1.3 Polynomien jakoalgoritmi

141

$\begin{array}{l|l} &3x^2+3x+1\\ \hline x+5&3x^3+18x^2+16x+5\\ -&\left(3x^3+15x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x^2+16x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(3x^2+15x\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+5\\ -\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x+5\right)\ \\ &-------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\ & \end{array}$

$\begin{array}{l|l} &x^2-2x+1\\ \hline x-2&x^3+0x^2-3x-2\\ -&\left(x^3-2x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ -2x^2-3x\\ -\ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \left(-2x^2+4x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x-2\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l|l} &x^2-x+2\\ \hline 3x^2-2x&3x^4-5x^3+8x^2-4x+2\\ -&\left(3x^4-2x^3\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -3x^3+8x^2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \left(-3x^3+2x^2\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^2-4x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x^2-4x\right)\\ &--------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \end{array}$

$x^2-x+2+\frac{2}{3x^2-2x}$

142

I, II, IV

143

A II

B I

C Ei mikään

D III

144

$P\left(3\right)=-2\cdot3^3+5\cdot3^2+6\cdot3-9=-54+45+18-9=-6\cdot9+5\cdot9+2\cdot9-1\cdot9=9\left(-6+5+2-1\right)=0$

On jaollinen

$\begin{array}{l|l} &-2x^2-x+3\\ \hline x-3&-2x^3+5x^2+6x-9\\ -&\left(-2x^3+6x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+6x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-x^2+3x\right)\\ &----------\\ \ \ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x-9\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(3x-9\right)\\ &-------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$P\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(-2x^2-x+3\right)$

$\begin{array}{l|l} &x-3\\ \hline -2x^2-x+3&-2x^3+5x^2+6x-9\\ -&\left(-2x^3-x^2+3x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^2+3x-9\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x^2+3x-9\right)\ \ \\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$P\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(-2x^2-x+3\right)$

145

$\begin{array}{l|l} &x^2-x+2\\ \hline -3x+2&-3x^3+5x^2-8x+4\\ -&\left(-3x^3+2x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x^2-8x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(3x^2-2x\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -6x+4\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-6x+4\right)\ \\ &-------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$-3x^3+5x^2-8x+4=\left(-3x+2\right)\left(x^2-x+2\right)$

$\begin{array}{l|l} &x^2-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\\ \hline -3x&-3x^3+5x^2-8x+4\\ -&-3x^3\\ &-----\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x^2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x^2\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -8x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -8x\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4 \end{array}$

$-3x^3+5x^2-8x+4=\left(-3x\right)\left(x^2-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+4$

146

$\begin{array}{l|l} &-x^2+2x+3\\ \hline 2x+3&-2x^3+x^2+12x+9\\ -&\left(-2x^3-3x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x^2+12x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(4x^2+6x\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x+9\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x+9\right)\\ &-------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$V:\ -x^2+2x+3$

147

$P\left(x\right)=2x^3-5x^2+3x-2$

$P\left(-1\right)=2\cdot\left(-1\right)^3-5\cdot\left(-1\right)^2+3\cdot\left(-1\right)-2=-2-5-3-2=-12$
$P\left(2\right)=2\cdot2^3-5\cdot2^2+3\cdot2-2=16-20+6-2=0$

$On\ jaollinen\ \left(x-2\right):lla$

$\begin{array}{l|l} &2x^2-x+1\\ \hline x-2&2x^3-5x^2+3x-2\\ -&\left(2x^3-4x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+3x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \left(-x^2+2x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x-2\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2-x+1\right)$

$P\left(x\right)=6x^3+7x^2-1$
$P\left(-1\right)=6\cdot\left(-1\right)^3+7\cdot\left(-1\right)^2-1=-6+7-1=0$
$P\left(2\right)=6\cdot2^3+7\cdot2^2-1=48+28-1=76-1=75$
$On\ jaollinen\ \left(x+1\right):llä$
$\begin{array}{l|l} &6x^2+x-1\\ \hline x+1&6x^3+7x^2+0x-1\\ -&\left(6x^3+6x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2+0x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x^2+x\right)\\ &---------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x-1\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-x-1\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

148

$P\left(x\right)=2x^3-x^2+4x+k$

$P\left(-2\right)=2\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)^2+4\cdot\left(-2\right)+k$
$2\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)^2+4\cdot\left(-2\right)+k=0$
$-16-4-8+k=0$
$-28+k=0$
$k=28$

$\begin{array}{l|l} &2x+1^{ }\\ \hline x^2+2&2x^3-x^2+4x+k\\ -&\left(2x^3+0x^2+4x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+k\\ -\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x^2+2\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$k=-2$

149

$\begin{array}{l|l} &x^2+2\\ \hline x^2-x&x^4-x^3+2x^2-2x+1\\ -&\left(x^4-x^3\right)\\ &------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x^2-2x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(2x^2-2x\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \end{array}$

$x^4-x^3+2x^2-2x+1=\left(x^2-x\right)\left(x^2+2\right)+1$

150

$\left(x^2+1\right)\left(3x^2-1\right)+2x=3x^4-x^2+3x^2-1+2x=3x^4+2x^2+2x-1$

151

$Koska\ 2\cdot2-4=0{,}\ jakossa\ tapahtuu\ sijoitamisen\ jälkeen\ nollalla\ jakaamista$

Tällöin voidaan hyödyntää hopitalin sääntöä

$\lim_{x\rightarrow2}\left(\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\right)=\frac{-6x^2-8x+18}{2}=\frac{-6\cdot2^2-8\cdot2+18}{2}=\frac{-24-16+18}{2}=-11$

152

$\begin{array}{l|l} &x^2+3\\ \hline 3x-2&3x^3-2x^2+kx-6\\ -&\left(3x^3-2x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ kx-6\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(9x-6\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$k=9$

$\begin{array}{l|l} &2x-1\\ \hline x^2-3&2x^3-x^2-6x+k\\ -&\left(2x^3+0x-6x\right)\\ &---------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+k\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-x^2+3\right)\\ &-----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$k=3$

153

$-2x^3-x^2+4x-1=Q\left(x\right)\cdot\left(-2x^2-5x-11\right)-34$

$-2x^3-x^2+4x+33=Q\left(x\right)\cdot\left(-2x^2-5x-11\right)$

$\begin{array}{l|l} &x-3\\ \hline -2x^2-5x-11&-2x^3+x^2+4x+33\\ -&\left(-2x^3-5x^2-11x\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^2+15x-33\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x^2+15x+33\right)\\ &--------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

154

$\begin{array}{l|l} &12x^2-10x+2\\ \hline x+3&12x^3+26x^2-28x+6\\ -&\left(12x^3+36x^2\right)\\ &--------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -10x^2-28x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-10x^2-30x\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x+6\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(2x+6\right)\\ &--------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$12x^2-10x+2$

$a=12{,}\ b=-10{,}\ c=2$
$u\cdot v=24\ ja\ u+v=-10$
$1{,}2{,}3{,}4{,}6{,}8{,}12{,}24$
$u=-4\ ja\ v=-6$
$\left(12x^2-4x\right)+\left(-6x+2\right)=4x\left(3x-1\right)-2\left(3x-1\right)=\left(4x-2\right)\left(3x-1\right)$

$\frac{4x-2}{4}=x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$\frac{3x-1}{3}=x-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

155

$\begin{array}{l|l} &2x^3-5x^2-x+6\\ \hline x+1&2x^4-3x^3-6x^2+5x+6\\ -&\left(2x^4+2x^3\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -5x^3-6x^2\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \left(-5x^3-5x^2\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+5x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(-x^2-x\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x+6\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x+6\right)\\ &---------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l|l} &2x^2-7x+6\\ \hline x+1&2x^3-5x^2-x+6\\ -&\left(2x^{^3}+2x^2\right)\\ &-------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -7x^2-x\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \left(-7x^2-7x\right)\\ &----------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x+6\\ -&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(6x+6\right)\\ &------------\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

$2x^2-7x+6=0$

$x=\frac{7\pm\sqrt[]{\left(-7\right)^2-4\cdot2\cdot6}}{2\cdot2}=\frac{7\pm\sqrt[]{1}}{4}=\frac{7\pm1}{4}$
$x=\frac{7+1}{4}=2$
$tai$
$x=\frac{7-1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
$\left(x+1\right)^2\left(x-2\right)\left(2x-3\right)$