelyjoukossaan.

Bolzanon lause:

Funktiolla on ainakin yksi nollakota voimella välillä ]a,b[, jos

- funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a,b]

- funktioarvot välin päätepisteissä ovay erimerkkiset

t.262

$f\left(x\right)=\frac{x^3-3x+1}{x^3-8}{,}\ x\ne2$ on nollakohta välillä ]0,3[

Kohta x=2 on välillä ]0,3[ eli f(x) ei ole määritelty, eikä myöskään jatkuva koko välillä ]0,3[

Tutkitaan onko funktiolla nollakohtaa jollakin osavälillä, johon ei sisälly kohta x=2

Valitaan väliksi ]1;1,9[

$f\left(1\right)=\frac{1^3-3+1}{1^3-8}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}>0$
$f\left(1{,}9\right)=\frac{1{,}9^3-3\cdot1{,}9+1}{1{,}9^3-8}=-1{,}892...\approx-1{,}89<0$

f(x) on jatkuva välillä [1;1,9] ja f(1)<0 ja f(1,9)<0, joten Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]1;1,9[ ja sitten myös välillä ]0,3[.

Kpl. 2.2

2.2 Toispuoliset raja-arvot

Määritelmä:

Jos funktion f arvo lähestyy lukua b, kun x lähestyy kohtaa a vasemmalta, niin b o funktion f vasemanpuoleinen raja-arvo kohdassa a.

$\lim_{x\rightarrow a-}f\left(x\right)=b$

Jos funktion f arvo lähestyy lukua c, kun x lähestyy kohtaa a oikealta, niin c on funktion f oikean puoleinen raja-arvo kohdassa a. Merkitään

$\lim_{x\rightarrow a+}f\left(x\right)=c$

Lause:

Funktiolla f on raja-arvo $\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b$ jossa sekä vaseman- että oikean puoleinen raja-arvo kohdassa x=a ovat olemassa ja $\lim_{x\rightarrow a-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a+}f\left(x\right)=b$

Esim. Tutki onko funktiolla

$f\left(x\right)=\begin{cases} -2x^2+1&{,}\ x<1\\ 5&{,}\ x=1\\ x-2&{,}\ x>1 \end{cases}$

raja-arvo kohdassa 1. Piittä kuvaaja

Vasemmanpuoleinen raja-arvo on

$\lim_{x\rightarrow1-}\left(-2x^2+1\right)=-2\cdot1^2+1=-1$

Oikeanpuoleinen raja-arvo on

$\lim_{x\rightarrow1+}\left(x-2\right)=1-2=-1$

$\lim_{x\rightarrow1-\ }f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=-1$

Kpl. 2.1

2.1 Funktion raja-arvo

Esim, Tutki, mitä lukua funktion $f\left(x\right)=\frac{3x^2-6x}{x-2}{,}\ x\ne2$ arvot lähestyvät, kun x lähestyy arvoa x=2

Lasketaan f(x):n arvoja, kun lähestyy lukua 2 alapuolelta ja yläpuolelta.

$\begin{array}{l|l} x&f\left(x\right)\\ \hline 1{,}9&5{,}7\\ 1{,}99&5{,}97\\ 1{,}999&5{,}997\\ 2{,}1&6.3\\ 2{,}01&6{,}03\\ 2{,}001&6{,}003 \end{array}$

V: Funktion arvot lähestyvät lukua 6, kun x lähestyy lukua 2.

Määritelmä:

Funktion f raja-arvo kohdassa a on luku b, jos funktion arv lähestyy lukua b, kun x lähestyy lukua a

$\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow a$

Edellä siis

$\lim_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=6\ tai\ f\left(x\right)\rightarrow6{,}\ kun\ x\rightarrow2$

Esim. Määritä raja-arvo, kun x→5

$f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x-2}{,}\ x\ne2$

$\lim_{x\rightarrow5}\frac{3x+2}{x-2}=\frac{3\cdot5+2}{5-2}=\frac{17}{3}$

$f\left(x\right)=\frac{-2x^2+10x}{x-5}\ x\ne5$

Sijoitetaan x=5 funktion lausekkeeseen

$\frac{-2\cdot5^2+10\cdot5}{5-5}=\frac{0}{0}$

Tulos tarkoittaa, että x=5 on sekä osoittajan että nimittäjän nollakohta. Sis sekä osoittaja että nimittäjällä on tekijä x-5, joten f(x):n lauseketta voi sieventää.

$\lim_{x\rightarrow5}\frac{-2x^2+10x}{x-5}=\lim_{x\rightarrow5}\frac{\left(x-5\right)\left(-2x\right)}{x-5}=\lim_{x\rightarrow5}-2x=-2\cdot5=-10$