Kertaus

13.

Funktio on jatkuvajos

$f\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$

a) lasketaan funktion raja-arvo kohdassa x=5
$f\left(x\right)\begin{cases} x^3-121&{,}kun\ x<5\\ \frac{x^3+x^2}{x^4-2x}&{,}kun\ x>5 \end{cases}$ $f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow5-}\left(x^3-121\right)=5^3-121=4$
$f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow5+}\left(\frac{x^3+x^2}{x^4-2x}\right)=\frac{5^3+5^2}{5^4-2\cdot5}=\frac{1}{4}$

koska $4\ne\frac{1}{4}$ , joten funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa x=5

Siten funktiota ei saada jatkuvaksi kohdsassa x=5

$f\left(x\right)=\frac{x-5}{50-2x^2}{,}x\ne\pm5$

$\lim_{x\rightarrow5}\left(\frac{x-5}{50-2x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow5}\frac{x-5}{-2\left(x^2-25\right)}=\frac{x-5}{-2\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=\lim_{x\rightarrow5}\frac{1}{-2\left(x+5\right)}=\frac{1}{-2\left(5+5\right)}=\frac{1}{-20}$

Valitsemalla $f\left(5\right)=-\frac{1}{20}$ saadaan funktio jatkuvaksi kohdassa x=5

$h'\left(3\right)=\lim_{x\rightarrow3}\frac{h\left(x\right)-h\left(3\right)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\left(x^2-2x+1\right)-\left(3^2-2\cdot3+1\right)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-2x+1-9+6-1}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-2x-3}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{x-3}=x+1=3+1=4$