Teoria

Kpl.5.1

Esimerkki

Tuotteen hinta on 45€

Yhden tuotteen valmistuskustannukset ovat 6,5€ ja lisäksi yrityksellä on muita kuluja yhteensä 2500 € kuukaudessa. Määtitä kriittinen iste, jos kaikki valmistetut tuotteet saadan myytyjä.

Oletetaan ,että hinnat ja kulut ovat verottomia

Esim.

x=Valmistettujen ja myytyjen tuotteiden määrä

Myyntituotto= Hinta·Myyntimäärä eli 45x

Kulut 2500 + 6,5x

Kriittisessä pisteessä tuotto ja kulut ovat yhtä suuret

$45x=2500+6{,}5x$
$45x-6{,}5x=2500$
$38{,}5x=2500$
$x=\frac{2500}{38{,}5}=64{,}935...\approx65\ kpl$

Valuutta

Esim.

a) Esko on lähdössä Ruotsiin ja vaihtaa laiaterminaalissa 300€ Ruotsin kruunuiksi. Kuinak paljon kruunuja hän saa?

b) Eskon matka peruuntuu ja hän vaihtaa saamansa kruunut takaisin euroiksi. Kuinka monta euroa hän saa?

c) Suomalainen yritys on myynyt tuotteitaan englantilaiselleyritykselle 570 punnalla. Maksu tapahtuu tilisiirtona Englannista Suomeen. Kuinka monta euroa yritys saa?

a) Valtiaan siis setelien myyntikurssi. Kurssin mukaan 1 EUR=9,2853 SEK

$300\ \mathrm{EUR}=300\cdot9{,}2853\ \mathrm{SEK}=2785{,}59\mathrm{\ SEK}$

b) Valuutanvaihtoyritys ostaa kruunuja. Valitan setelien ostokurssi. Kurssin mukaan

$\mathrm{9{,}6500\ SEK=1\ EUR}\ \ \ \ \ \left|\right|:9{,}6500$
$\mathrm{1\ SEK=\frac{1}{9{,}6500}\ EUR\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot2785{,}59}$
$\mathrm{\mathrm{2785{,}59\ SEK=\frac{2785{,}59}{9{,}6500}\ EUR}=288{,}662...\approx288{,}66\ EUR}$

c) Maksu tapahtuu tilisiirtona, joten valitaan tilivaluuttakurssi. Suomalainen pankki ostaa punnat yritykseltä, joten valitaan ostokurssi.

x=Yrityksen saama euromäärä

$\mathrm{\begin{array}{l|l} EUR&GBR\\ \hline 1&0{,}8557\\ x&570 \end{array}}$

Muodostetaan verranto

$\frac{1}{x}=\frac{0{,}8557}{570}$

$0{,}8557x=570$

$x=666{,}121...\approx666{,}12\mathrm{\ GBR}$

Esim. Norjan kruunun kursi oli tietyllä hetkellä 9,0334. Kuinka monta prosenttia 320 kruunun hintaisen tuotteen hinta euroina muuttuu, kun kruunu revalvoituu 7%

Kurssi alussa 1 EUR=9,0334 NOK

x=tuotteen hinta alussa (€)

Alussa

$\mathrm{\begin{array}{l|l} EUR&NOK\\ \hline 1&9{,}0334\\ x&320 \end{array}}$

$\frac{1}{x}=\frac{9{,}0334}{320}$

$9{,}0334x=320$
$x=35{,}424...\approx35{,}42€$

Kruunu revalvoituu, joten euro devalvoituu eli yhdellä eurolla saa vähemmän kruunuja kuin ennen.

Revalvoitumisen jälkeen

$\mathrm{1\ \mathrm{EUR}=9{,}0334\cdot0{,}93\ NOK\ }$

$\mathrm{1\ EUR=8{,}4011\ NOK}$

y=tuotteen hinta lopussa (€)

Revalvoitumisen jälkeen

$\mathrm{\begin{array}{l|l} EUR&NOK\\ \hline 1&8{,}4011\\ y&320 \end{array}}$

$\frac{1}{y}=\frac{8{,}4011}{320}$
$8{,}4011y=320$
$y=\frac{320}{8{,}4011}\approx38{,}09\ \left(€\right)$

Hinta muuttuu

$\frac{38{,}09}{35{,}42}=1{,}07538...\approx1{,}0754$
$107{,}54\%-100\%\approx7{,}5\%$

V: Hinta kasvoi 7,5%

Inflaatio

Esim. Kuinka suuri vuotuinen inflaatio on vuosien 2012 ja 2016 välillä?

Vuonna 2012 KHI on 106,3

Vuonna 2016 KHI on 109,2

Oletetaan, että hintataso on muuttunut joka vuosi yhtä monta prosenttia.

Olkoon 1 vuotuinen muutoskerroin

$\begin{array}{l|l} Vuosi&Hintataso\\ \hline 2012&106{,}3\\ 2013&106{,}3q\\ 2014&106{,}3q\cdot q=106{,}3\cdot q^2\\ 2015&106{,}3q^2q=106{,}3\cdot q^3\\ 2016&106{,}3q^4 \end{array}$

$solve\left(106{,}3\cdot q^4=109{,}2{,}q\right)$

$q\approx1{,}0067516$

Vuodessa hintataso kasvaa 1,0067516-kertaiseksi eli nousee

$100{,}68\%-100\%=0{,}68\%$

V: Vuotuinen inflaatio on 0,68%

Indeksi

b) Kuinka amonta % hinta muuttui vuodesta 2010 vuoteen 2013?

Indeksi pisteluku muuttui 100,0:sta 117,7:n, joten hinta kasvoi

$117{,}7\%-100\%=17{,}7\%$

Entä vuodesta 2013 vuoteen 2016?

Nyt vertailukohtana ei ole indkesin perusvuosi, vaan vuoden 2016 pisteluku 927 on verrattava vuoden 2013 pistelukuun 117,7

$\frac{92{,}7}{117{,}7}\cdot100\approx78{,}76\%$

Kilohinta pieneni

$100\%-78{,}76\%\approx21{,}2\%$

Annuiteettilaina

Esim. Annuiteettilainan suuruus on 75 000€ ja maksuaika 15 vuotta. Lainan korkokanta on 2,5%
a) Laske annuiteetin suuruus, jos lainaa lyhenetään puolivuosittain tai kuukausittain.

q=korkokerroin A= anuiteetti eli tasaerä

Puolivuosittain

$n=15\cdot2=30$
Puolenvuoden korko
$q=1+\frac{1{,}25}{100}=1{,}0125$
$A=75000€\cdot1{,}0125^{30}\cdot\frac{1-1{,}0125}{1-1{,}0125^{30}}\approx3013{,}39€$
Kuukausittain:
$n=15\cdot12=180$
$\frac{2{,}5\%}{12}=0{,}2083\%$
$q=1+\frac{0{,}2083}{100}=1{,}002083$

$A=75000€\cdot1{,}002083^{180}\cdot\frac{1-1{,}002083}{1-1{,}002083^{180}}\approx505€$

b) Kuinka paljon lainasta maksetaan korkoa, kun lainaa lyhennetään puolivuosittain? Entä, jos lyhennys tehdään kuukausittain?

Korkot yhteensä, kun lyhennys tehdään puolivuosittain: Puolivuosittain maksetaan 3013,39€
Tee edullisemmalle lainalle lainalaskelma, jossa näkyy koron, lyhennyksen ja maksuerän suuruus 10 ensimmäiselle maksukerralle.

Yhteensä maksetaan

$30\cdot3013{,}39€=90401{,}70€$

Korkoa maksetaan $90401{,}70€-75000€=15401{,}70€$

Korot yhteensä, kun lyhennys tehdään kuukausittain:

Joka kuukausi maksetaan 500,08€

Yhteensä maksetaan

$180\cdot500{,}06€=90014{,}40€$

Korkoa maksetaan

$90014{,}40€-75000€=15014{,}40€$

Tehdään taulukkolaskentaohjelmalla lainalaskelma, kun lainaa lyhennetään kuukausittain.

2.2 Koronkorko ja diskonttaus

Esimerkki. Tilille talletetaan 700€

a) Mikä on pääoma 10 vuoden kuluttua, jos nettokorkokanta on 0,57%?

$K=k\cdot q^n$

$K=700\cdot1{,}0057^{10}=740{,}9391475...\approx740{,}94€$

b) Kuinka kauan kestäisi tällä nettokorkokannalla, että tilillä olisi 850€?

$K=k\cdot q^n$

$850=700\cdot1{,}0057^n$

$1{,}0057^n=\frac{850}{700}$
$\log_{_{1{,}0057}}\left(\frac{850}{700}\right)=n$
$n=34{,}159...\approx35$

c) Kuinka monta prosenttia pääoman tulisi kasvaa vuodessa jotta 10 vuoden kuluttua pääoma olisi 1000€?

$K=k\cdot q^n$

$1000=700\cdot x^{10}$

$x^{10}=\frac{1000}{700}$
$x=\pm\sqrt[10]{\frac{1000}{700}}$
$x=1{,}03631121...\approx1{,}0363$
$1{,}0363-1{,}00=0{,}0363=3{,}63\%$

2.1 Yksinkertainen korko

Esimerkki. Ilmasri tallettaa tilille 100€ jokaisen kuukauden 1.päivänä vuoden ajan.

Tilin nettokorkokata on 0,50%. Kuinka paljon Ilmarin tilillä on rahaa vuoden kuluttua ensimmäisestä talltuksesta.

Ratkaisu:

Tapa 1: Taulukoidaan talletukselle maksettavia korkoja

1. talletus kasvaa korkoa 12 kuukautta, 2. talletus 11 kk jne. Viimeinen talletus kasvaa korkoa yhden kuukauden.

$\begin{array}{l|l} &Korkoaika\left(kk\right)&Korkoaika\left(vuosi\right)&Talletukselle\ maksettava\ korko\ \left(€\right)\\ \hline 1.\ talletus&12&1&100\cdot0{,}0050\cdot1=0{,}50\\ 2.\ talletus&11&\frac{11}{12}&100\cdot0{,}0050\cdot\frac{11}{12}=0{,}46\\ 3.\ talletus&10&\frac{10}{12}&100\cdot0{,}0050\cdot\frac{10}{12}=0{,}42\\ ...&...&...&...\\ 11.\ talletus&2&\frac{2}{12}&100\cdot0{,}0050\cdot\frac{2}{12}=0{,}08\\ 12.\ talletus&1&\frac{1}{12}&100\cdot0{,}0050\cdot\frac{1}{12}=0{,}04 \end{array}$

Maksettavien korkojen määrä muodostaa aritmeettisen lukujonon, Korkojen summa saadaaan laskettua aritmeettisena summana.

Yhteenlaskettavien lukumäärä n=12

$S_n=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}$

$S_{12}=12\cdot\frac{0{,}50+0{,}04}{2}=3{,}24$

Korkoa masketaan yhteensä 3,24€

Vuoden kuluttua ensimmäisestä talletuksesta tilillä on raha

$12\cdot100€+3{,}24€=1203{,}24€$

Tapa 2

1.3 Muita veroja

Esimerkki

a) Kahvikeittimen veroton hinta on 50. Kuinka paljon keittimestä tulee maksaa arvonlisäveroa? Kuinka paljon asiakas maksaa keittimestä?

b) Matematiikan kirjan myyntihinta on 26,30€. Mikä on kirjan verton hinta?

Ratkaisu:

a) (ks.32)

Veroton hinta 50€, veroton kanta 24%

Arvolisäveron määrä

$0{,}24\cdot50€=12€$

Asiakas maksaa

$50€+12€=62€$

b) Myyntihinta 26,30€, verokanta 10%

Veroton hinta x

$1.10x=26{,}30$

$x=23{,}909...\approx23{,}91€$

Esimerkki

a) Liisa jakaa 432 063€ arvoison lahjan tasan kahden tyttärensä kesken. Kuinka paljon he maksavat yhteensä lahjaveroa.

b) Kuoltuaan Liisalta jää 432 063€ omaisuus, jonka tyttäret perivät tasan, Kuinka paljon he maksavat perintöveroa, kun toinen tyttäristä on 22- ja toinen 17-vuotias.

Ratkaisu:

a) Molemmat tyttäret saavat

$\frac{432063€}{2}=216\ 031{,}5€$

Verotettava summa $216\ 000€$

Tyttäret kuuluvat I-veroluokkaan.

Lahjan arvo on välillä 200 000€-1 000 000€, joten vero alarajan kohdalla on 22 100€.

Alarajan ylittävästä osasta 216 000€-200 000€=16 000€ veroa maksetaan 15% eli

$0{,}15\cdot16\ 000€=2400€$

Molemmat tyttäret maksavat veroa $22\ 100€\ +2400€=24\ 500€$

Yhteensä lahjavero maksetaan $2\cdot24\ 500€=49\ 000€$

Vanhempi tytär:

Verotettava summa 216 000€.

Perinnön arvo on välillä 200 000€-1 000 000€, joten vero alarajan kohdalla on 21 700€.

Alarajan ylittävästä osasta 216 000€- 200 000€=16 000€ veroa maksetaan 16% eli

$0{,}16\cdot16\ 000€=2560€$

Perintövero on $21\ 700€+2560€=24260€$

Nuorempi tytär:

Verotettaa summa 216 000€-60 000€=156 000€

Perinnän arvo on välillä 60 000€-200 000€, joten vero alarajan kohdalla on 3500€

Alarajan ylittävästä osasta 156 000€-60 000€=96 000€ veroa maksetaan 13% eli

$0{,}13\cdot96\ 000€=12\ 480€$

Perintövero on $3500€+12\ 480€=15\ 980€$

1.2 Ansiotulojen verotus

Esim. Lahtelainen Mikko sai vuonna 2017 palkkaa 27 324,94€.

a) Laske kuinka paljon hänen olisi pitänyt maksaa valtion-, kunnallis- ja kirkollisveroja yhteensä.

Kunnallisvero 20,45% ja kirkollisvero 1,50%

$0{,}2045\cdot27324{,}94=5533{,}30€$

$0{,}015\cdot27324{,}94=409{,}87\ €$

Valtion tulovero:
Tulot ovat välillä 25 300-41 200, jolloin vero alarajana on 533,00€
Alarajan ylittävä tulo on
$27324{,}94€-25300€=2024{,}94€$
Ylittävästä osasta maksetaan 17,5%
$0{,}175\cdot2024{,}94€=354{,}36€$
Valtion tulovero on yhteensä
$533{,}00€+354{,}36€=887{,}36€$
Verot yhteensä