1.4 Polynomi yhtälön ratkaiseminen
162
Koska f(4)=0, niin olynomi on jaollinen binomilla x-4
Lasketaa jakolasku%7D%7Bx-4%7D)
jakoalgoritmilla
Lasketaa jakolasku
jakoalgoritmilla%5C%5C%0A%26--------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20x%5E2-6x%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(x%5E2-4x%5Cright)%5C%5C%0A%26----------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-2x%2B8%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(-2x%2B8%5Cright)%5C%5C%0A%26------------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%0A%5Cend%7Barray%7D)
Lasketaan nollakohdat
![x=\frac{-1\pm\sqrt[]{1^2-4\cdot3\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot3}=\frac{-1\pm\sqrt[]{25}}{6}=\frac{-1\pm5}{6}](https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B1%5E2-4%5Ccdot3%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%7D%7D%7B2%5Ccdot3%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B25%7D%7D%7B6%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm5%7D%7B6%7D)
163
Koska f(3)=0, niin olynomi on jaollinen binomilla x-3
Lasketaa jakolasku %7D%7Bx-3%7D)
jakoalgoritmilla
jakoalgoritmilla %5C%5C%0A%26-------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-x%5E2%2B5x%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(-x%5E2%2B3x%5Cright)%5C%5C%0A%26----------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%202x-6%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(2x-6%5Cright)%5C%5C%0A%26------------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%0A%5Cend%7Barray%7D)
![x=\frac{1\pm\sqrt[]{\left(-1\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot2}}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{1\pm\sqrt[]{9}}{-2}=\frac{1\pm3}{-2}](https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B1%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B%5Cleft(-1%5Cright)%5E2-4%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%5Ccdot2%7D%7D%7B2%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B1%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B9%7D%7D%7B-2%7D%3D%5Cfrac%7B1%5Cpm3%7D%7B-2%7D)
164
a) kolme
b)
a)
Nimitään %3D6x%5E3-13x%5E2%2B4%3D0)
Etsitään yhtälölle P(x)=0 jokin kokonaislukuratkaisu. Jos yhtälöllä on kokonaislukuratkaisuja, ne löydetään sijoittamalla yhtälöön vakiotermin -6 tekijöitä ±1 ±2 ±4
Etsitään yhtälölle P(x)=0 jokin kokonaislukuratkaisu. Jos yhtälöllä on kokonaislukuratkaisuja, ne löydetään sijoittamalla yhtälöön vakiotermin -6 tekijöitä ±1 ±2 ±4
%3D6%5Ccdot1%5E3-13%5Ccdot1%5E2%2B4%3D6-13%2B4%3D-3)
%3D6%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%5E3-13%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%5E2%2B4%3D-6-13%2B4%3D-15)
%3D6%5Ccdot2%5E3-13%5Ccdot2%5E2%2B4%3D48-52%2B4%3D0)
Koska P(2)=0, niin olynomi on jaollinen binomilla x-2
Lasketaa jakolasku%7D%7Bx-2%7D)
jakologaritmilla
Lasketaa jakolasku
jakologaritmilla%5C%5C%0A%26--------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20x%5E2%2B0x%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(x%5E2-2x%5Cright)%5C%5C%0A%26----------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-2x%2B4%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(-2x%2B4%5Cright)%5C%5C%0A%26------------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%0A%5Cend%7Barray%7D)
%3D%5Cleft(x-2%5Cright)%5Cleft(6x%5E2%2Bx-2%5Cright))
Nimitään
%3D6x%5E2%2Bx-2)
Jaetaan polynomi g(x) tekijöihin ryhmittelemällä.
%3D%5Cleft(6x%5E2-3x%5Cright)%2B%5Cleft(4x-2%5Cright)%3D3x%5Cleft(2x-1%5Cright)%2B2%5Cleft(2x-1%5Cright)%3D%5Cleft(3x%2B2%5Cright)%5Cleft(2x-1%5Cright)%3D0)
Ratkaistaan yhtälö P(x)=0 tulon nollasäännöllä
%3D%5Cleft(3x%2B2%5Cright)%5Cleft(2x-1%5Cright))
tai
V: ,.
,.b)
%3D0)
Nimitään %3D2x%5E4-2x%5E3-x%5E2-3x-6)
Etsitään yhtälölle P(x)=0 jokin kokonaislukuratkaisu. Jos yhtälöllä on kokonaislukuratkaisuja, ne löydetään sijoittamalla yhtälöön vakiotermin -6 tekijöitä ±1 ±2 ±3 ±6
%3D2%5Ccdot1%5E4-2%5Ccdot1%5E3-1%5E2-3%5Ccdot1-6%3D-10)
%3D2%2B2-1%2B3-6%3D0)
Koska P(-1)=0, niin olynomi on jaollinen binomilla x+1
Lasketaa jakolasku %7D%7Bx%2B1%7D)
jakologaritmilla
jakologaritmilla%5C%5C%0A%26-------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-4x%5E3-x%5E2%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(-4x%5E3-4x%5E2%5Cright)%5C%5C%0A%26------------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203x%5E2-3x%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(3x%5E2%2B3x%5Cright)%5C%5C%0A%26---------------%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-6x-6%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(-6x-6%5Cright)%5C%5C%0A%26-----------------%5C%5C%0A%5C%20%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%0A%5Cend%7Barray%7D)
%3D%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5Cleft(2x%5E3-4x%5E2%2B3x-6%5Cright))
Nimitään %3D%5Cleft(2x%5E3-4x%5E2%5Cright)%2B%5Cleft(3x-6%5Cright))
Jaetaan polynomi g(x) tekijöihin ryhmittelemällä.
%3D2x%5E2%5Cleft(x-2%5Cright)%2B3%5Cleft(x-2%5Cright)%3D%5Cleft(x-2%5Cright)%5Cleft(2x%5E2%2B3%5Cright))
Ratkaistaan yhtälö P(x)=0 tulon nollasäännöllä
Jaetaan polynomi g(x) tekijöihin ryhmittelemällä.
%3D%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%5Cleft(2x%5E2%2B3%5Cright))
Ei ratkaisua
V: x=0, x=-1, x=2