Kpl.2.3

2.3 Funktion jatkuvuus

Määritelmä

Funktio f on jatkuva kohdassa a, jos tässä kohdassa funktion f arvo on sama kuin funktion f raja-arvo. Toisin sanoen f on jatkuva kohdassa a, jos $f\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$

Funktion on oltava määritely kohdassa a (eli f(a) on olemassa).

Esim. Tutki onko $f\left(x\right)\begin{cases} 2x+1&{,}\ x\le2\\ 2x^2+\frac{1}{3}x-4&{,}\ x>2 \end{cases}$ jatkuva kohdassa 2

$f\left(2\right)=2\cdot2+1=5$

Lasketaan toispuoloeiset raja-arvot

Vasemmanpuoleinen raja-arvo on

$\lim_{x\rightarrow2-}f\left(x\right)=\left(2x+1\right)=2\cdot2+1=5$

$\lim_{x\rightarrow2+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2}\left(2x^2+\frac{1}{3}x-4\right)=8+\frac{2}{3}-4=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}$

Koska $\lim_{x\rightarrow2-}f\left(x\right)\ne\lim_{x\rightarrow2+}f\left(x\right)$ , niin raja-arvoa $\lim_{x\rightarrow2}f\left(x\right)$ ei ole olemassa. Siten funktion f(x) ei ole jatkuva kohdassa

Huom: Polynomi- ja rationaalifunktiot ovat AINA jatkuvia määrittelyjoukossaan.

Bolzanon lause:

Funktiolla on ainakin yksi nollakota voimella välillä ]a,b[, jos

- funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a,b]

- funktioarvot välin päätepisteissä ovay erimerkkiset

t.262

$f\left(x\right)=\frac{x^3-3x+1}{x^3-8}{,}\ x\ne2$ on nollakohta välillä ]0,3[

Kohta x=2 on välillä ]0,3[ eli f(x) ei ole määritelty, eikä myöskään jatkuva koko välillä ]0,3[

Tutkitaan onko funktiolla nollakohtaa jollakin osavälillä, johon ei sisälly kohta x=2

Valitaan väliksi ]1;1,9[

$f\left(1\right)=\frac{1^3-3+1}{1^3-8}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}>0$
$f\left(1{,}9\right)=\frac{1{,}9^3-3\cdot1{,}9+1}{1{,}9^3-8}=-1{,}892...\approx-1{,}89<0$

f(x) on jatkuva välillä [1;1,9] ja f(1)<0 ja f(1,9)<0, joten Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]1;1,9[ ja sitten myös välillä ]0,3[.