Tehtävät

Teksti

439

$28$

$h=\frac{4-\left(-2\right)}{3}=2$

$\int_{-2}^4\left(x^2-3x+3\right)dx=2\left(\frac{1}{2}f\left(-2\right)+f\left(0\right)+f\left(2\right)+\frac{1}{2}f\left(4\right)\right)=2\left(6{,}5+3+1+3{,}5\right)=28$

442

$\int_0^2f\left(x\right)dx=0{,}5\left(\frac{1}{2}f\left(0\right)+f\left(0{,}5\right)+f\left(1\right)+f\left(1{,}5\right)+\frac{1}{2}f\left(2\right)\right)=\frac{\left(1+1-3-5-3\right)}{2}=-4{,}5$

$\int_0^2f\left(x\right)dx=\frac{0{,}5}{3}\left(f\left(0\right)+4f\left(0{,}5\right)+2f\left(1\right)+4f\left(1{,}5\right)+f\left(2\right)\right)=\frac{0{,}5}{3}\left(2+4-6-20-6\right)=-4{,}33333...\approx-4{,}3$

Kpl 4.1

401

a) 13,23

b) Pienempi

403

3.1, vähittäin 91 osaväliä

408

$A\approx21{,}5$

411

$A\approx16{,}5$

405.

$f\left(x\right)=-x^2+8x-7$

Lasketaan kuvaajan ja x-akselin leikkauskodat.

$-x^2+8x-7=0$

$x=1\ tai\ x=7\ \left(laskin\right)$

Suorakulmioita on 3 kpl eli n=3

Yhden osavälin pituus eli suorakulmion leveys on

$h=\frac{7-1}{3}=\frac{6}{3}=2$

Osavälit ovat [1,3] [3,5] [5,7].

Osavälien keskipisteet ovat

$\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$

$\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$

$\frac{5+7}{2}=6$

Suorakulmion korkeudet ovat fubktiob arvot välien keskpisteissä eli

$f\left(2\right){,}\ f\left(4\right)\ ja\ f\left(6\right)$
$A\approx2f\left(2\right)+2f\left(4\right)+2f\left(6\right)=38$

421

$f\left(0\right)=-5{,}\ f\left(2\right)=-9{,}\ f\left(4\right)=-5$

a) Kuvaaja on x.akselin alapuolella, joten suorakulmioiden korkeudet ovat funktion arvojen vastalukuja. Suorakulmioiden leveys on 2.

$A\approx2\left(-f\left(0\right)-f\left(2\right)-f\left(4\right)\right)=2\left(5+9+5\right)=38$

b) Määrätty integraali on negatiivinen, koska kuvaaja on x-akselin alapuolella.

$\int_{-1}^5x\left(dx\right)\approx-A=-38$

423

$\int_0^2f\left(x\right)dx=-A2=-2$

$\int_{-2}^3f\left(x\right)dx=A1-A2+A3=4\frac{1}{3}-2+\frac{1}{2}=2\frac{5}{6}$

$\int_{-2}^3\left|f\left(x\right)\right|dx=A1+A2+A3=6\frac{5}{6}$

426

$-0{,}52$

427

$A\left[0{,}\pi\right]\approx3{,}28987$
$A\left[\pi{,}2\pi\right]\approx-9.67144$

$h_1=\frac{\pi-0}{2}=\frac{\pi}{2}$

$A_1\approx\frac{\pi}{2}f\left(\frac{\pi}{2}\right)\approx2.467$
$h_2=\frac{\ 2\pi-\pi}{2}=\pi$
$A_2\approx\pi f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=$

3.2 Numerinen derivointi

322

$h=-0{,}5;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(1+\left(-0{,}5\right)\right)-f\left(1\right)}{-0{,}5}=\frac{65-55}{-0{,}5}=-20\ \frac{°C}{\min}=20\ \frac{°C}{\min}$

$h=0{,}5;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(1+\left(0{,}5\right)\right)-f\left(1\right)}{0{,}5}=\frac{47-55}{0{,}5}=\frac{-8}{0{,}5}=-16\ \frac{°C}{\min}=16\ \frac{°C}{\min}$

$h=-0{,}5;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(2+\left(-0{,}5\right)\right)-f\left(2\right)}{-0{,}5}=\frac{47-40}{-0{,}5}=-14\ \frac{°C}{\min}=14\ \frac{°C}{\min}$
$h=0{,}5;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(2+\left(0{,}5\right)\right)-f\left(2\right)}{0{,}5}=\frac{36-40}{0{,}5}=\frac{-4}{0{,}5}=-8\ \frac{°C}{\min}=8\ \frac{°C}{\min}$
c)

$h=-0{,}5;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(4+\left(-0{,}5\right)\right)-f\left(4\right)}{-0{,}5}=\frac{30-28}{-0{,}5}=-4\ \frac{°C}{\min}=4\ \frac{°C}{\min}$
$h=0{,}5;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(4+\left(0{,}5\right)\right)-f\left(4\right)}{0{,}5}=\frac{27-28}{0{,}5}=\frac{-1}{0{,}5}=-2\ \frac{°C}{\min}=2\ \frac{°C}{\min}$

324

$h=0{,}1;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a-h\right)}{2h}\approx0.66816$

$h=0{,}01;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a-h\right)}{2h}\approx0.67104$

$h=0{,}001;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a-h\right)}{2h}\approx0.67107$

325

$h=0{,}5;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a-h\right)}{2h}=\frac{3.5-2.4}{1}=1.1\ \frac{m}{s}$

326

$h=0{,}1;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(2+0{,}1\right)-f\left(2\right)}{0{,}1}=7.49638...\approx7.4964$

$h=0{,}01;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(2+0{,}01\right)-f\left(2\right)}{0{,}01}=6.840402...\approx6.8404$

$h=0{,}001;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(2+0{,}001\right)-f\left(2\right)}{0{,}001}=6.77932...\approx6.7793$

$h=-0{,}1;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(2+\left(-0{,}1\right)\right)-f\left(2\right)}{-0{,}1}=6.14429...\approx6.1443$
$h=-0{,}01;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(2+\left(-0{,}01\right)\right)-f\left(2\right)}{-0{,}01}=6.70572...\approx6.7057$
$h=-0{,}001;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(2+\left(-0{,}001\right)\right)-f\left(2\right)}{-0{,}001}=6.76585...\approx6.7659$

$h=0{,}1;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a-h\right)}{2h}\approx6.8203$
$h=0{,}01;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a-h\right)}{2h}\approx6.7731$

$h=0{,}001;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a-h\right)}{2h}\approx6.7726$ ¨

$f'\left(2\right)\approx6.77259$

329

$h=0{,}1;\ \approx-0.3466$
$h=0{,}01;\ \approx-0.3466$
$h=0{,}001;\ \approx-0.3466$

$f'\left(x\right)=2^{-x}\cdot\left(-\ln2\right)$
$f'\left(1\right)=2^{-1}\cdot\left(-\ln2\right)=−0.34657...\approx-0{,}3466$

331

Raja-arvo ei ole

332

$f\left(x\right)=e^x$

$f'\left(x\right)=e^x$

$f'\left(2\right)=e^2$

333

$h=-0{,}1;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(0+\left(-0{,}1\right)\right)-f\left(0\right)}{-0{,}1}\approx−1.0488$

$h=0{,}1;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\frac{f\left(0+0{,}1\right)-f\left(0\right)}{0{,}1}\approx0.9487$

$h=0{,}1;\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a-h\right)}{2h}\approx-0.0501$

Ei näytä oleva derivoituva

340

$f'\left(0.5\right)\approx0.877586521890373$

$p=3;\ \approx0.877582415626633$

$p=4;\ \approx0.877582560427638$

$p=5;\ \approx0.87758256187287$
$p=6;\ \approx0.87758256189785$

$p=7;\ \approx0.877582561620295$

$p=8;\ \approx0.877582562175406$

$p=9;\ \approx0.877582562175405$

$p=10;\ \approx0.877582451153103$

3.1 Derivaatan ja derivoituvuuden tarkastelua

301

a) 1

b) 0,25

c) -2

d) 0

302
I, IV

303

$f'\left(x\right)=4x-1$

$f'\left(3\right)=4\cdot3-1=11$

$f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f\left(3+h\right)-f\left(3\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{2\cdot\left(3+h\right)^2-\left(3+h\right)-15}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{2\cdot\left(9+5h+h^2\right)-3+h-15}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{2h^2+11h}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(2h+11\right)=2\cdot0+11=11$

304

I Ei

II Ei

III Kyllä

IV Ei

305

$5h^2-30h+65$

$f'\left(1\right)=65$

$f'\left(t\right)=15t^2-90t+140$

$f'\left(1\right)=15-90+140=65$

306

$f\left(x\right)=-\left(x-3\right)^2$

$f'\left(x\right)=-x^2+6x-9=-2x+6$
$f'\left(-2\right)=-2\cdot\left(-2\right)+6=10$

307

$f'\left(x\right)=-2x$

$f'\left(x\right)=-2\left(-2\right)=4$

$f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f\left(-2+h\right)-f\left(-2\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{\left(1-\left(-2+h\right)^2-\left(1-4\right)\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{\left(1-\left(h^2-4h+4\right)\right)+3}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{4-\left(h^2-4h+4\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(4-h-4+4\right)=4-0-4+4=4$

308

$f\left(x\right)=x^2+x-1$

$f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0^-}\left(\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^-}\left(\frac{\left(\left(1+h\right)^2+\left(1+h\right)-1\right)-1}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^-}\left(\frac{\left(\left(h^2+2h+1\right)+\left(1+h\right)-1\right)-1}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^-}\left(\frac{h^2+3h+2-1-1}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^-}\left(h+3+2-1-1\right)=0+3+2-2=3$

$f\left(x\right)=-x^2+5x-3$

$\lim_{h\rightarrow0^+}\left(\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^+}\left(\frac{\left(-\left(1+h\right)^2+5\cdot\left(1+h\right)-3\right)-\left(-1+5-3\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^+}\left(\frac{\left(-\left(h^2+2h+1\right)+5+5h-3\right)-1}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^+}\left(\frac{-h^2-2h+5h-1+5-3-1}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^+}\left(\frac{-h^2+3h}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^+}\left(-h+3\right)=-0+3=3$

$k=3$

$y_0=1$
$x_0=1$

$\left(y-y_0\right)=k\left(x-x_0\right)$

$y-1=3x-3$
$y=3x-2$

309

$f\left(x\right)=2x+1$

$\lim_{h\rightarrow0^-}^{ }\left(\frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^-}^{ }\left(\frac{\left(2\cdot\left(-1+h\right)+1\right)+1}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^-}^{ }\left(\frac{-2+2h+1+1}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^-}^{ }\left(\frac{2h}{h}\right)=2$

$f\left(x\right)=x^2+3x+1$

$\lim_{h\rightarrow0^+}\left(\frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^+}\left(\frac{\left(\left(-1+h\right)\right)^2+3\cdot\left(-1+h\right)+1-\left(-1-3+1\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^+}\left(\frac{\left(h^2-2h+1\right)+3h-3+1+1+3-1}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^+}\left(\frac{h^2-2h+3h-2}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^+}\left(\frac{h^2+h-2}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0^+}\left(h+1-2\right)=0+1-2=-1$
$-1\ne2$

Ei ole

310

2.3 Kiintopistemenetelmä ja iterointi

251

$x\approx1{,}15447$

$x\approx7.38906$

252

$x\approx1{,}17951$

254

$x\approx2{,}83809$

257

$g\left(x\right)=-x-3$

$x=-x-3$
$2x=-3$
$x=-\frac{3}{2}$

264

$f'\left(x\right)=3x^2-2$

$x^3-2x-5=0$
$x^3=2x+5$

$x=\sqrt[3]{2x+5}$

$x\approx2{,}0946$

265

a) Funktio on kasvava eli sillä on korkeitaan yksi ratkaisu

Bolzanon lauseen nojalla voidaan oleta, että välillä ]0,2[ on ainakin yksi nollakohta.
b)
Neljäs

267

$x\approx3{,}146$

$x\approx1{,}343467$

272

yhdistetään funktiot, saadan funktio h(x)

$h\left(x\right)=3\cos x-1+x$

Kuvan kautta voidaan ottaa 3 alkuarvausta, ja niiden avulla voidaan laskea nollakohtien x-koordnaatit

Kun x-koordinaatit on laskettu, voidaan niitä sijoita funktioon f(x) tai g(x), saadaan niiden y-koortit

Leikkauspisteet ovat

$x\approx-0{,}8894704{,}\ y=1.8894704$ $\left(-0{,}89;1{,}89\right)$

$x\approx1{,}8623649{,}\ y=−0.8623649$ $\left(1{,}86;-0{,}86\right)$

$x\approx3{,}6379580{,}\ y=−2.637958$ $\left(3{,}64;-2{,}64\right)$

2.2 Newtonin menetelmä

229
$x\approx-0{,}70347$

230

231
x=1.109956 or x=3.35302 or x=5.50089

232
a)
$x\approx2{,}0$
b)
$x\approx2{,}0$
c)
ei mikään

233

Annettu alkuarvo ei toimi, otetaan uudeksi alkuarvoksi luku 3

$x\approx2{,}76929$

Annettu alkuarvo ei toimi, otetaan uudeksi alkuarvoksi luku

$x\approx4{,}02752$

234
Funktio on kasvava eli sillä on korkeitaan yksi ratkaisu

Lasketaan funktion ratkaisut välin pätepisteessä 0 ja 1

jos tuloksien merkit vaihtuu, funktio noudataa Bolzanon lausetta, tällöin funktiolla on nollakohta avoimella välillä ]0,1[

$f\left(0\right)=-2$

$f\left(1\right)=1$

Kun alkuarvaus1, tulos on 0,83512, ei muita ratkaisuja.

235
a) 3

b) 5

236
$\approx-0{,}4425$

237

$\sin\left(x\right)+2x=3$

$\sin\left(x\right)+2x-3=0$

Merkitään

$f\left(x\right)=\sin x+2x-3$

Tutkitaan onko funktiolla f enemmän kuin yksi nollakohta

Funktio f on jatkuva kaikkialla

Tutkitaan funktion f kulkua deravaatan avulla

$f'\left(x\right)=\cos x+2$

Tiedetään, että

$-1\le\cos x\le1\ \parallel+2$

$1\le\cos x+2\le3$

Derivaattafunktio $f'\left(x\right)\ge1$ , jolloin funktio f on kasvava. Siten funktiolla f voi korkeintaan olla yksi nollakohta

Newtonin menetelmällä saatava likiarvo on siten funktion f ainoan nollakohdan likiarvo.

Newtonin menetelmän rekursiokaava

$x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f'\left(x_n\right)}$

Käytetään alkuarvoa

$x_1=1$

$x_2=x_1-\frac{f\left(x_1\right)}{f'\left(x_1\right)}=1-\frac{f\left(1\right)}{f'\left(1\right)}=1-\frac{\sin1+2\cdot1-3}{\cos1+2}=1{,}062405$

Lasketaan nollakohdalle likiarvot taulukkolaskentaohjelmalla

Nollakohta 5 desimaalin tarkkuudella on $x\approx1{,}06307$

Tarkistetaan, että näin on

Välillä ]1,063065;1,063075[ olevat luvut pyöristyvät 5 desimaalin tarkkuudella luvuksi 1,06307

$f\left(1{,}063065\right)<0$ ja

$f\left(1{,}063075\right)>0$

Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on nollakohta kysesellä välillä ja se on $x\approx1{,}06307$

238
$x_0=2$ on funktion $2x^3-4x^2-8x+1$ derivaatan nollakohta

$x=0{,}1184$

$x=3{,}2009$

$x=-1{,}3193$

239

$e^x+ex$
yksi nollakohta

$x\approx-0{,}278465$

$\ln x-1$
yksi nollakohta

$x\approx2{,}718281$

241

$x\approx0{,}1612058$

$x\approx1{,}1418905$

242

2.1 Haarukointi ja ratkaisujen lukumäärä

201

1,8; 1,9; 2,0

202

$\approx2{,}4$

$\approx2{,}6$

203

Lasketaan funktion derivaatta nollakohdat

$f'\left(x\right)=3x^2+3$

$3x^2+3=0$

$3x^2=-3$
$x^2=-1$

Ei ratkaisua

Tämä tarkoittaa sitä että funktiolla ei ole missään paikassa maksimipistettä

Lasketaan funktion nollakohdat

Bolaznon lauseen nojalla voidaan testaa testipisteiden avulla, että joko funktio on kasvava tai laskeva

$\begin{array}{l|l} &&-0{,}817...&\\ \hline f\left(x\right)&-&&+\\ &&\ \ \ \ \nearrow& \end{array}$

Näin voidaan oleta, että funktio on kasvava

Laskettiin entisessä vaiheessa funktion nollakota

eli -1<-0,817732<0

$\approx0{,}82$

204
$x\approx0{,}16$

205

1.4 Polynomi yhtälön ratkaiseminen

162

Koska f(4)=0, niin olynomi on jaollinen binomilla x-4
Lasketaa jakolasku $\frac{f\left(x\right)}{x-4}$ jakoalgoritmilla

$\begin{array}{l|l} &3x^2+x-2\\ \hline x-4&3x^3-11x^2-6x+8\\ -&\left(3x^3-12x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-6x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x^2-4x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -2x+8\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-2x+8\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

Lasketaan nollakohdat

$3x^2+x-2=0$
$x=\frac{-1\pm\sqrt[]{1^2-4\cdot3\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot3}=\frac{-1\pm\sqrt[]{25}}{6}=\frac{-1\pm5}{6}$
$x=\frac{-1+5}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$tai$
$x=\frac{-1-5}{6}=-1$

163

Koska f(3)=0, niin olynomi on jaollinen binomilla x-3

Lasketaa jakolasku $\frac{f\left(x\right)}{x-3}$ jakoalgoritmilla

$\begin{array}{l|l} &-x^2-x+2\\ \hline x-3&-x^3+2x^2+5x-6\\ -&\left(-x^3+3x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+5x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-x^2+3x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x-6\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(2x-6\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

Lasketaan nollakohdat

$-x^2-x+2=0$

$x=\frac{1\pm\sqrt[]{\left(-1\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot2}}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{1\pm\sqrt[]{9}}{-2}=\frac{1\pm3}{-2}$
$x=\frac{1+3}{-2}=\frac{4}{-2}=-2$
$tai$
$x=\frac{1-3}{-2}=\frac{-2}{-2}=1$

164
a) kolme
b)

$\pm1{,}\pm2{,}\pm4{,}\pm8$

171
a)

$6x^3-13x^2+4=0$

Nimitään $P\left(x\right)=6x^3-13x^2+4=0$
Etsitään yhtälölle P(x)=0 jokin kokonaislukuratkaisu. Jos yhtälöllä on kokonaislukuratkaisuja, ne löydetään sijoittamalla yhtälöön vakiotermin -6 tekijöitä ±1 ±2 ±4

$P\left(1\right)=6\cdot1^3-13\cdot1^2+4=6-13+4=-3$

$P\left(-1\right)=6\cdot\left(-1\right)^3-13\cdot\left(-1\right)^2+4=-6-13+4=-15$
$P\left(2\right)=6\cdot2^3-13\cdot2^2+4=48-52+4=0$

Koska P(2)=0, niin olynomi on jaollinen binomilla x-2
Lasketaa jakolasku $\frac{P\left(x\right)}{x-2}$ jakologaritmilla

$\begin{array}{l|l} &6x^2+x-2\\ \hline x-2&6x^3-13x^2+0x+4\\ -&\left(6x^3-12x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2+0x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x^2-2x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -2x+4\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-2x+4\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(6x^2+x-2\right)$
Nimitään $s\left(x\right)=6x^2+x-2$

$a=6{,}\ b=1{,}\ x=-2$

$u\cdot v=-12\ ja\ u+v=1$

$u=-3\ ja\ v=4$

Jaetaan polynomi g(x) tekijöihin ryhmittelemällä.

$s\left(x\right)=\left(6x^2-3x\right)+\left(4x-2\right)=3x\left(2x-1\right)+2\left(2x-1\right)=\left(3x+2\right)\left(2x-1\right)=0$

Ratkaistaan yhtälö P(x)=0 tulon nollasäännöllä
$P\left(x\right)=\left(3x+2\right)\left(2x-1\right)$

$3x+2=0$

$3x=-2$
$x=-\frac{2}{3}$

tai
$2x-1=0$
$2x=1$
$x=\frac{1}{2}$

V: $x=\frac{1}{2}$ , $x=-\frac{2}{3}$ . $x=2$

$2x^5-2x^4-x^3-3x^2-6x=0$

$x\left(2x^4-2x^3-x^2-3x-6\right)=0$
$x=0$
$tai$

Nimitään $P\left(x\right)=2x^4-2x^3-x^2-3x-6$

Etsitään yhtälölle P(x)=0 jokin kokonaislukuratkaisu. Jos yhtälöllä on kokonaislukuratkaisuja, ne löydetään sijoittamalla yhtälöön vakiotermin -6 tekijöitä ±1 ±2 ±3 ±6
$P\left(1\right)=2\cdot1^4-2\cdot1^3-1^2-3\cdot1-6=-10$

$P\left(-1\right)=2+2-1+3-6=0$

Koska P(-1)=0, niin olynomi on jaollinen binomilla x+1

Lasketaa jakolasku $\frac{P\left(x\right)}{x+1}$ jakologaritmilla

$\begin{array}{l|l} &2x^3-4x^2+3x-6\\ \hline x+1&2x^4-2x^3-x^2-3x-6\\ -&\left(2x^4+2x^3\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ -4x^3-x^2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-4x^3-4x^2\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x^2-3x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(3x^2+3x\right)\\ &---------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -6x-6\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-6x-6\right)\\ &-----------------\\ \ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(2x^3-4x^2+3x-6\right)$

Nimitään $s\left(x\right)=\left(2x^3-4x^2\right)+\left(3x-6\right)$
Jaetaan polynomi g(x) tekijöihin ryhmittelemällä.
$s\left(x\right)=2x^2\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2+3\right)$

Ratkaistaan yhtälö P(x)=0 tulon nollasäännöllä

$P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(2x^2+3\right)$

$x+1=0$
$x=-1$
$x-2=0$
$x=2$
$2x^2+3=0$
$2x^2=-3$
$x^2=-\frac{3}{2}$

Ei ratkaisua

V: x=0, x=-1, x=2

1.3 Polynomien jakoalgoritmi

141

$\begin{array}{l|l} &3x^2+3x+1\\ \hline x+5&3x^3+18x^2+16x+5\\ -&\left(3x^3+15x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x^2+16x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(3x^2+15x\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+5\\ -\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x+5\right)\ \\ &-------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\ & \end{array}$

$\begin{array}{l|l} &x^2-2x+1\\ \hline x-2&x^3+0x^2-3x-2\\ -&\left(x^3-2x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ -2x^2-3x\\ -\ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \left(-2x^2+4x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x-2\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l|l} &x^2-x+2\\ \hline 3x^2-2x&3x^4-5x^3+8x^2-4x+2\\ -&\left(3x^4-2x^3\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -3x^3+8x^2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \left(-3x^3+2x^2\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^2-4x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x^2-4x\right)\\ &--------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \end{array}$

$x^2-x+2+\frac{2}{3x^2-2x}$

142

I, II, IV

143

A II

B I

C Ei mikään

D III

144

$P\left(3\right)=-2\cdot3^3+5\cdot3^2+6\cdot3-9=-54+45+18-9=-6\cdot9+5\cdot9+2\cdot9-1\cdot9=9\left(-6+5+2-1\right)=0$

On jaollinen

$\begin{array}{l|l} &-2x^2-x+3\\ \hline x-3&-2x^3+5x^2+6x-9\\ -&\left(-2x^3+6x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+6x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-x^2+3x\right)\\ &----------\\ \ \ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x-9\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(3x-9\right)\\ &-------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$P\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(-2x^2-x+3\right)$

$\begin{array}{l|l} &x-3\\ \hline -2x^2-x+3&-2x^3+5x^2+6x-9\\ -&\left(-2x^3-x^2+3x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^2+3x-9\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x^2+3x-9\right)\ \ \\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$P\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(-2x^2-x+3\right)$

145

$\begin{array}{l|l} &x^2-x+2\\ \hline -3x+2&-3x^3+5x^2-8x+4\\ -&\left(-3x^3+2x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x^2-8x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(3x^2-2x\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -6x+4\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-6x+4\right)\ \\ &-------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$-3x^3+5x^2-8x+4=\left(-3x+2\right)\left(x^2-x+2\right)$

$\begin{array}{l|l} &x^2-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\\ \hline -3x&-3x^3+5x^2-8x+4\\ -&-3x^3\\ &-----\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x^2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x^2\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -8x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -8x\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4 \end{array}$

$-3x^3+5x^2-8x+4=\left(-3x\right)\left(x^2-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+4$

146

$\begin{array}{l|l} &-x^2+2x+3\\ \hline 2x+3&-2x^3+x^2+12x+9\\ -&\left(-2x^3-3x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x^2+12x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(4x^2+6x\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x+9\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x+9\right)\\ &-------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$V:\ -x^2+2x+3$

147

$P\left(x\right)=2x^3-5x^2+3x-2$

$P\left(-1\right)=2\cdot\left(-1\right)^3-5\cdot\left(-1\right)^2+3\cdot\left(-1\right)-2=-2-5-3-2=-12$
$P\left(2\right)=2\cdot2^3-5\cdot2^2+3\cdot2-2=16-20+6-2=0$

$On\ jaollinen\ \left(x-2\right):lla$

$\begin{array}{l|l} &2x^2-x+1\\ \hline x-2&2x^3-5x^2+3x-2\\ -&\left(2x^3-4x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+3x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \left(-x^2+2x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x-2\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2-x+1\right)$

$P\left(x\right)=6x^3+7x^2-1$
$P\left(-1\right)=6\cdot\left(-1\right)^3+7\cdot\left(-1\right)^2-1=-6+7-1=0$
$P\left(2\right)=6\cdot2^3+7\cdot2^2-1=48+28-1=76-1=75$
$On\ jaollinen\ \left(x+1\right):llä$
$\begin{array}{l|l} &6x^2+x-1\\ \hline x+1&6x^3+7x^2+0x-1\\ -&\left(6x^3+6x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2+0x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x^2+x\right)\\ &---------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x-1\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-x-1\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

148

$P\left(x\right)=2x^3-x^2+4x+k$

$P\left(-2\right)=2\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)^2+4\cdot\left(-2\right)+k$
$2\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)^2+4\cdot\left(-2\right)+k=0$
$-16-4-8+k=0$
$-28+k=0$
$k=28$

$\begin{array}{l|l} &2x+1^{ }\\ \hline x^2+2&2x^3-x^2+4x+k\\ -&\left(2x^3+0x^2+4x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+k\\ -\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x^2+2\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$k=-2$

149

$\begin{array}{l|l} &x^2+2\\ \hline x^2-x&x^4-x^3+2x^2-2x+1\\ -&\left(x^4-x^3\right)\\ &------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x^2-2x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(2x^2-2x\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \end{array}$

$x^4-x^3+2x^2-2x+1=\left(x^2-x\right)\left(x^2+2\right)+1$

150

$\left(x^2+1\right)\left(3x^2-1\right)+2x=3x^4-x^2+3x^2-1+2x=3x^4+2x^2+2x-1$

151

$Koska\ 2\cdot2-4=0{,}\ jakossa\ tapahtuu\ sijoitamisen\ jälkeen\ nollalla\ jakaamista$

Tällöin voidaan hyödyntää hopitalin sääntöä

$\lim_{x\rightarrow2}\left(\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\right)=\frac{-6x^2-8x+18}{2}=\frac{-6\cdot2^2-8\cdot2+18}{2}=\frac{-24-16+18}{2}=-11$

152

$\begin{array}{l|l} &x^2+3\\ \hline 3x-2&3x^3-2x^2+kx-6\\ -&\left(3x^3-2x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ kx-6\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(9x-6\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$k=9$

$\begin{array}{l|l} &2x-1\\ \hline x^2-3&2x^3-x^2-6x+k\\ -&\left(2x^3+0x-6x\right)\\ &---------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+k\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-x^2+3\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$k=3$

153

$-2x^3-x^2+4x-1=Q\left(x\right)\cdot\left(-2x^2-5x-11\right)-34$

$-2x^3-x^2+4x+33=Q\left(x\right)\cdot\left(-2x^2-5x-11\right)$

$\begin{array}{l|l} &x-3\\ \hline -2x^2-5x-11&-2x^3+x^2+4x+33\\ -&\left(-2x^3-5x^2-11x\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^2+15x-33\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x^2+15x+33\right)\\ &--------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

154

$\begin{array}{l|l} &12x^2-10x+2\\ \hline x+3&12x^3+26x^2-28x+6\\ -&\left(12x^3+36x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -10x^2-28x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-10x^2-30x\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x+6\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(2x+6\right)\\ &--------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$12x^2-10x+2$

$a=12{,}\ b=-10{,}\ c=2$
$u\cdot v=24\ ja\ u+v=-10$
$1{,}2{,}3{,}4{,}6{,}8{,}12{,}24$
$u=-4\ ja\ v=-6$
$\left(12x^2-4x\right)+\left(-6x+2\right)=4x\left(3x-1\right)-2\left(3x-1\right)=\left(4x-2\right)\left(3x-1\right)$

$\frac{4x-2}{4}=x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$\frac{3x-1}{3}=x-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

155

$\begin{array}{l|l} &2x^3-5x^2-x+6\\ \hline x+1&2x^4-3x^3-6x^2+5x+6\\ -&\left(2x^4+2x^3\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -5x^3-6x^2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \left(-5x^3-5x^2\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+5x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-x^2-x\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x+6\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x+6\right)\\ &---------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l|l} &2x^2-7x+6\\ \hline x+1&2x^3-5x^2-x+6\\ -&\left(2x^{^3}+2x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -7x^2-x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \left(-7x^2-7x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x+6\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x+6\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$2x^2-7x+6=0$

$x=\frac{7\pm\sqrt[]{\left(-7\right)^2-4\cdot2\cdot6}}{2\cdot2}=\frac{7\pm\sqrt[]{1}}{4}=\frac{7\pm1}{4}$
$x=\frac{7+1}{4}=2$
$tai$
$x=\frac{7-1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
$\left(x+1\right)^2\left(x-2\right)\left(2x-3\right)$

1.2 Polymien jaollisuus

121

$\frac{2x^2+8x+8}{x+2}=\frac{2\left(x^2+4x+4\right)}{x+2}$

$x^2+4x+4$
$a=1{,}\ b=4{,}\ c=4$
$u\cdot v=4\ ja\ u+v=4$
$u=2\ ja\ v=2$
$x^2+4x+4=\left(x^2+2x\right)+\left(2x+4\right)=x\left(x+2\right)+2\left(x+2\right)=\left(x+2\right)\left(x+2\right)=\left(x+2\right)^2$

$\frac{2x^2+8x+8}{x+2}=\frac{2\left(x^2+4x+4\right)}{x+2}=\frac{2\left(x+2\right)^2}{\left(x+2\right)}=2\left(x+2\right)=2x+4$

$\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{x^2+2x+1+1}{x+1}=\frac{\left(x+1\right)^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$

122

$P\left(1\right)=3\cdot1^2-1-2=3-1-2=0$

$3x^2-x-2$

$ax^2+bx+c=\left(ax^2+ux\right)+\left(vx+c\right)$

$a=3{,}\ b=-1{,}\ c=-2$
$u\cdot v=a\cdot c\ ja\ u+v=b$
$u\cdot v=-6\ ja\ u+v=-1$
$u=2\ ja\ v=-3$

$\left(3x^2+2x\right)+\left(-3x-2\right)$

$x\left(3x+2\right)-\left(3x+2\right)=\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$

$P\left(2\right)=3\cdot2^2-2-2=12-4=8$

ei ole

$P\left(1\right)=3\cdot1^2-1-2=0$

$3x^2-x-2$
$ax^2+bx+c=\left(ax^2+ux\right)+\left(vx+c\right)$
$a=3{,}\ b=-1{,}\ c=-2$
$u\cdot v=a\cdot c\ ja\ u+v=b$
$u\cdot v=-6\ ja\ u+v=-1$
$u=2\ ja\ v=-3$
$\left(3x^2+2x\right)+\left(-3x-2\right)$
$x\left(3x+2\right)-\left(3x+2\right)=\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$

$\frac{\left(x-1\right)\left(3x+2\right)}{2x-2}=\frac{\left(x-1\right)\left(3x+2\right)}{2\left(x-1\right)}=\frac{3x+2}{2}$
$P\left(x\right)=\left(2x-2\right)\left(\frac{3}{2}x+1\right)$

123

$3x^2-6x+3$

$a=3{,}\ b=-6{,}\ c=3$
$u\cdot v=9\ ja\ u+v=-6$

$u=-3\ ja\ v=-3$

$\left(3x^2-3x\right)+\left(-3x+3\right)=3x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=\left(3x-3\right)\left(x-1\right)$

$2x^2-7x-4$
$a=2{,}\ b=-7{,}\ c=-4$
$u\cdot v=-8\ ja\ u+v=-7$
$u=-8\ ja\ v=1$

$\left(2x^2-8x\right)+\left(x-4\right)=2x\left(x-4\right)+1\left(x-4\right)=\left(2x+1\right)\left(x-4\right)$

$x^3-2x^2+3x=x\left(x^2-2x+3\right)$

124

$\frac{4x^2-4}{x+1}=\frac{4\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)}=4\left(x-1\right)=4x-4$

$4x^2-4=\left(4x-4\right)\left(x+1\right)$

$\frac{x^3+x^2-12x}{x+4}=\frac{x\left(x^2+x-12\right)}{x+4}$
$x=\frac{-1\pm\sqrt[]{1^2-4\cdot1\cdot\left(-12\right)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt[]{49}}{2}=\frac{-1\pm7}{2}$

$x=\frac{-1+7}{2}=3$

tai

$x=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4$

$\frac{x\left(x^2+x-12\right)}{x+4}=\frac{x\left(x-3\right)\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)}=x\left(x-3\right)$

$x^3+x^2-12x=x\left(x-3\right)\left(x+4\right)$

125
a)

$P\left(\frac{1}{2}\right)=6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-2=1\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-2=-1$

ei ole jaollinen

$P\left(\frac{1}{2}\right)=4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4-\left(\frac{1}{2}\right)^3-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{4}{16}-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=\frac{4}{16}-\frac{1}{4}=\frac{4}{16}-\frac{4}{16}=0$
$\frac{4x^4-x^3-\frac{1}{2}x^2}{2x-1}=\frac{4x^4-x^3-\frac{x^2}{2}}{2x-1}=\frac{\frac{4x^42}{2}-\frac{x^32}{2}-\frac{x^2}{2}}{2x-1}=\frac{\frac{8x^4-2x^3-x^2}{2}}{2x-1}=\frac{8x^4-2x^3-x^2}{2\left(2x-1\right)}=\frac{x^2\left(8x^2-2x-1\right)}{2\left(2x-1\right)}$
$f\left(x\right)=8x^2-2x-1$
$a=8{,}\ b=-2{,}\ c=-1$
$u\cdot v=-8\ ja\ u+v=-2$
$u=2\ ja\ v=-4$
$\left(8x^2+2x\right)+\left(-4x-1\right)=2x\left(4x+1\right)-1\left(4x+1\right)=\left(2x-1\right)\left(4x+1\right)$

$\frac{x^2\left(8x^2-2x-1\right)}{2\left(2x-1\right)}=\frac{x^2\left(2x-1\right)\left(4x+1\right)}{2\left(2x-1\right)}=\frac{x^2\left(4x+1\right)}{2}$

$P\left(x\right)=\left(\frac{x^2\left(4x+1\right)}{2}\right)\cdot\left(2x-1\right)$

126

A I

B II, IV

C II, IV

D III

127

$\left(x^2+1+\frac{3}{x+3}\right)\cdot\left(x+3\right)$

$x^2+1+\frac{3}{x+3}=\frac{x^2\left(x+3\right)}{x+3}+\frac{x+3}{x+3}+\frac{3}{x+3}=\frac{x^3+3x^2+x+6}{x+3}$
$P\left(x\right)=\frac{x^3+3x^2+x+6}{x+3}\cdot\left(x+3\right)=x^3+3x^2+x+6$

$\frac{2x^3-5x^2+3x}{2x-3}=\frac{x\left(2x^2-5x+3\right)}{2x-3}$
$2x^2-5x+3$
$a=2{,}\ b=-5{,}\ c=3$
$u\cdot v=6\ ja\ u+v=-5$
$u=-2\ ja\ v=-3$
$\left(2x^2-2x\right)+\left(-3x+3\right)=2x\left(x-1\right)+-3\left(x-1\right)=\left(2x-3\right)\left(x-1\right)$
$P\left(x\right)=\frac{x\left(2x-3\right)\left(x-1\right)}{2x-3}=x\left(x-1\right)=x^2-x$

128

$x^2-12x+a_1=a_2^2+2a_2b+b^2$
$a_2=x{,}\ b=-6{,}\ b^2=a_1=36$

$9x^2+ax+4=\left(3x\right)^2+\left(2\cdot b\cdot3x\right)+4\ \ \ \ \ \left|\right|4=2^2{,}\ joten\ b=\pm2$
$\left(3x\right)^2+\left(2\cdot2\cdot3x\right)+2^2=9x^2+12x+4$
$a=\pm12$

$ax^2-8x+4=ax^2+\left(2\cdot-2\cdot ax\right)+\left(-2\right)^2=\left(2x-2\right)^2$

$\left(2x-2\right)^2=4x^2+2\cdot\left(-2\right)\cdot2x+\left(-2\right)^2=4x^2-8x+4$
$a=4$

129

$\frac{x^3-4x}{x^2+2x}=\frac{x\left(x^2-4\right)}{x\left(x+2\right)}=\frac{x\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x\left(x+2\right)}=x-2$

130

$x^2\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)=\left(x^2-4\right)\left(x-1\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)$

$x^3+8x^2+x+8=x^2\left(x+8\right)+\left(x+8\right)=\left(x^2+1\right)\left(x+8\right)$

$x^3-3x^2+2x-6=x^2\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)=\left(x^2+2\right)\left(x-3\right)$

131

$2x^2+2x-24=0$

$x=\frac{-2\pm\sqrt[]{2^2-4\cdot2\cdot\left(-24\right)}}{2\cdot2}=\frac{-2\pm14}{4}$
$x=\frac{-2+14}{4}=3$
$tai$
$x=\frac{-2-14}{4}=-4$

$P\left(2\right)=2^2-2k-k^2-1=4-2k-k^2-1=-k^2-2k+3$
$-k^2-2k+3=0$
$k=\frac{2\pm\sqrt[]{\left(-2\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot3}}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{2\pm4}{-2}$
$k=\frac{2+4}{-2}=-3$
$tai$
$k=\frac{2-4}{-2}=1$

132

$2x^2+ax+2a$

$2x^2+a\left(x+2\right)$
$a=0$
$2x^2+0\cdot\left(x+2\right)=2x^2=2x\cdot x$
$a=16$
$2x^2+16\left(x+2\right)=2x^2+16x+32=2\left(x^2+8x+16\right)=2\left(x+4\right)^2$

133

$\frac{3x^2+5x-2}{2x+4}=\frac{x\left(3x+5\right)-2}{2\left(x+2\right)}$

$\lim_{x\rightarrow-2}\left(\frac{x\left(3x+5\right)-2}{2\left(x+2\right)}\right)=\frac{-2\left(3\cdot\left(-2\right)+5\right)-2}{2\left(-2+2\right)}=\frac{-2\left(-6+5\right)-2}{2\cdot0}=Nollalla\ jako$

Käytetään Hopitalin sääntöä

$\lim_{x\rightarrow-2}=\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=\frac{6x+5}{2}=\frac{6\cdot\left(-2\right)+5}{2}=-\frac{7}{2}$

$\frac{2x^3-2x^2-3x+3}{x-1}=\frac{x^2\left(2x-2\right)-3\left(x-1\right)}{x-1}=\frac{x^2\left(2\left(x-1\right)\right)-3\left(x-1\right)}{x-1}=\frac{2x^2\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)}{x-1}=\frac{\left(2x^2-3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)}=2x^3-3$

$\lim_{x\rightarrow1}=2x^3-3=2\cdot1^3-3=-1$

134

$\frac{2x^2+5x-3}{3x+a}$

$2x^2+5x-3$
$a=2{,}\ b=5{,}\ c=-3$
$u\cdot v=-6\ ja\ u+v=5$
$1{,}2{,}3{,}6$
$u=-1\ ja\ v=6$
$\left(2x^2-x\right)+\left(6x-3\right)=x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)=\left(x+3\right)\left(2x-1\right)$
$\frac{\left(x+3\right)\left(2x-1\right)}{3x+a}$
$\frac{\left(x+3\right)}{3x+a}=\frac{x+3}{3\left(x+\frac{a}{3}\right)}$
$\frac{a}{3}=3$
$a=9$

tai

$\frac{2x-1}{3x+a}=\frac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}{3\left(x+\frac{a}{3}\right)}$
$x-\frac{1}{2}=x+\frac{a}{3}$
$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\left(x+\frac{a}{3}\right)$
$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}x+\frac{3a}{6}\ \ \ \ \ \left|\right|:\ \frac{3}{2}x=\frac{3x}{2}{,}\frac{3a}{6}=\frac{a}{2}$
$x-\frac{1}{2}=\frac{3x}{2}+\frac{a}{2}$
$x-\frac{1}{2}=\frac{3x+a}{2}$
$x=\frac{3x+a+1}{2}$
$\frac{3x+a+1}{2}-x=0$
$\frac{3x+a+1-2x}{2}=0$
$\frac{x+a+1}{2}=0$
$x+a+1=0$
$x+a=-1$

135

$2x^5-x^4-8x^3+4x^2=x^4\left(2x-1\right)-4x^2\left(2x-1\right)=\left(x^4-4x^2\right)\left(2x-1\right)=x^2\left(x^2-4\right)\left(2x-1\right)=x\cdot x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(2x-1\right)$

1.1 Algoritmi

101

1) $826:2=413$
2) $413\rightarrow4130$

1) $405:2=202{,}5$

$\begin{array}{l|l} &202{,}5\\ \hline 2&405\\ &40\\ &---\\ &\ \ \ \ 5\ \ \\ &\ \ \ \ 4\\ &---\\ &\ \ \ \ 10\\ \ &\ \ \ \ 10\\ &---\\ &\ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

2) $202{,}5\rightarrow2025$

102

$2x^2+8x=0$

$2x\left(x+4\right)=0$
$2x=0$
$x=0$

tai

$x+4=0$
$x=-4$

$ax^2+bx=0$
$x\left(ax+b\right)=0$
$x=0\$

tai

$ax+b=0$

$x=-\frac{b}{a}$

103

$\begin{array}{l|l} &\ \ 46\\ \hline 7&322\\ -&28\\ &---\\ &\ \ 42\\ -&\ \ 42\\ &---\\ &\ \ \ \ 0 \end{array}$

Jakoalgoritmissa toistetaan vaiheita

- Jaa

- Kerro

- Vähennä

- Pudota

$\begin{array}{l|l} &1433\\ \hline 4&5734\\ -&4\\ &---\\ &17\\ -&16\\ &---\\ &13\\ -&12\\ &---\\ &14\\ -&12\\ &---\\ &\ \ 2 \end{array}$

$\begin{array}{l|l} &\ \ 106\\ \hline 59&6254\\ -&59\\ &---\\ &\ \ 354\\ -&\ \ 354\\ &---\\ &\ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

104

1) Olkoon p=41. Nyt $134-p=134-41=93$

2) 93>p, joten $93-p=93-41=52$

3) $52-p=52-41=11$ , 11<p

4) Viimeisen vähennyslaskun tulos on 11

b) Algoritmilla saadaan selville jakojäännös, kun isompi luvuista jaetaan pienemmällä.

c) Algoritmi on ihmisen toteuttamana todella työläs, jos toinen luku on paljon suurempi kuin toinen.

Algoritmin ei myöskään kerro, mitä pitää tehdä, jos annetut luvut ovat yhtä suuret tai pienempi luku on nolla.

106

$Jakojäännös=0$

$8048:4=2012$

$Jakojäännös=1$

$1026=1025+1$
$1025:5=205$
$joten$
$1026:5=1025:5+1=205...1$

107

a) Valitaan esimerkiksi luvut a= 17 ja b= 82

$7\cdot2=14$

$7\cdot8=56$

110

a) Lasketaan lukujen erotus a-b. Jos erotus positiivinen, luku a on suurempi. Jos erotus ei ole positiivinen, luku b on suurempi.

b) Lasketaan lukujen erotus a-b. Jos erotus positiivinen, luku a on suurempi. Jos erotus ei ole positiivinen, lasketaan erotus b-a. Mikäli erotus on positiivinen, on luku b suurempi. Jos kumpikaan erotuksista ei ole positiivinen, niin luvut ovat keskenään yhtä suuria.

111

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$

112

1) laske arvosanojen summa

2) Jakaa summa oppilaiden määrällä

113

Tulos, kun annettu luku jaetaan viidellä

114

$3641-1=3640$

$3640:3=1213.333...\approx1213$

Osamäärän kokonaisosa

c) $\frac{a-1}{b}$

115

a)
Olkoon funktio y=f(x) kaikkialla määritelty. Seuraavalla algoritmilla, voidaan selvittää pisteen (a,b) sijainti funktioon f nähden:

1) Laske funktion arvo f(a).

2) Jost saatu arvo on suurempi kuin piseen y-koordinaatti eli f(a)>b, niin piste on kuvaajan alapuolella. Jos f(a)<b, niin piste on kuvaajan yläpuolella. Jos f(a)=b, niin piste on kuvaajalla.

b)
r-säteisen ja $\left(x_0{,}y_0\right)$ -keskisen ympyrän yhtälö on keskipistemuodossa $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2$ . Seuraavalla algorimilla voidaan selvittää pisteen (a,b) sijaini ympyrään nähden:
1) Lasketaan luku c kaavalla $c=\left(a-x_0\right)^2+\left(b-y_0\right)^2$ .
2) Jos $c>r^2$ , niin piste on ympyrän ulkopuolella. Jos $c<r^2$ , niin piste on ympyrän sisäpuolella. Jos $c=r^2$ , niin piste on ympyrän kehällä.

116

$a=\frac{8}{2}=4$
$b=\frac{9}{3}=3$

$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$

Murtolukujen osamäärä

Helppo käyttää

117

Itse ohjelma:
<p>

<script>

var a = 2;
var b = -1;
var c = 4;
var d = -3;

var a=2;
var b=-7;
var c=4;
var d =5;
if a*b*c*d>0:

print('numbers a b c d have the same sign')
else: {print('numbers a b c d have not the same sign')
}

</script>