5.1

$D\ x^n=nx^{n-1}{,}\ kun\ x\ne0\ ja\ n\in\mathbb{Z}$

Muista:

$x^{-k}=\frac{1}{x^k}{,}\ x\ne0$

Esim. Derivoi

$\frac{3}{x^3}{,}\ x\ne0$

$D\ \frac{3}{x^3}=D\ 3\cdot\frac{1}{x^3}=D\ 3x^{-3}=9x^{-4}=-9\cdot\frac{1}{x^4}=\frac{-9}{x^4}$

$\frac{x^4-2}{x^4}{,}\ x\ne0$

$D\ \frac{x^4-2}{x^4}=D\ \frac{x^4}{x^4}-\frac{2}{x^4}=D\ 1-\frac{2}{x^4}$
$=D\ 1-2x^{-4}=8x^{-5}=\frac{8}{x^5}$

Lause:
Olkoot f ja g derivoituvia. Tällöin

$D\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$

$D\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)^2\right)}$

Esim. Määritä

$f\left(x\right)=2x\ eli\ f'\left(x\right)=2\ ja\ g\left(x\right)=x^2+1\ eli\ g'\left(x\right)=2x$

$D\ \left(2x\left(x^2+1\right)\right)=2\left(x^2+1\right)+2x\cdot2x=2x^2+2+4x^2=6x^2+2$

$f\left(x\right)=x^4-2{,}\ f'\left(x\right)=4x^3{,}\ g\left(x\right)=x^4{,}\ g'\left(x\right)=4x^3$

$D\ \frac{x^4-2}{x^4}=\frac{4x^3\cdot x^4-\left(x^4-2\right)\cdot4x^3}{\left(x^4\right)^2}=\frac{4x^7-4x^7+8x^3}{x^8}=\frac{8x^3}{x^8}=\frac{8}{x^5}{,}\ x\ne0$

515

$\begin{cases} y=x^2\\ y=\frac{x^2+x}{3-x} \end{cases}$

Laskimella saadaan käyrien leikkauspisteet (0,0) ja (1,1)

Ratkaistaan leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet.

Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo leikkauspisteessä.

Olkoon

$f\left(x\right)=x^2$ ja

$g\left(x\right)=\frac{x^2+x}{3-x}{,}\ x\ne3$

$f'\left(x\right)=2x$

$g'\left(x\right)=\frac{\left(2x+1\right)\left(3-x\right)-\left(x^2+x\right)\left(-1\right)}{\left(3-1\right)^2}=\frac{-x^2+6x+3}{\left(3-x\right)^2}$

Lasketaan derivaattafunktioiden arvot leikkauspisteessä eli kun x = 0 ja x = 1

$f'\left(0\right)=0$
$g'\left(0\right)=\frac{3}{3^2}=\frac{1}{3}$
$f'\left(1\right)=2$
$g'\left(1\right)=\frac{-1^2+6\cdot1+3}{\left(3-1\right)^2}=2$

Pisteessä (0,0) tangenttien kulmakertoimet ovat erisuuret, joten leikkaavat toisensa

Pisteessä (1,1) tangenttien kulmakertoimet ovat samat eli käyrillä on yhteinen tangentti. Tällöin käyrät sivuavat toisiaan.