Tehtävät

Luku 10

Laatikossa on 7 punaista , 8 sinistä ja 5 mustaa palloa. Millä todennäköisyydellä

a) Nostetaan 2 samanvääristä palloa

b) Nostetaan vähintään 3 punaista, kun kaikkiaan nostetaan 4 palloa?

P(2 samanväristä)=P(2p tai 2s tai 2m)

(Tapahtumat erillisiä)

$=P\left(2p\right)+P\left(2s\right)+P\left(2m\right)$

$=P\left(1.p\ ja\ 2.p\right)+P\left(1.s\ ja\ 2.s\right)+\ P\left(1.m\ ja\ 2.m\right)$

$=P\left(1.p\right)\cdot P\left(2.p\right)+P\left(1.s\right)\cdot P\left(2.s\right)+\ P\left(1.m\right)\cdot P\left(2.m\right)$

$=P\left(1.p\right)\cdot P\left(\frac{2.p}{1.p}\right)+P\left(1.s\right)\cdot P\left(\frac{2.s}{1.s}\right)+\ P\left(1.m\right)\cdot P\left(\frac{2.m}{1.m}\right)$

$=\frac{7}{20}\cdot\frac{6}{19}+\frac{8}{20}\cdot\frac{7}{19}+\frac{5}{20}\cdot\frac{4}{19}$

$=\frac{59}{190}\approx0{,}31$

Kakki alkeistapaukset ovat kaikki mahdolliset 4 pallon joukot eli $\binom{20}{4}$

$P\left(väh\ 3p\right)=P\left(3p\ tai\ 4p\right)=P\left(3p\right)+P\left(4p\right)$

Kun 3 punaista nostetaan, nostetaan 1 muuvärinen , eri tapoja on tällöin $\binom{7}{3}\cdot\binom{13}{1}$

Kun 4 punaista voidaan nostaa $\binom{7}{4}$ eri tavalla.

$P\left(3p\right)+P\left(4p\right)=\frac{\binom{7}{3}\cdot\binom{17}{1}}{\binom{20}{4}}+\frac{\binom{7}{4}}{\binom{20}{4}}=\frac{98}{969}\approx0{,}10$

1015
a)

Luku 8

802
a)
$\int_{ }^{ }\left(4x^6-2x^3+3x\right)dx=\frac{4}{7}x^7-\frac{2}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2+C{,}\ C\in\mathbb{R}$
b)

$\int_{ }^{ }\left(x^2-1\right)^2dx=\int_{ }^{ }\left(x^2-1\right)\left(x^2-1\right)=\int_{ }^{ }\left(x^4-2x^2+1\right)$

$=\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+x+C{,}\ C\in\mathbb{R}$
c)
$\int_{ }^{ }\left(\frac{1}{x^3}+\sqrt[]{x}\right)dx=\int_{ }^{ }\left(x^{-3}+x^{\frac{1}{2}}\right)dx=-\frac{1}{2}x^{-2}+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{2}{3}x^{\frac{2}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2x^2}+\frac{2}{3}x\sqrt[]{x}+C{,}\ C\in\mathbb{R}$

d)
$\int_{ }^{ }\left(2x+t\right)dx=x^2+tx+C{,}\ C\in\mathbb{R}$
e)
$\int_{ }^{ }\left(2x+t\right)dt=\frac{1}{2}t^2+2xt+C{,}\ C\in\mathbb{R}$
f)
$\int_{ }^{ }\left(a+b+t\right)dt=\frac{1}{2}t^2+at+bt+C{,}\ C\in\mathbb{R}$

803
a)
$\int_{ }^{ }\left(\sqrt[]{x}\left(x-2\right)\right)dx=\int_{ }^{ }\left(x\sqrt[]{x}-2\sqrt[]{x}\right)dx$
$=\int_{ }^{ }\left(x\cdot x^{\frac{1}{2}}-2\cdot x^{\frac{1}{2}}\right)dx$
$=\int_{ }^{ }\left(x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}\right)dx$
$=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{5}x^{\frac{4}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}-\frac{4}{3}x\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{5}x^2\sqrt[]{x}-\frac{4}{3}x\sqrt[]{x}+C{,}\ C\in\mathbb{R}$
b)
$F\left(x\right)=\frac{2}{5}x^2\sqrt[]{x}-\frac{4}{3}x\sqrt[]{x}+C$

Halutaan, että

$F\left(4\right)=7$
$F\left(4\right)=\frac{2}{5}\cdot4^2\cdot\sqrt[]{4}-\frac{4}{3}\cdot4\cdot\sqrt[]{4}+C$

$F\left(4\right)=\frac{64}{5}-\frac{32}{3}+C$
$\frac{64}{5}-\frac{32}{3}+C=7$
$C=7-\frac{64}{5}+\frac{32}{3}$
$C=\frac{73}{15}$

$F\left(x\right)=\frac{2}{5}x^2\sqrt[]{x}-\frac{4}{3}x\sqrt[]{x}+\frac{73}{15}$

810
b)

y=x^2+2x^2

Ratkaistaan leikkauskohdat

$x\left(x^2+2x-3\right)=0$ x=0

tai

$x=\frac{-2\pm\sqrt[]{2^2-4\cdot1\cdot\left(-3\right)}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm\sqrt[]{4+12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt[]{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}$ $x=\frac{-2+4}{2}=1$

tai
$x=\frac{-2-4}{2}=-3$ Koska käyrien järjestys voi muuttua vain leikkauskohdissa, voidaan järjestystä väleillä [-3,0] ja [0,1] tutkia testipisteillä

$3\cdot\left(-1\right)=-3$

$\left(-1\right)^3+2\cdot\left(-1\right)^2=-1+2=1$

Siis välillä [-3,0] on

$x^3+2x\ge3x$

$3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^3+2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}+\frac{2}{4}=\frac{1}{8}+\frac{4}{8}=\frac{5}{8}$

Siis välillä [0,1]

$3x\ge x^3+2x^2$

Kysytty pinta-ala on siis

$A=\int_{-3}^0x^3+2x^2-3xdx+\int_0^13x-\left(x^3-2x^2\right)dx$

$=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-3}}^0\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^1\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3$

$=\left(0-\left(\frac{1}{4}\left(-3\right)^4+\frac{2}{3}\left(-3\right)^3-\frac{3}{2}\left(-3\right)^2\right)\right)+\left(\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\right)-0\right)$

$=\frac{45}{4}+\frac{7}{12}$

$=\frac{71}{6}$

Luku 7

702

a)
$\lim_{x\rightarrow2}\ \frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)}=\lim_{x\rightarrow2}x+2=2+2=4$
b)
$\lim_{x\rightarrow-7}\frac{x+7}{2x^2+10x-28}$

Lasketaan nimittäjän nollakohdat:

$2x^2+10x-28=0$

$x=\frac{-10\pm\sqrt[]{10^2-4\cdot2\cdot\left(-28\right)}}{2\cdot2}=\frac{-10\pm18}{4}$
$x=2$
$x=-7$

$\lim_{x\rightarrow-7}\frac{x+7}{2x^2+10x-28}=\lim_{x\rightarrow-7}\frac{x+7}{2\left(x-2\right)\left(x+7\right)}=\lim_{x\rightarrow-7}\frac{1}{2\left(x-2\right)}=\lim_{x\rightarrow-7}\frac{1}{2x-4}=\frac{1}{2\cdot\left(-7\right)-4}=-\frac{1}{18}$ c)

$\lim_{x\rightarrow6}\frac{x^2-6x}{x^3-12x^2+36x}=\frac{x\left(x-6\right)}{x\left(x^2-12x+36\right)}=\frac{x-6}{\left(x-6\right)^2}=\frac{1}{\left(x-6\right)}\rightarrow\infty{,}\ kun\ x\rightarrow6$

Päädytään tilanteeseen '' $\frac{1}{0}$ ''

Raja-arvoa ei ole.
d)
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-1}{1-e^x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(e^x\right)^2-1^2}{-\left(e^x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(e^x-1\right)\left(e^x+1\right)}{-\left(e^x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow0}-e^x-1=-1-1=-2$

703
a)
$f\left(x\right)\begin{cases} e^{x-1}&{,}kun<1\\ \ln x+1&{,}kunx\ge1 \end{cases}$

$\lim_{x\rightarrow1-}e^{x-1}=e^{1-1}=e^0=1$

$\lim_{x\rightarrow1+}\ln x+1=\ln1+1=0+1=1$
$\lim_{x\rightarrow1}\ f\left(x\right)=1$

Halutaan, että funktio f on jatkuva

Joten

$f\left(1\right)=\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)$

$f\left(1\right)=\ln1+1=1$

$1=1$

Funktio on jakuva

$\begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}&{,}\ kun\ x<1\\ 3&{,}\ kun\ x=1\\ \frac{x-1}{\sqrt[]{x}-1}&{,}\ kun\ x>1 \end{cases}$

$\lim_{x\rightarrow1-}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1-}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow1-}x+1=1+1=2$

$\lim_{x\rightarrow1+}\frac{x-1}{\sqrt[]{x}-1}=\lim_{x\rightarrow1+}\frac{\left(\sqrt[]{x}+1\right)\left(\sqrt[]{x}-1\right)}{\sqrt[]{x}-1}=\sqrt[]{x}+1=1+1=2$

$\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=2$

Halutaan, että funktio f on jatkuva
Joten

$f\left(1\right)=\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)$

$3\ne2$

Funktio ei ole jatkuva

704

$f\left(x\right)=\begin{cases} ax^2+3&{,}\ x<-2\\ x^2+a^2x-1&{,}\ x\ge-2 \end{cases}$

Halutaan, että $f\left(-2\right)=\lim_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)$

$f\left(-2\right)=\left(-2\right)^2+a^2\cdot\left(-2\right)-1=4-2a^2-1$

toispuoleiset raja-arvot

$\lim_{x\rightarrow-2-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-2-}ax^2+3=a\left(-2\right)^2+3=4a+3$
$\lim_{x\rightarrow-2+}f\left(x\right)=4-2a^2-1$

Jotta raja-arvo olisi olemassa ja funktio olisi jatkuva, on oltava

$4a+3=4-2a^2-1$
$2a^2+4a=0$
$a\left(2a+4\right)=0$

$a=0\ tai\ a=-2$

Nyt siis

$\lim_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)=4\cdot\left(-2\right)+3=-5$

$f\left(-2\right)=\left(-2\right)^2+\left(-2\right)^2\cdot\left(-2\right)-1=-5$

tai

$\lim_{x\rightarrow}$

705
a)
Ei mitään. Bolzanon lauseen jatkuvuusehto ei toteudu välillä [1, 3]. Väleillä ]1, 2[ ja ]2, 3[ voi olla nollakohtia, mutta annetut tiedot eivät riitä asian päättelemiseen.

b)
Tosi. Funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella ainakin yksi nollakohta välillä ]3, 4[.
c)

Ei mitään. Nollakohtia voi olla enemmänkin kuin yksi – Bolzanon lause tai muu rationaalifunktioon liittyvä tulos ei tätä estä.

Esim. Derivoi

$f\left(x\right)=x\sqrt[3]{x^2+x}$
$f'\left(x\right)=x\left(x^2+x\right)^{\frac{1}{3}}$
$f'\left(x\right)=1\cdot\sqrt[3]{x^2+x}+x\cdot\left(\frac{1}{3}\left(x^2+x\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot\left(2x+1\right)\right)$
$=\sqrt[3]{x^2+x}+\frac{2x^2+x}{3\sqrt[3]{x^2+x}^2}$

708
a)
$D\left(3x^5-2x+\pi\right)=15x^4-2$
b)

712

$f\left(x\right)=x^2-2x$

$f'\left(-1\right)$

$f'\left(-1\right)=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-3x-\left(\left(-1\right)^2-3\cdot\left(-1\right)\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-3x-4}{x+1}$

Lasketaan osoittajan nollakohdat:

$x^2-3x-4=0$

$x=\frac{3\pm\sqrt[]{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2}\$

$x=4$
$x=-1$

Siis

$x^2-3x-4=1\cdot\left(x-4\right)\left(x-\left(-1\right)\right)=\left(x-4\right)\left(x+1\right)$

$\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-3x-4}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}=\frac{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}x-4=-1-4=-5$

Luku 6

$A=\left(2{,}3{,}6\right)$
$B=\left(4{,}-7{,}-3\right)$

Suuntavektori on:

$\overline{AB}=\left(4-2\right)\overline{i}+\left(-7-3\right)\overline{j}+\left(-3-6\right)\overline{k}=2\overline{i}-10\overline{j}-9\overline{k}$

$\overline{OB}=\overline{OA}+t\overline{v}$

$4\overline{i}-7\overline{j}-3\overline{k}=2\overline{i}+3\overline{j}+4\overline{k}+t\left(2\overline{i}-10\overline{j}-9\overline{k}\right)$
$4\overline{i}-7\overline{j}-3\overline{k}=2\overline{i}+3\overline{j}+4\overline{k}+t\left(2\overline{i}-10\overline{j}-9\overline{k}\right)$

$\frac{1+x}{1-x}=\frac{1-x^2}{1+x^2}{,}\ x\ne1$
$^{1+x^2\text{)}}\frac{1+x}{1-x}-^{1-x\text{)}}\frac{1-x^2}{1+x^2}=0$

$\frac{\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}-\frac{\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}=0$
$\frac{1+x^2+x+x^3-\left(1-x-x^2+x^3\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}=0$

$\frac{1+x^2+x+x^3-1+x+x^2-x^3}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}=0$

$\frac{2x^2+2x}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}=0$

$2x^2+2x=0$
$2x\left(x+1\right)=0$
$2x=0$
$x=0$

tai

$x+1=0$
$x=-1$

602
a)
$\frac{x}{3}-\frac{3}{x}=0$
$\frac{x}{3}=\frac{3}{x}{,}\ x\ne0$
$x=\frac{9}{x}$
$x^2=9$
$x=\pm3$
b)
$1-x=\frac{1}{1-x}{,}\ x\ne1$ $\left(1-x\right)\left(1-x\right)=1$ 1-x-x+x^2=1

$x=\frac{-b\pm\sqrt[]{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt[]{\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot0}}{2\cdot1}=\frac{2\pm\sqrt[]{4}}{2}=\frac{2\pm2}{2}$
$x=\frac{2+2}{2}=2$ tai $x=\frac{2-2}{2}=\frac{0}{2}=0$
c)

$\frac{1+x}{1-x}=\frac{1-x^2}{1+x^2}{,}\ x\ne1$ $^{1+x^2\text{)}}\frac{1+x}{1-x}-^{1-x\text{)}}\frac{1-x^2}{1+x^2}=0$

$\frac{\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}-\frac{\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}=0$

$\frac{1+x^2+x+x^3-\left(1-x-x^2+x^3\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}=0$

$\frac{1+x^2+x+x^3-1+x+x^2-x^3}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}=0$

$\frac{2x^2+2x}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}=0$

2x^2+2x=0

$2x\left(x+1\right)=0$

2x=0

x=0

tai

x+1=0 x=-1

605

$\sqrt[]{3-x}=x+3$

Määrittelyehto

$3-x\ge0$

$x\le3$

Juuren arvot ovat ei-negatiivisia

$x+3\ge0$

$x\ge-3$

Siis

$-3\le x\le3$

$\sqrt[]{3-x}=x+3$

$3-x=\left(x+3\right)^2$
$3-x=x^2+6x+9$
$0=x^2+7x+6$

$x=\frac{b\pm\sqrt[]{b^2-4ac}}{2a}$

$x=-6\ tai\ x=-1$

koska

$-6<-3$ , se ei kelpa vastaukseksi, joten

$V:\ x=-1$

610

$\ln e+\ln1-\ln3e^2$

$=1+0-\left(\ln3+\ln e^2\right)$
$=1-\ln3-2\ln e$
$=1-\ln3-2$
$=-1-\ln3$

$\log_63+\log_612$

$=\log_63\cdot12$
$=\log_636$
$=2$

619

$\sin\frac{x}{3}=\ \frac{\sqrt[]{3}}{2}$

Taulukkokirja:

Erät ratkaisut ovat

$\frac{x}{3}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ tai $\frac{x}{3}=\frac{2\pi}{3}$

Siis kaikki ratkaisut

$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi$ tai $\frac{x}{3}=\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

$x=\pi+n\cdot6\pi$ $x=2\pi+n\cdot6\pi$

646

$f\left(x\right)=2\cos3x+4$

Perusjakso on $\frac{2\pi}{3}$

Arvojoukko:

$-1\le\cos x\le1$
$-1\le\cos3x\le1$

$-2\le\cos3x\le2$
$2\le2\cos3x+4\le6$

Arvojoukko on [2,6]

Luku 5

501
$\overline{DP}=\frac{1}{2}\overline{u}+\overline{v}$

$\overline{DQ}=\overline{u}+\frac{3}{7}\overline{v}$

502
a)

$A=\left(2{,}1\right)$

$B=\left(-3{,}-5\right)$
b)
$\overline{AB}=\left(-3-2\right)\overline{i}+\left(-5-2\right)\overline{j}=-5\overline{i}-7\overline{j}$

503

$\left(4-2\right)\overline{i}+\left(1+3\right)\overline{j}+\left(-7+5\right)\overline{k}=2\overline{i}+4\overline{j}-2\overline{k}$

$\left|\overline{a}-\overline{b}\right|=\sqrt[]{2^2+4^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt[]{6}$

504
Pisteen A paikka vektori on

$\overrightarrow{OA}=\overline{i}-\overline{j}$

$\overline{i}-2\overline{j}+2\overline{k}=\overline{a}$

Määritetään vektorin $\overline{a}$ yksikkävektoria
$\overline{a}^0=\frac{\overline{a}}{\left|\overline{a}\right|}=\frac{\overline{i}-2\overline{j}+2\overline{k}}{\sqrt[]{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=\frac{\overline{i}-2\ \overline{j}+2\overline{k}}{\sqrt[]{9}}=\frac{\overline{i}-2\ \overline{j}+2\overline{k}}{3}=\frac{1}{3}\overline{i}-\frac{2}{3}\overline{j}+\frac{2}{3}\overline{k}$

Lasketaan vektoreiden summa

$OA+9\overline{a}^0=\left(\overline{i}-\overline{j}\right)+9\left(\frac{1}{3}\overline{i}-\frac{2}{3}\overline{j}+\frac{2}{3}\overline{k}\right)=\left(\overline{i}-\overline{j}\right)+\left(3i-6\overline{j}+6\overline{k}\right)$

$=\left(1+3\right)\overline{i}+\left(-1-6\right)\overline{j}+6\overline{k}$
$=4\overline{i}-7\overline{j}+6\ \overline{k}$

Määritetään vektori $\overline{b}$ yksikkövektoria

$\overline{b}^0=\frac{\overline{b}}{\left|\overline{b}\right|}=\frac{3\overline{i}-4\overline{k}}{\sqrt[]{3^2+\left(-4\right)^2}}=\frac{3\overline{i}-4\overline{k}}{\sqrt[]{25}}=\frac{3}{5}\overline{i}-\frac{4}{5}\overline{k}$

Lasketaan edellisien vektoreiden ja $\overline{b}^0$ summa

$\left(4\overline{i}-7\overline{j}+6\overline{k}\right)+10\left(\frac{3}{5}\overline{i}-\frac{4}{5}\overline{k}\right)=\left(4\overline{i}-7\overline{j}+6\overline{k}\right)+\left(6\overline{i}-8\overline{k}\right)$

$=\left(4+6\right)\overline{i}-7\overline{j}+\left(6-8\right)\overline{k}$
$=10\overline{i}-7\overline{j}+-2\overline{k}$

$C=\left(10{,}-7{,}-2\right)$

506

Kolmio on tasankylkinen, jos sillä on kaksi samanpituista sivua

Lasketaan kolmion sivujen pituudet

$\overline{AB}=\left(2-3\right)\overline{i}+\left(2-4\right)\overline{j}+\left(-5-5\right)\overline{k}=-\overline{i}-2j-10\overline{k}$

$\left|\overline{AB}\right|=\sqrt[]{\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2+\left(-10\right)^2}=\sqrt[]{105}$

$\overline{BC}=\left(-3-2\right)\overline{i}+\left(-2-2\right)\overline{j}+\left(3+5\right)\overline{k}=-5\overline{i}-4\overline{j}+8\overline{k}$
$\left|\overline{BC}\right|=\sqrt[]{\left(-5\right)^2+\left(-4\right)^2+8^2}=\sqrt[]{105}$

$\overline{AC}=\left(-3-3\right)\overline{i}+\left(-2-4\right)\overline{j}+\left(3-5\right)\overline{k}=-6\overline{i}-6\overline{j}-2\overline{k}$
$\left|\overline{AC}\right|=\sqrt[]{\left(-6\right)^2+\left(-6\right)^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt[]{76}=2\sqrt[]{19}$

Laskun mukaan $\overline{ }$

$\left|\overline{AB}\right|=\left|\overline{BC}\right|$

Joten kolmio on tasankylkinen

Lasketaan vektorien muodostuma kulman suuruus

Huom. koska vektorit eivät lähtevät samasta pisteestä, vektoria $\overline{AB}$ on muutettava vektoriksi $\overline{BA}$

ja $\overline{BA}=-\overline{AB}$

$\sphericalangle\left(\overline{BA}{,}\overline{BC}\right)=$

$\cos^{-1}\left(\frac{\overline{BA}\cdot\overline{BC}}{\left|\overline{AB}\right|\left|BC\right|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{1\cdot\left(-5\right)+2\cdot\left(-4\right)+10\cdot\left(8\right)}{105}\right)=50{,}35...\approx50{,}4°$

508

$\overline{a}=4\overline{i}-2\overline{j}$
$\overline{b}=-3\overline{i}+\overline{j}$
$\overline{c}=d\overline{i}+\left(d+1\right)\overline{j}$

$\overline{a}+\overline{c}=\overline{b}+\overline{c}$

$\overline{a}+\overline{c}=\left(4+d\right)\overline{i}+\left(d+1-2\right)\overline{j}=\left(4+d\right)\overline{i}+\left(d-1\right)\overline{j}$

$\overline{b}+\overline{c}=\left(-3+d\right)\overline{i}+\left(d+1+1\right)\overline{j}=\left(-3+d\right)\overline{i}+\left(d+2\right)\overline{j}$

Oletetaan, että
$\overline{a}+\overline{c}=\overline{A}$
$\overline{b}+\overline{c}=\overline{B}$

Vektorit ovat samansuuntaiset, jos niillä on olemassa sellainen luku t, joka on suurempi kuin 0, ja saa tuloksi

$\overline{B}=t\overline{A}$

Määritetään luku t

$\left(-3+d\right)\overline{i}+\left(d+2\right)\overline{j}=\left(4+d\right)t\overline{i}+\left(d-1\right)t\overline{j}$

$\begin{cases} -3+d=\left(4+d\right)t\\ d+2=\left(d-1\right)t \end{cases}$

$t=−1\ tai\ t=-\frac{1}{2}$ (laskin)

Koska t:n arvot ovat aidosti negatiivisia, vektorit eivät ole koskaan samansuuntaisia.

Luku 2

203
a)
Koska eksponenttien potenssi ovat parillisia ja niistä saadaan ainoastaan positiivisia lukuja
b)
ei, koska jos luku x on negatiivinen, silloin g(x) on aidosti pienempi kuin 0

205
I B, II C, III A

210
a)
$\left(x-2\right)\left(x-3\right)=6$
$x^2-3x-2x+6=6$
$x^2-5x=0$
$x=\frac{5\pm\sqrt[]{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot0}}{2\cdot1}=\frac{5\pm\sqrt[]{25}}{2}=\frac{5\pm5}{2}$
$x=\frac{5+5}{2}=5$

tai
$x=\frac{5-5}{2}=\frac{0}{2}=0$
b)

$7\left(x-3\right)+1=x^2-1-\left(x^2-1\right)$

$7x-21+1=x^2-1-x^2+1$
$7x-20=0$
$7x=20$
$x=\frac{20}{7}$

213
214
216
217
218
223
225
228
229
234
238
240
241
243
244
247
248
251
252
257
261
263
265
268
273
274
277
278

Luku 1

101
a)

$2\frac{1}{3}-1\frac{5}{7}=\frac{7}{3}-\frac{12}{7}=^{7\text{)}}\frac{7}{3}-^{3\text{)}}\frac{12}{7}=\frac{49}{21}-\frac{36}{21}=\frac{13}{21}$

$3\frac{1}{3}:1\frac{2}{3}+2\frac{1}{2}\cdot\left(-1\frac{5}{9}\right)$

$=\frac{10}{3}:\frac{5}{3}+\frac{5}{2}\cdot\left(-\frac{14}{9}\right)$
$=^{2\text{)}}\frac{10}{3}:^{2\text{)}}\frac{5}{3}+\left(-\frac{5}{2}\cdot\frac{14}{9}\right)$
$=\frac{20}{6}:\frac{10}{6}+\left(-\frac{5}{1}\cdot\frac{7}{9}\right)$
$=2-\frac{35}{9}=\frac{18}{9}-\frac{35}{9}=-\frac{17}{9}$

$3\cdot\frac{2-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}}=3\cdot\frac{\frac{6}{3}-\frac{1}{3}}{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}=3\cdot\frac{\frac{5}{3}}{\frac{3}{2}}=3\cdot\left(\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}\right)=3\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{9}^{\text{(}3}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}$

$\frac{3a}{4}+\frac{a}{2}=^{2\text{)}}\frac{3a}{4}+^{4\text{)}}\frac{a}{2}=\frac{6a}{8}+\frac{4a}{8}=\frac{10a}{8}^{\text{(}2}=\frac{5a}{4}$

$\frac{4a}{5}:\frac{a}{4}-\frac{a}{2}\left(a-1\right)$

$=\frac{16a}{5a}-\frac{a^2}{2}+\frac{a}{2}$
$=-\frac{a^2}{2}+\frac{a}{2}+\frac{16}{5}$

$-a\cdot\left(\frac{2a-3}{3}\right):3$
$=\frac{-2a^2+3a}{3}:\frac{3}{1}$
$=\frac{-2a^2+3a}{9}=\frac{-2a^2}{9}+\frac{3a}{9}^{\text{(}3}=\frac{-2a^2}{9}+\frac{a}{3}$

103

$4\cdot2^{-3}-2^{-1}+2^0$

$=4\cdot\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2}+1$
$=4\cdot\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+1$
$=\frac{4}{8}^{\text{(}4}-\frac{1}{2}+1$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1=1$

$3^0+\left(\left(-1\right)^3\right)^7$

$=1+\left(-1\right)^7$
$=1-1=0$

$\frac{2\cdot3^2}{27}-\frac{1}{3^2}$
$=\frac{18}{27}-^{3\text{)}}\frac{1}{9}$
$=\frac{18}{27}-\frac{3}{27}$
$=\frac{15}{27}^{\text{(}3}$
$=\frac{5}{9}$

$7^4\cdot7^{-4}-7^{-2}+\left(-7\right)^2$
$=7^{4-4}-\frac{1}{7^2}+49$
$=1-\frac{1}{49}+49$
$=50-\frac{1}{49}=\frac{50\cdot49-1}{49}$
$=\frac{2449}{49}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}-\frac{2^4}{3^2}$
$=\left(\frac{1}{3^2}:\frac{1}{4^2}\right)-\frac{16}{9}$
$=\left(\frac{1}{9}\cdot16\right)-\frac{16}{9}$
$=0$

$\left(5\cdot10^{-4}\right)\cdot\left(3\cdot10^6\right)$
$=5\cdot\frac{1}{10^4}\cdot\left(3\cdot10^6\right)$
$=\frac{5}{10000}\cdot3\cdot1000000$
$=\frac{15000000}{10000}=1500$

105

a)
Luvut ovat toistensa käänteisluvut, kun niiden tulo on 1
$\frac{\sqrt[]{6}}{3}\cdot\frac{\sqrt[]{6}}{2}=\frac{\left(\sqrt[]{6}\right)^2}{6}=\frac{6}{6}=1$
Luvut ovat toistensa kääteislukuja.
b)
Luvut ovat toistensa käänteisluvut, kun niiden tulo on 1
$\left(2+\sqrt[]{3}\right)\left(2-\sqrt[]{3}\right)=2^2-\left(\sqrt[]{3}\right)^2=4-3=1$
Luvut ovat toistensa käänteislukuja
Luvut ovat toistensa vastaluvut, kun niiden summa on 0

$\left(2+\sqrt[]{3}\right)\left(2-\sqrt[]{3}\right)=2+2+\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}=4\ne0$

Luvut eivät olet toistensa vastaluvut.

107
a)

$\left(a+3\right)^2-\left(a-3\right)^2$

$=\left(a^2+6a+3^2\right)-\left(a^2-6a+3^2\right)$

=a^2+6a+9-a^2+6a-9

=12a

$\left(\left(a+3\right)\left(a-3\right)\right)^2$

$=\left(a^2-3^2\right)^2$

$=\left(a^2-9\right)^2$

$=\left(a^2\right)^2-18a^2+\left(-9\right)^2$

=a^4-18a^2+81

c)
$2+2\left(\sqrt[]{a}+1\right)\left(\sqrt[]{a}-1\right)$
$=2+2\cdot\left(\left(\sqrt[]{a}\right)^2-1^2\right)$
=2+2a-2

109
a)
$\frac{a^2}{3}-\left(\frac{-a}{3}\right)^2$
$=\frac{a^2}{3}-\left(\frac{\left(-a\right)^2}{3^2}\right)$
$=\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{9}$
$=^{3\text{)}}\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{9}$
$=\frac{3a^2}{9}-\frac{a^2}{9}$
$=\frac{2a^2}{9}$
b)

$\frac{a^2-b^2}{a-b}+\frac{a^2-b^2}{a+b}$

$=^{\left(a+b\right)\text{)}}\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}+^{\left(a-b\right)\text{)}}\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)}{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}$

$=\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a+b\right)}{\left(a^2-b^2\right)}+\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)}{\left(a^2-b^2\right)}$

$=\left(a+b\right)+\left(a-b\right)$
$=2a+b-b$

$=2a$
c)
$\left(a+b\right)^2\cdot\left(a-b\right)^2-\left(a^4+b^4\right)$

$=\left(a+b\right)^2\cdot\left(a-b\right)^2-\left(a^4+b^4\right)$

$=\left(a^2-b^2\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(a^4+b^4\right)$
$=\left(a^4-2a^2b^2-b^4\right)-\left(a^4+b^4\right)$
$=a^4-2a^2b^2-b^4-a^4-b^4$
$=-2a^2b^2$

110
a) 1,15a
b) 0,65a
c) 3,3a
d) 2,25a

113

$m_{alku}\left(suola\right)=500g\cdot0{,}06=30g$

$m_2\left(suola\right)=300g\cdot0{,}05=15g$

$m_{loppu}\left(suola\right)=45g$

$m_{loppu}\left(liuos\right)=800g$

$suolapitoisuus=\frac{45g}{800g}=0{,}05625\approx0{,}056=5{,}6\%$

115
$Osake=35{,}50€$
$Osakkeen\ arvo\ lopussa=35{,}50\cdot1{,}12\cdot0{,}90=35{,}784€$

$\frac{35{,}784}{35{,}50}=1{,}008=+0{,}8\%$

Arvo kasvoi 0,8%

116
A3 B5 C2 D6 E1 F4

117
a)

$\sqrt[]{2}=1{,}414...>1$

Luku on negatiivinen
b)

Luvun itseisarvo on sen vastaluku, kun sen on negatiivinen

Näin ollen

$\left|1-\sqrt[]{2}\right|=-\left(1-\sqrt[]{2}\right)=\sqrt[]{2}-1$

119
a)

$\left|\sqrt[]{3}+2\right|-\left|\sqrt[]{3}-2\right|=\left(\sqrt[]{3}+2\right)-\left(-\left(\sqrt[]{3}-2\right)\right)$

$=\left(\sqrt[]{3}+2\right)-\left(-\sqrt[]{3}+2\right)$

$=\left(\sqrt[]{3}+2\right)+\sqrt[]{3}-2$

$=2\sqrt[]{3}$
b)
$\frac{\left|1-\sqrt[]{2}\right|}{\sqrt[]{2}-1}=\frac{-\left(1-\sqrt[]{2}\right)}{\sqrt[]{2}-1}=\frac{\sqrt[]{2}-1}{\sqrt[]{2}-1}=1$
c)

$\left|\sqrt[]{5}-5\right|-\left|5-\sqrt[]{5}\right|=-\left(\sqrt[]{5}-5\right)-\left(5-\sqrt[]{5}\right)$

$=-\sqrt[]{5}+5-5+\sqrt[]{5}=0$

123
a) Epätosi
b) Epätosi
c) Tosi
d) Epätosi
e) Epätosi
f) Tosi
g) Tosi
h) Tosi

124
a)

Suurin: $\frac{2}{2}=1$

Pienin $-\frac{1}{2}$

$1{,}5=\frac{3}{2}$

Käänteisluvun vastaluku: $-\frac{2}{3}$

Vastaluvun käänteisluku: $-\frac{2}{3}$

126
a)

$^{\text{35)}}\frac{1}{2}{,}\ ^{14\text{)}}\frac{3}{5}{,}\ ^{10\text{)}}\frac{4}{7}$

$\frac{35}{70}{,}\ \frac{42}{70}{,}\ \frac{40}{70}$

$\frac{1}{2}<\frac{4}{7}<\frac{3}{5}$
b)
Koska $\sqrt[]{a+b}$ :n ratkaisu pienenee, kun b<0

128
Oletetaan, että $a=1$

$a=0{,}75b$
$0{,}75b=1$
$b=\frac{4}{3}=1{,}33333...$
$1{,}33333...-1=0{,}33333...\approx0{,}33=33\%$

132
a)

Luvut ovat toistensa vastalukuja, kun niiden summa on 0

$\left(a-b\right)+\left(b-a\right)=a-a-b+b=0$

Luvut ovat toistensa vastalukuja

Luvut ovat toistensa käänteisluvut, kun niiden tulo on 1

$\frac{\sqrt[]{a}}{b}\cdot\frac{b\sqrt[]{a}}{a}$

$\frac{\sqrt[]{a}}{b}\cdot\frac{b\sqrt[]{a}}{a}=\frac{b\cdot\left(\sqrt[]{a}\right)^2}{ab}=\frac{ab}{ab}=1$

Luvut ovat toistensa käänteislukuja.

134
a)

$\frac{1}{\sqrt[]{2}}+\frac{1}{2+\sqrt[]{2}}=^{2+\sqrt[]{2}\text{)}}\frac{1}{\sqrt[]{2}}+^{\sqrt[]{2}\text{)}}\frac{1}{2+\sqrt[]{2}}$

$=\frac{2+\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{2}+2}+^{\sqrt[]{2}\text{)}}\frac{\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{2}+2}=\frac{2+2\sqrt[]{2}}{2+2\sqrt[]{2}}=1$

$\sqrt[]{3\frac{3}{4}}:\sqrt[]{1\frac{2}{3}}$

$=\sqrt[]{\frac{15}{4}}:\sqrt[]{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt[]{15}}{\sqrt[]{4}}:\frac{\sqrt[]{5}}{\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt[]{3\cdot15}}{\sqrt[]{4\cdot5}}=\frac{\sqrt[]{45}}{\sqrt[]{20}}=\frac{\sqrt[]{5\cdot9}}{\sqrt[]{5\cdot4}}=\frac{\sqrt[]{5\cdot3^2}}{\sqrt[]{5\cdot2^2}}=\frac{3\sqrt[]{5}}{2\sqrt[]{5}}=\frac{3}{2}$

137
a)

$\sqrt[]{27-10\sqrt[]{2}}=5-\sqrt[]{2}$

$=\sqrt[]{27-10\sqrt[]{2}+\sqrt[]{2}^2-2}$

$=\sqrt[]{\sqrt[]{2}^2-10\sqrt[]{2}+25}$

$=\sqrt[]{\sqrt[]{2}^2-10\sqrt[]{2}+5^2}=\sqrt[]{\sqrt[]{2}^2-2\cdot5\sqrt[]{2}+5^2}$ $\left|\right|\left(a-b\right)^2{,}\ a=\sqrt[]{2}{,}\ b=5$

$=\sqrt[]{\left(\sqrt[]{2}-5\right)^2}=\sqrt[]{\left(5-\sqrt[]{2}\right)^2}$ $\left|\right|a^2=\left(-a\right)^2$

$=5-\sqrt[]{2}$
b)*****

$\sqrt[]{9-4\sqrt[]{5}}=2-\sqrt[]{5}$

$=\sqrt[]{9-4\sqrt[]{5}+\sqrt[]{5}^2-5}$

$=\sqrt[]{\sqrt[]{5}^2-4\cdot\sqrt[]{5}+4}=\sqrt[]{\sqrt[]{5}^2-2\cdot2\cdot\sqrt[]{5}+2^2}$ $\left|\right|\left(a-b\right)^2{,}\ a=\sqrt[]{5}{,}\ b=2$
$=\sqrt[]{\left(\sqrt[]{5}-2\right)^2}=\sqrt[]{\left(2-\sqrt[]{5}\right)^2}$ $\left|\right|a^2=\left(-a\right)^2$

$=2-\sqrt[]{5}$

On
c)

$\sqrt[3]{a\sqrt[]{a}}$

$=\sqrt[3]{a^1a^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}}}=a^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[]{a}$

139
a)

$5\sqrt[]{3}>6\sqrt[]{2}$
b)

$\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}$

c)
$\sqrt[3]{3}>\sqrt[6]{6}$

141
a)
$\frac{1{,}25x-x}{1{,}25x}==\frac{0{,}25x}{1{,}25x}=\frac{0{,}25}{1{,}25}=0{,}2=20\%$
b)

$x-0{,}25x=1$

$0{,}75x=1$
$x=\frac{1}{0{,}75}=1{,}333...\approx1{,}33=+33\%$

144
$\frac{2^{n-3}\cdot4^n}{8^{n-1}}=\frac{\frac{2^n}{2^3}\cdot4^n}{\frac{8^n}{8}}=\frac{\frac{8^n}{8}}{\frac{8^n}{8}}=1$

148

$m-\%\left(suola\right)=4{,}0\%$

Oletetaan, että meriveden massa on x

suolan määrä alkutilanteessa oli $0{,}04x$

Meriveden massa vähenetään 28%, mutta suolan määrä ei muutu

näin ollen

$\frac{0{,}04x}{x-0{,}28x}=\frac{0{,}04x}{0{,}72x}=\frac{1}{18}=0{,}0555...\approx0{,}056=5{,}6\%$

150
a)

$a^{\frac{1}{3}}=4$

$\log_a4=\frac{1}{3}$
$a=64$

$a^{\frac{2}{3}}=64^{\frac{2}{3}}=16$

$2^m=3$

$\log_23=m$
$8^m=8^{\log_23}=27$
c)

$4^k=6$

$\log_46=k$

$2^{4k}=2^{4\cdot\log_46}=36$

151

vettä=80%

sokeri=4%

$vettä_{loppu}=20\%$

Omenan messasta on poistettu $0{,}6x$

Oletetaan, että y on omenan loppu sokeriprosentti

$\frac{0{,}04x}{x}=\frac{y}{x-0{,}6x}$

$\frac{0{,}04x}{x}=\frac{y}{0{,}4x}$
$\frac{0{,}04x\cdot0{,}4x}{x}=y$

$0{,}04\cdot0{,}4=y$
$y=0{,}016=1.6\%$

153
a)

$a\ge0\ ja\ b\ge0$

$a\le0\ ja\ b\le0$
b)
$a<0\ ja\ b>0$
$a>0\ ja\ b<0$

156
a)
$\left|x\right|\begin{cases} x{,}&kun\ x\ge0\\ -x{,}&kun\ x<0 \end{cases}$
b)

Esim.

Kun x on negatiivinen, luvun itseisarvo on aidosti suurempi kuin x itse

Kun x on positiivinen, luvun itseisarvo on aidosti yhtä suuri kuin x itse

$x=1{,}\ \left|x\right|=1=x$

$x=-1{,}\ \left|x\right|=1>x$
c)

Esim.

Kun x tai y on negatiivinen, luvun itseisarvo on aidosti suurempi kuin luku itse

Kun x tai y on positiivinen, luvun itseisarvo on aidosti yhtä suuri kuin luku itse

$x=1{,}\ y=2$

$\left|x\right|+\left|y\right|=1+2=3=x+y$

$x=-1{,}\ y=2$
$\left|x\right|+\left|y\right|=1+2=3>-1+2=1$
$x=-1{,}\ y=-2$
$\left|x\right|+\left|y\right|=1+2=3>-1-2=-3$
d)

Esim. jos x on negatiivinen, luvun itseisarvo on aidosti suurempi kuin x itse

taas kun x on positiivinen, luvun itseisarvo on aidosti yhtä suuri kuin x itse

$x=1{,}\ y=2$

$x=-1{,}\ y=2$

$x=-1{,}\ y=-2$
$\left|x\right|+\left|y\right|=1+2=3=\left|-1-2\right|=\left|x+y\right|$

Esim. jos x on negatiivinen, luvun itseisarvo on aidosti suurempi kuin x itse

taas kun x on positiivinen, luvun itseisarvo on aidosti yhtä suuri kuin x itse

$x=1{,}\ y=2$

$x=-1{,}\ y=2$
$\left|\left|x\right|+\left|y\right|\right|=1+2=3=\left|-1\right|+\left|2\right|=\left|x\right|+\left|y\right|$

$x=-1{,}\ y=-2$

157