Kpl. 2.2

2.2 Toispuoliset raja-arvot

Määritelmä:

Jos funktion f arvo lähestyy lukua b, kun x lähestyy kohtaa a vasemmalta, niin b o funktion f vasemanpuoleinen raja-arvo kohdassa a.

$\lim_{x\rightarrow a-}f\left(x\right)=b$

Jos funktion f arvo lähestyy lukua c, kun x lähestyy kohtaa a oikealta, niin c on funktion f oikean puoleinen raja-arvo kohdassa a. Merkitään

$\lim_{x\rightarrow a+}f\left(x\right)=c$

Lause:

Funktiolla f on raja-arvo $\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b$ jossa sekä vaseman- että oikean puoleinen raja-arvo kohdassa x=a ovat olemassa ja $\lim_{x\rightarrow a-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a+}f\left(x\right)=b$

Esim. Tutki onko funktiolla

$f\left(x\right)=\begin{cases} -2x^2+1&{,}\ x<1\\ 5&{,}\ x=1\\ x-2&{,}\ x>1 \end{cases}$

raja-arvo kohdassa 1. Piittä kuvaaja

Vasemmanpuoleinen raja-arvo on

$\lim_{x\rightarrow1-}\left(-2x^2+1\right)=-2\cdot1^2+1=-1$

Oikeanpuoleinen raja-arvo on

$\lim_{x\rightarrow1+}\left(x-2\right)=1-2=-1$

$\lim_{x\rightarrow1-\ }f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=-1$