Tehtävät

Kertaus

K13

Tallennuksia on tehty joka vuoden alussa, ensimmäisen talletusvuoden jälkeen pääomien summa on

$n=3$
$q=1{,}0154$
$k=450$

$K_1=k\cdot q^n=450\cdot1{,}0154^3$

Toisen talletusvuoden jälkeen pääomien summa on

$n=2$
$q=1{,}0154$
$k=450$

$K_2=k\cdot q^n=450\cdot1{,}0154^2$

Kolmannen talletusvuoden jälkeen pääomien summa on

$n=1$
$q=1{,}0154$
$k=450$

$K_3=k\cdot q^n=450\cdot1{,}0154^1$

Koska tehtävässä kysyttiin, että kuinka paljon tilillä on rahaa neljänen vuoden alussa, mikä tarkoitta sitä, että talletuksia on tehty vain kolme kertaa

Tällöin voidaan laskea edelliset tulokset yhteen, eli

$K_4=K_1+K_2+K_3=1392{,}008...\approx1392{,}01€$

K15

Voidaan laskea annuiteettilainan kaavalla

$A=K\cdot q^n\cdot\frac{1-q}{1-q^n}$

$K=45\ 000€$
$n=10$
$q=1{,}036$

$A=K\cdot q^n\cdot\frac{1-q}{1-q^n}=45000\cdot1{,}036^{10}\cdot\frac{1-1{,}036}{1-1{,}036^{10}}=5438{,}168...\approx5438{,}17\ \frac{€}{\mathrm{Vuosi}}$

Korkoa saadaan lainan ja maksettun rahanmäärän erotuksesta

$45000€-5438{,}17\cdot10=-9381{,}7€=9381{,}70€$

K17

Koska Nooa lyhenttää lainan kahdesti vuodessa, maksukertoja olisi 20 kertaa.

Kun lainan vuosittainen korkokanta on 2,34%, vuolen vuoden korko olisi $\frac{2{,}34}{2}=1{,}17\%=0{,}0117$ ja Nooan piti tehdä 20 lyhennystä

$A=K\cdot q^n\cdot\frac{1-q}{1-q^n}\ =24000\cdot1{,}0117^{20}\cdot\frac{1-1{,}0117}{1-1{,}0117^{20}}\approx1352.85$

Kahden vuoden kuluttua lainaa on lyhennetty neljästi, jäljellä jäävän laina on k

$V=K\cdot q^k-A\cdot\frac{1-q^k}{1-q}=24000\cdot1{,}0117^4-1352{,}85\cdot\frac{1-1{,}0117^4}{1-1{,}0117}\approx20146.31$

Koska lainaa on lyhennetty neljästi, lainojan summa on tällöin

orkokanta muuttui uuden vuolenvuoden korko on ja jäljellä jäävien lyhennyksien määrä on 16
$\frac{3{,}45}{2}=1{,}725\%=0{,}01725$

Uuden annuiteetti saadaan

$A_2=K\cdot q^n\cdot\frac{1-q}{1-q^n}\ =24000\cdot1{,}0117^{20}\cdot\frac{1-1{,}0117}{1-1{,}0117^{20}}\approx1352.85$

Kpl.5.2

528

530

532

533

534

537

539

540

$1000€\cdot1{,}06=1060€$

Venla ostaa obgaation 1060€

Takaisinmaksupäivänä maksettiin nimellisarvo ja lisäksi 90% sijoitustuotosta, joka oli 30% nimellisarvosta

Venla saa takaisinmaksupäivänä (veroja ei huomioittu)

$1000€+0{,}9\cdot0{,}3\cdot1000€=1270€$

Bruttotuotto olisi tällöin

$1270€-1060€=210€$

Voittosta maksetaan 30% lähdeveroa eli

$210\cdot0{,}3=63€$

Rahamäärä, joka Venla saa takaisinmaksupäivänä on nimellisarvo+nettotuotto

$1270€-63€=1207€$

$1060\cdot q^5=1207$

541

Otso ostaa osakkeita $100\cdot31{,}83=3183€$

Hänen pitäisi saada

$\left(100\cdot31{,}83\right)\cdot0{,}25=795{,}75€$

Koska nettotuotosta maksetaan 30% veroa, brutotuotto olisi tällöin 70%

$0{,}7x=795{,}75\ \ \ \ \ \left|\right|:0{,}7$
$x=1136{,}785..\approx1136{,}79$

Bruttotuoton pitäisi olla 1136,79 €, joten osakkeiden arvon pitäisi olla lopuksi

$3183+1136{,}79=4319{,}785...\approx4319{,}79€$

Osakkeen kurssin pitäisi siis olla lopuksi

$\frac{4319{,}79}{100}=43{,}197...\approx43{,}20€$

543

$y=1{,}035x+1{,}055\cdot\left(12\ 000-x\right)$

$y=1{,}035x+12\ 660-1{,}055x$
$y=-0{,}02x+12\ 660$

Kpl.5.1

501

502

505

Myyntihinta: 125€

Valmistuksen hinta: 20€

Muita kuluja: 800€

$125\cdot90-20\cdot90-800=8650€$

506

Myyntihinta: 80€

Valmistuksen hinta: 20€

Muita kuluja: 1200€

Myytyn määrä on x

$80x-20x=1200$

$60x=1200$
$x=20$

508

$4200+750+80+800+270+80+200+400=6780€$

$\frac{6780}{75}=90{,}4\approx91\ \mathrm{konetta}$

509

$2500\cdot1{,}24=3100€$

Tuotto: 4200€

Veroton hinta:

$1{,}24x=4200$

$x=3387{,}096774$

Maksettava alv saadan:

$4200-3387{,}096774-\left(3100-2500\right)=212{,}903...\approx212{,}90€$

512

Tuotteen hinta:23€

Valmistus hinta: 7€/kpl

Muut Yritykse kulut: 2500€

$23x=2500+200\cdot7$

$23x=3900$
$x=\frac{3900}{23}=169{,}56...\approx170\mathrm{kpl}$

$23x=2500+300\cdot7$

$23x=4600$
$x=\frac{4600}{23}=200\mathrm{kpl}$

513

a) Veroton hinta +alv= verollinen hinta

x= tuotteen veroton hinta

Alv lasketaan AINA tuotteen verottomasta hinnasta eli se on 0,24x

Muodostetaan yhtälö, josta ratkaistaan x

$x+0{,}24x=44{,}90$

$1{,}24x=44{,}90$
$x=\frac{44{,}90}{1{,}24}\approx36{,}21€$

Asiakas maksaa arvonlisäveroa

$44{,}90-36{,}21=8{,}69€$

b) Lasketaan eri toimijoiden saamat verottomat hinnat. Lasketaan lisäksi verollisen ja verottoman hinnan erotus (eli veron määrä). Kootaan tideot taulukkoon.

$\begin{array}{l|l} &Reino&Malviina&Myymälä\\ \hline Verollinen\ hinta\ \left(€\right)&2{,}5&20{,}00&44{,}90\\ Veroton\ hinta\ \left(€\right)&\frac{2{,}5}{1{,}24}\approx2{,}02&\frac{20{,}00}{1{,}24}\approx16{,}13&36{,}21\\ Erotus\left(€\right)&2{,}5-2{,}02=0{,}48&3{,}87&8{,}69 \end{array}$

Reinon valtiolle tilittämä alv on 0,48€

Malviina osti pahkan Reinolta hintaan 2,5€, jolloin hän maksoi alv:ia 0,48€. Hän saa vähentää tämän summan, jolloin Malviina valtiolle tilittää alv on $3{,}87€-0{,}48€=3{,}39€$

Myymälä osti kuksan Malviinalta hintaan 20,00€, jolloin hän maksoi alv:ia 3,39€. Yristys saa vähentää tämän summan, jolloin yrityksen valtiolle tilittää alv on $8{,}69€-3{,}39€=4{,}82€$

Kpl.4.2

434

a) Seteli

b) Myynti

$\mathrm{600\ EUR\cdot33{,}2576=19\ 954{,}56\ THB}$

436

A I

B III

C II

D IV

437

a) Myynti

b) 438

$\mathrm{\frac{500\ 000}{66{,}8331}=7481{,}322..\approx7481{,}32\ EUR}$

438

$\frac{56\ 000}{0{,}8557}=65443{,}496...\approx65443{,}50\mathrm{\ EUR}$

439

$\mathrm{\frac{300}{9{,}0334}-4\approx29{,}20EUR}$

441

Alussa

$\mathrm{1\ EUR=68{,}411\ RUB}$

$\mathrm{\mathrm{1\ RUB=\frac{1}{68{,}411}\ EUR}=0{,}014617...\approx0{,}01462\ EUR}$

Kahden kuukauden päästä

$\mathrm{1\ EUR=63{,}655\ RUB}$
$\mathrm{1\ RUB=\frac{1}{63{,}655}\ EUR=0{,}015709...\approx0{,}01571\ EUR}$

b) Revalvoituu

$\frac{0{,}01571-0{,}01462}{0{,}01462}=0{,}0745...\approx7{,}5\%$

442

$\mathrm{\frac{18\ 000\ THB}{488\ EUR}=36{,}88524...\approx36{,}8852}$

$\mathrm{\frac{486\ USD}{475\ EUR}=1{,}02315...\approx1{,}0232}$

445

$\mathrm{\frac{100\ 000\ JPY}{119{,}1}=839{,}6305...\approx839{,}63\ CHF}$

$\mathrm{920{,}89\ CHF}$

446

$\mathrm{\frac{10\ 000\cdot9{,}3285}{9{,}6685}=9648{,}342...\approx9648{,}34\ EUR}$

$\mathrm{10\ 000-9648{,}34=351{,}657...\approx351{,}66\ EUR}$

447

$\mathrm{\frac{\mathrm{3325}}{1{,}1204}=2967{,}6901...\approx2968\ \frac{€}{tonni}}$

$\mathrm{\frac{2079}{1{,}0630}=1955{,}785...\approx1956\ \frac{€}{tonni}}$

$\frac{2968-1956}{2968}=0{,}3409...\approx0{,}34=34\%$

V: Aleni 34%

Kpl 4.1

401

$109{,}2\%-100\%=9{,}2\%$

$2015$

403

$\frac{104{,}2}{127{,}0}=\frac{x}{59{,}90}$

$x=\frac{104{,}2}{127{,}0}\cdot59{,}90$
$x=49{,}146...\approx49{,}15€$

404

406

410

$\begin{array}{l|l} Vuosi&Kahvipaketti&Kaksio\\ \hline 2010&100&100\\ 2011&138{,}9&104{,}2\\ 2012&134{,}3&106{,}9\\ 2013&116{,}3&143{,}7\\ 2014&117{,}3&113{,}2\\ 2015&126{,}5&112{,}8\\ 2016&119{,}6&113{,}5 \end{array}$

Kahvipaketti

411

$\begin{array}{l|l} Vuosi&Indeksi\\ \hline 1&100\\ 2&96{,}3\\ 3&\\ 4&\\ 5& \end{array}$

412

413

415

416

423

Kpl 3.2

327

$200\cdot492€=98\ 400€$

$8400€$

328

$q=1{,}045$

$q=1+\frac{0{,}045}{72}=1{,}00375$

331

$25\cdot12=300$

$q=1+\frac{0{,}013}{12}=1{,}001083...\approx1{,}00108$

$A=115\ 000€\cdot1{,}00108^{300}\cdot\frac{1-1{,}00108}{1-1{,}00108^{300}}=449.198...\approx449{,}20€$

334

$K=10\ 800€$

$n=3\cdot4=12$
$q=1+\frac{0{,}0576}{4}=1{,}0144$

$A=K\cdot q^n\cdot\frac{1-q}{1-q^n}=986{,}447$

$10\ 800-986{,}447\cdot12=-1037{,}364€\approx1037{,}40€$

336

$n=6\cdot12=72$

$A=500$
$q=1+\frac{0{,}015}{12}=1{,}00125$

$500=K\cdot1{,}00125^{72}\cdot\frac{1-1{,}00125}{1-1{,}00125^{72}}=34406.978...\approx34406{,}98€$

$500=K\cdot1{,}005^{72}\cdot\frac{1-1{,}005}{1-1{,}005^{72}}=k=30169.756...\approx30169{,}76€$

338

$n_1=25\cdot12=300$

$q=1+\frac{0.02}{12}\approx1{,}00167$

$K=350\ 000€$

$A=K\cdot q^n\cdot\frac{1-q}{1-q^n}=1483.4901...\approx1483{,}49€$

$n_2=17\cdot12+9=213$

$1483{,}49=K\cdot q^{n_2}\cdot\frac{1-q}{1-q^{n_2}}=1483.4901...\approx1483{,}49€$

340

342

Kpl 3.1

302

$4$

$r=kit=4000\cdot0{,}05\cdot1=200€$

$\frac{4000}{4}+200=1200€$

303

$\frac{12\ 000}{6}=2000€$

$\frac{12\ 000}{6}+12\ 000\cdot0{,}03\cdot1=2360€$

$2060€$ (laskin)

305

Tosi

Epätosi, jokaisen maksuerän lyhennys

Epätosi, luotonnostopäivä, mutta ei takaisinmaksupäivä

Epätosi, ei pysyy samana

306

308

311

314

81 600€:n lainaa lyhennetään vuosittain 4800€ $\frac{81\ 600€}{4800€}=17$ eli lainan takaisinmaksu kestää 17 vuotta.

Toisenvuoden lopussa lainaa on lyhennetty kerran, joten lainaa on jeljellä

$81\ 600€-4800€=76\ 800€$

Lainan korkokanta $4{,}2\%=0{,}042$

Korkoa maksetaan

$r=kit=76\ 800€\cdot0{,}042\cdot1=3225{,}60€$

Lasketaan maksettavien korkojen määrä taulukkolaskentaohjelmalla.

Korkoa masketaan 30 844,80€

Kpl.2.2

233

$0{,}02\cdot0{,}70=0{,}014=1{,}4\%$

$K=k\cdot q^n=550\cdot1{,}014^4=581{,}452...\approx581{,}45€$

235

$K=12\ 000\cdot1{,}025^7=14264{,}22904\approx15264{,}23€$

237

Väärin, 1,06%

Väärin, suurempi euron määrä

Oikein

239

240

$K=k\cdot q^n$

$K=800$

$q=1{,}0255$

$n=2$

$800=k\cdot1{,}0255^2$
$k=\frac{800}{1{,}0255^2}=760{,}709...\approx760{,}71€$

241

$k=10$

$K=10{,}61$
$n=3$

$10{,}61=10\cdot q^3$
$q=\sqrt[3]{\frac{10{,}61}{10}}$
$q=1{,}01993...\approx1{,}0199$

$1{,}99\%$

242

$K=900$

$k=700$
$q=1{,}038$
$n=?$
$900=700\cdot1{,}038^n$
$1{,}038^n=\frac{900}{700}$
$n=\log_{1{,}038}\left(\frac{900}{700}\right)=6{,}738...\approx7\left(a\right)$

v: 7 vuotta

244

$5000=k\cdot1{,}0245^6$

$k=\frac{5000}{1{,}0245^6}=4324{,}124...\approx4324{,}12€$

246

Peetu

$1000\cdot1{,}009^2=1018{,}081$

$1000\cdot1{,}015^2=1030{,}225$
$1018{,}081+1030{,}225=2038{,}306\approx2038{,}31€$
$+38{,}31€$

Petra

$2000\cdot1{,}013^1=2026$

$2026\cdot1{,}001^1=2028{,}026\approx2028{,}03€$
$+28{,}03€$

v: Peetun

247

Alkupääoma on k=1000€

Nettokorkokanta on 0,71·1,50%=1,065%, joten korkokerroin on q=

$K=k\cdot q^n=1000€\cdot1{,}01065^{10}=1111{,}751...€\approx1111{,}75€$

$1000\cdot1{,}01065^n=2000$
$\log_{1{,}01065}\left(\frac{2000}{1000}\right)=65{,}43...\approx66\left(a\right)$

252

255

256

259

260

Kpl.2.1

201

a) $500\cdot0{,}02=10€$

b) 510€

204

$0{,}015\cdot0{,}7=0{,}0105=1{,}05\%$

$1000\cdot0{,}0105=10{,}50€$

1010,50€

205

a) Tosi

b) Epätosi, 0,009

c) Epätosi, $\frac{73}{360}$

207

a)
Maaliskuu: 0
Huhtikuu: 30
Toukokuu: 30
Kesäkuu: 15
$\frac{30+30+15}{360}=\frac{5}{24}$

$0{,}012\cdot0{,}70=0{,}0084=0{,}84\%$

$r=kit=750€\cdot0{,}0084\cdot\frac{5}{24}=1{,}3125\approx1{,}31€$

208

$r=50{,}05€$

$i=3{,}50\%=0{,}035$

$t=$

1: 29

2: 30

3: 30

...

12: 30

1_2=1

$\frac{29+30\cdot11+1}{360}=\frac{360}{360}=1$

$r=kit\ \leftrightarrow\ k=\frac{r}{it}=\frac{50{,}05€}{0{,}035\cdot1}=1430€$

212
a)

$r=kit$

$k=100€$
$i=0{,}50\%=0{,}005$
$t=1$
$r=100\cdot0{,}005=0{,}5€$

100,50€

$r=kit$
$k=100€$
$i=0{,}50\%=0{,}005$
$t=\frac{4\cdot30}{360}=\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$
$r=100\cdot0{,}005\cdot\frac{1}{3}=0{,}1666...\approx0{,}17€$

v:100,17€

214

$r=kit$

$k=1250€$
$i=?$
$r=1265-1250=15€$
$t=\frac{215}{360}=\frac{43}{72}$

$r=kit\ \leftrightarrow\ i=\frac{r}{kt}=\frac{15}{1250\cdot\frac{43}{72}}=0{,}02009...\approx0{,}0201=2{,}01\%$

215

$k=1100€$

$i=0{,}77\%$

$t=$

1. 31-3=27

2. 29

3.31

4. 30

5. 31

6. 30

7. 31

8. 8

$\frac{28+29+31+30+31+30+31+8}{366}=\frac{109}{183}$

$r=kit=1100€\cdot0{,}0077\cdot\frac{109}{183}=5{,}044...\approx5{,}04€$

v:1105,04€

222

$r=kit$

$t=\frac{215}{360}$
$i=0{,}0286\cdot0{,}7=0{,}02002$

$k_2=k+r=2000€$

Muodostetaan yhtälöparia

v:1976,37€

223
224

Kpl.1.3

159

10 000€

Voiton arvo on alle 30 000€, joten siitä maksetaan 30€ pääomatuloveroa

Verokanta on 30%

$10\ 000€\cdot0{,}3=3000€$

160

a) 14%

$50\cdot0{,}14=7€$

57€

162

Tytär kuuluu I-veroluokkaan

Verotettaa summa 100 000€

Perinnön arvo on välillä 60 000€-200 000, joten vero alarajan kohdalla on 3500€
Alarajan ylittävästä osasta 100 000€-60 000€=40 000€ veroa maksetaan 13% eli

$0{,}13\cdot40\ 000€=5200€$

Perintövero on $3500€+5200€=8700€$

0€, koska perinnön arvo on alla 20 000€

163

Niina kuuluu II-veroluokkaan

Verotettava summa on 358 000€

Lahjan arvo on välillä 200 000€- 1 000 000€, joten vero alarajan kohdalla on 53 450€

Alarajan ylittävästä osasta 358 000€-200 000€=158 000€ veroa maksetaan 31% eli

$0{,}31\cdot158\ 000€=48\ 980€$

Lahjavero on $53\ 450€+48\ 980€=102\ 430€$

Niina kuuluu I-veroluokkaan

Verotettava summa on 358 000€
Lahjan arvo on välillä 200 000€- 1 000 000€, joten vero alarajan kohdalla on 22 100€
Alarajan ylittävästä osasta 358 000€-200 000€=158 000€ veroa maksetaan 15% eli
$0{,}15\cdot158\ 000€=23\ 700€$
Lahjavero on $22\ 100€+23\ 700€=45\ 800€$

166

Älykellon verokanta on 24%

Veroton hinta on x

$1{,}24x=250€$

$x=201{,}612...\approx201{,}61€$

168

Tytär kuuluu I-veroluokkaan
Verotettaa summa 65 000€
Perinnön arvo on välillä 60 000€-200 000€, joten vero alarajan kohdalla on 3500€
Alarajan ylittävästä osasta 65 000€-60 000€=5 000€ veroa maksetaan 13% eli
$0{,}13\cdot5\ 000€=650€$
Perintövero on $3500€+650€=4150€$

Mutta alle 18-vuotias perillinn saa tehdä 60 000euron alaikäisyysvähennyksen, joten perinnövero on näi ollen 0€

Tytär kuuluu I-veroluokkaan
Verotettava summa on 65 000€
Lahjan arvo on välillä 55 000€-200 000€, joten vero alarajan kohdalla on 4 700€
Alarajan ylittävästä osasta 65 000€-55 000€=10 000€ veroa maksetaan 12% eli
$0{,}12\cdot10\ 000€=1\ 200€$
Lahjavero on $4\ 700€+1\ 200€=5\ 900€$

169

Laukun veroton hinta on x

$1{,}24x=150$

$x=120{,}9677419...\approx120{,}97€$
$1{,}14\cdot120{,}97€=137{,}903...\approx137{,}90€$

172

Patrik kuuluu I-veroluokkaan
Perintöveron lähin väli on 60 000€-200 000€, jonka vero alarajan kohdalla on 3 500€

Alarajan ylittävästä osasta otettiin $11\ 300€-3\ 500€=7800€$ , joka on 13% ylittävästä määrästä
Eli $\frac{7800}{13}\cdot100=60\ 000€$
Peritty rahanarvo on
$2\cdot60\ 000€=120\ 000€$

Kpl.1.2

127

a) $14007.5€$

b) $58500€$

129

a) $3000\cdot0{,}31=930€$

b) $3000\cdot0{,}29=870€$

131

A I

B V

C IV

D VI

E III

F II

132

Kirkollisvero turussa on 1%

$65000\cdot0{,}01=650€$

135

a) $5646€$

b) $30000\cdot0{,}21=6300€$

c) $5646\cdot0{,}445=2512{,}47€$

d) $6300+2512{,}47=8812{,}47€$

136

a) $1900\cdot0{,}16=304€$

$\left(2300-2058{,}33\right)\cdot41{,}5+2058{,}33\cdot0{,}16=429{,}625..\approx429{,}63€$

139

$\frac{812{,}94}{29{,}1}\cdot100=2793{,}608...\approx2703{,}61€$

142

Kunnallisvero 19,75%

Kirollisvero 2%

Valtion tuloveroa 17,5%

$38000\cdot0{,}1975=7507€$

$38000\cdot0{,}02=760€$
$38000\cdot0{,}175=6650€$

Kpl.1.1

101

$50\%$

b)
$25\%$

c)
$60\%$

102

$0{,}73$

b)
$1{,}57$

c)
$0{,}0008$

103

$61\%$

$0{,}0055=0{,}55\%$

$110\%$

104

$56{,}4\cdot0{,}27=15{,}228\approx15{,}23€$

$0{,}0084\cdot1904{,}25=15{,}9957\approx16{,}00€$

$1{,}4\cdot8{,}29=11{,}606\approx11{,}61€$

105

$\frac{180-160}{160}=0{,}125=12{,}5\%$

106

$89\%-84\%=5$

5 prosenttiyksiköllä

107

A IV

B II

C III

D I

108

Rahamärä ennen shoppaillu on x

$0{,}36x=48{,}60\ \ \ \ \ \left|\right|:0{,}36$

$x=135\ €$

109

$\frac{5{,}4}{9{,}6}=0{,}5626=56{,}26\%$

$\frac{9{,}6-5{,}4}{9{,}6}=0{,}4375=43{,}75\%$

$\frac{9{,}6-5{,}4}{5{,}40}=0{,}77777...\approx77{,}78\%$

110

$\frac{2{,}20-1{,}49}{2{,}20}=0{,}32272...\approx0{,}3227=32{,}27\%$

$\frac{2{,}20-1{,}49}{1{,}49}=0{,}47651...\approx0{,}4756=47{,}56\%$

111

A IV

B I

C II

D III

112

$18\%-11\%=7$

7 prosenttiyksikköä

$\frac{200\left(0{,}18-0{,}11\right)}{0{,}18\cdot200}=\frac{0{,}18-0{,}11}{0{,}18}=0{,}38888...\approx0{,}3889=38{,}89\%$

114

$\mathrm{Vuosi\ 1}=1{,}026\cdot8739$

$\mathrm{Vuosi\ 2=1{,}026^2\cdot8739}$

$\mathrm{Vuosi\ 3=1{,}026^3\cdot8739}$
$\mathrm{Vuosi\ 4=1{,}026^4\cdot8739}=9683{,}919764\approx9683$

Asukasluku kasvaa 944 asukkaalla, ja uusi askasluku on neljän vuoden kuluttua 9683.

115

Kahvikupin alkuperäinen hinta on x

$\mathrm{1.\ muutos:}\ 1{,}04x$

$2.\ \mathrm{muutos}:\ 1{,}12\cdot1{,}04x$

$3.\ \mathrm{muutos}:\ 1{,}12\cdot1{,}04\cdot0{,}93x$

$1{,}12\cdot1{,}04\cdot0{,}93x=1{,}30\ \ \ \ \ \left|\right|:\left(1{,}12\cdot1{,}04\cdot0{,}93\right)$

$x\approx1{,}20€$

116

Auton alkuperäinen hinta on x

$0{,}84^3x=5600\ \ \ \ \ \left|\right|:0{,}84^3$
$x=9448{,}223...\approx9448{,}22€$

117

Kasvu prosenttina on x

$789x^5=1640\ \ \ \ \ \left|\right|:789$
$x^5=\frac{1640}{789}\ \ \ \ \ \left|\right|\sqrt[5]{}$

$x=\sqrt[5]{\frac{1640}{789}}$
$x=1{,}15758...\approx1{,}1576=115{,}76\%$

x=115,76%, josta 100% on alkuperäinen seuraajamäärä

$115{,}76\%-100\%=15{,}76\%$

V: Seuraajien määrä kasvoi kuukaudessa 15,76%

118

a) Epätosi, hinta kasvaa kolminkertaiseksi

b) Epätosi, se alenee kolmessa vuodessa 78,4% $1-0{,}6^3=0{,}784=78{,}4\%$

c) Epätosi

Esim, alkuperäinen hinta on 10€, kasvun jälkeen 15(=10*1,5)

ja kasvu prosenttina on x

$10x^2=15$
$x^2=1{,}5$

$x=1{,}22474...\approx1{,}2247=122{,}47\%$

x=122,47%, josta 100% on alkuperäinen hinta
$122{,}47\%-100\%=22{,}47\%$

joten, hinta nousee keskimäärin vuodessa 22,47%

119

Oletetaan, että alkuperäinen palkkamäärä on 10€, kasvun jälkeen 10,28€

ja kasvu prosenttina on x

$10x^4=10{,}28$

$x^4=\frac{10{,}28}{10}\ \ \ \ \ \left|\right|\sqrt[4]{}$
$x=\sqrt[4]{\frac{10{,}28}{10}}$
$x=1{,}00692...\approx1{,}0069=100{,}69\%$

x=100,69%, josta 100% on alkuperäinen palkkamäärä

$100{,}69\%-100\%=0{,}69\%$

V: Palkka kasvaa keskimäärin 0,69% vuodessa.

120

Taulun arvo on x

$1{,}3\cdot0{,}9\cdot1{,}25x=1{,}4625x$

$1{,}4625=146{,}25\%$

tästä 100% on alkuperäinen arvo

$146{,}25\%-100\%=46{,}25\%$

V: Taulun arvo on kasvannut 46,25%

Oletetaan, että taulun hinta on 10€

Taulun arvo viimeisen arvonlaskun mukaan on:

$1{,}4625\cdot10=14{,}625€$

$\frac{14{,}625-10}{14{,}625}=0{,}31623...\approx0{,}3162=31{,}62\%$

V: Taulun arvon on tultava laskemaan 31,62% arvolaskun jälkeen.

121

Oletetaan, että liikevaihto vuoden ensimmäisellä puoliskolla on x

Lasketaan yrityksen liikevaihto ensimmäisellä puoliskolla

$1{,}9x=5{,}0$ (miljoona jätetään tässä vaiheessa pois)

$x=2{,}6315...\approx2{,}6$ (milj)

Toisella puoliskolla liikevaihto on 10% kuin ensimmäisellä, joten se on 90% ensimmäisestä,eli

$0{,}90x=0{,}9\cdot2{,}6315...=2{,}368...\approx2{,}4$ (mlij)

V: Liikevaihto toisella puoliskolla oli 2,4 miljoonaa

122

$40\mathrm{ml\cdot10\%=4ml}$

On käytettävissä aromia 4ml

Kun sitä jaetaan tasan neljään osaan, siitä 1 osa on 1ml

eli

$0{,}001x=1$

$x=1000\left(ml\right)$

$0{,}005y=1$
$y=200\left(ml\right)$

$0{,}01a=1$
$a=100\left(ml\right)$
$0{,}02b=1$

$b=50ml$

123

koska

$v=\frac{s}{t}$

jossa

$v=\mathrm{Nopeus}$

$s=\mathrm{Matka}$

$t=\mathrm{Aika}$

$s=30\ km$

$v_1=65\ \frac{km}{h}$

$v_2=?$
$t_1=?$
$t_2=?$

Matkaan kuluva aika saadaan kaavalla

$t_1=\frac{s}{v_1}=\frac{30km}{65\ \frac{km}{h}}=0{,}46153....h=0{,}4615h$

Koska Marien nopeus hidastuu 15%, uusi nopeus on

$v_2=0{,}85\cdot65\ \frac{km}{h}=55{,}25\ \frac{km}{h}$

Vastaavasti uusi aika on

$t_2=\frac{s}{v_2}=\frac{30km}{55{,}25\ \frac{km}{h}}=0{,}54298...\approx0{,}5430h$

$\frac{0{,}5430-0{,}4615}{0{,}4615}=0{,}17659...\approx0{,}1766=17{,}66\%$

V: Aika pitenee 17,66%.

124

Oletetaan, että kahvilan asiakkaiden määrä on 100

Kahviostajien määrä on

$0{,}9\cdot100=90$

10 ostaa muista juomista

Hinnan nousun jälkeen 20% lopetti kahvilan käymisen,

$90\cdot0{,}2=18$

Jäljellä jääviä ostajia on

$90\cdot0{,}8=72$

Tällöin kahvilan asiakkaiden määrä on

$100-18=82$

Kahviostajien osuus on nyt

$\frac{72}{82}=0{,}878...\approx0{,}878=87{,}8\%$

125

Suklan massa on y ja hinta on x
Hinta saadaan täällä kaavalla
$hinta=massa\cdot kilohinta$
$kilohinta=\frac{x}{y}$
Uuden kilohinta ois
$kilohinta_2=\frac{1{,}07x}{1{,}1y}$
$\frac{1{,}1x}{1{,}07y}=\frac{1{,}1}{1{,}07}\cdot\frac{x}{y}=0{,}9727...\cdot\frac{x}{y}\approx0{,}973\frac{x}{y}=97{,}3\%$