Kpl. 4.2

4.2 Polynomifunktion ääriarvot

Lause

Jatkuvalla funktiolla f on suurin ja pienin arvo suljetulla välillä [a, b],

Jos funktio f on lisäksi derivoituva välillä ]a, b[, niin suurin ja pienin arvo saavutetaan

a) välin päätepisteessä tai

b) välille kuuluvassa derivaatan nollakohdassa

Esim. Määritä funktion $f\left(x\right)=x^3+x^2-x+1$ pienin ja suurin arvo välillä [-2,0]

$f'\left(x\right)=3x^2+2x-1$

$f'\left(x\right)=0$
$3x^2+2x-1=0$
$x=-1\ tai\ x=\frac{1}{3}\left(laskin\right)$

Suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä tai välillä olevassa deriaatan nollakohdassa.

$f\left(-2\right)=\left(-2\right)^3+\left(-2\right)^2-\left(-2\right)+1=-8+4+2+1=-1$

$f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1=-1+1+1+1=2$

$f\left(0\right)=1$
V: Suurin arvo saavutetaan kohdassa x=-1 ja se on 2, pienin arvo saavutetaan kohdassa x=-2 ja se on -1

(Suurin arvo saautetaan pisteessä (1,2), pienin arvo saavutetaan pisteessä (-2,-1)

Määritelmä

Funktio f paikallinen minimikohta on a, jos funktion pienin arvo a:n lähiympäristössä on f(a).

Vastaavasti paikalllinen maksimi.

435.

$f\left(x\right)=3x^4-16x^3+18x^2+28$

$f'\left(x\right)=12x^3-48x^2+36x$

Derivaatan nollakohdat

$f'\left(x\right)=0$
$12x^3-48x^2+46x=0$

$x=0\ {,}\ x=1\ tai\ x=3\left(laskin\right)$

Tutkitaan derivaatan merkkiä testikohtien avulla.

$f'\left(-1\right)=12\cdot\left(-1\right)^3-48\left(-1\right)^2+36\cdot\left(-1\right)=-96<0$

$f'\left(0{,}5\right)=7{,}5>0$
$f'\left(2\right)=-24<0$

$f'\left(4\right)=144>0$

$\begin{array}{l|l} &&0&&1&&3&\\ \hline f'\left(x\right)&-&&+&&-&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow \end{array}$

Funktiolla on paikallinen maksimiarvo kohdassa x=1, joka on x=0 ja x=3 $f\left(1\right)=33$

Funktiolla on paikallinen minimiarvo kohdassa x=0 ja x=3. Minimiarvot ovat $f\left(0\right)=28\ ja\ f\left(3\right)=1$

Funktiolla ei olei suurinta arvoa, koska funktio on kasvava, kun x>3. Esim. $f\left(4\ \right)=60>33$ , joten funktio saa paikallista maksimiarvoaan suureoua arvija. Siispä x:n kasvaessa funktion arvo kasaa, eikä suurinta arvoa voida määrittää. Funktion pieni arvo on 1, joka saavutetaan kohdassa x=3

Funktiolla ei ole nollakohtia, koska funktion pienin arvo on positiivinen.