Luku 7

702

a)
$\lim_{x\rightarrow2}\ \frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)}=\lim_{x\rightarrow2}x+2=2+2=4$
b)
$\lim_{x\rightarrow-7}\frac{x+7}{2x^2+10x-28}$

Lasketaan nimittäjän nollakohdat:

$2x^2+10x-28=0$

$x=\frac{-10\pm\sqrt[]{10^2-4\cdot2\cdot\left(-28\right)}}{2\cdot2}=\frac{-10\pm18}{4}$
$x=2$
$x=-7$

$\lim_{x\rightarrow-7}\frac{x+7}{2x^2+10x-28}=\lim_{x\rightarrow-7}\frac{x+7}{2\left(x-2\right)\left(x+7\right)}=\lim_{x\rightarrow-7}\frac{1}{2\left(x-2\right)}=\lim_{x\rightarrow-7}\frac{1}{2x-4}=\frac{1}{2\cdot\left(-7\right)-4}=-\frac{1}{18}$ c)

$\lim_{x\rightarrow6}\frac{x^2-6x}{x^3-12x^2+36x}=\frac{x\left(x-6\right)}{x\left(x^2-12x+36\right)}=\frac{x-6}{\left(x-6\right)^2}=\frac{1}{\left(x-6\right)}\rightarrow\infty{,}\ kun\ x\rightarrow6$

Päädytään tilanteeseen '' $\frac{1}{0}$ ''

Raja-arvoa ei ole.
d)
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-1}{1-e^x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(e^x\right)^2-1^2}{-\left(e^x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(e^x-1\right)\left(e^x+1\right)}{-\left(e^x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow0}-e^x-1=-1-1=-2$

703
a)
$f\left(x\right)\begin{cases} e^{x-1}&{,}kun<1\\ \ln x+1&{,}kunx\ge1 \end{cases}$

$\lim_{x\rightarrow1-}e^{x-1}=e^{1-1}=e^0=1$

$\lim_{x\rightarrow1+}\ln x+1=\ln1+1=0+1=1$
$\lim_{x\rightarrow1}\ f\left(x\right)=1$

Halutaan, että funktio f on jatkuva

Joten

$f\left(1\right)=\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)$

$f\left(1\right)=\ln1+1=1$

$1=1$

Funktio on jakuva

$\begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}&{,}\ kun\ x<1\\ 3&{,}\ kun\ x=1\\ \frac{x-1}{\sqrt[]{x}-1}&{,}\ kun\ x>1 \end{cases}$

$\lim_{x\rightarrow1-}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1-}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow1-}x+1=1+1=2$

$\lim_{x\rightarrow1+}\frac{x-1}{\sqrt[]{x}-1}=\lim_{x\rightarrow1+}\frac{\left(\sqrt[]{x}+1\right)\left(\sqrt[]{x}-1\right)}{\sqrt[]{x}-1}=\sqrt[]{x}+1=1+1=2$

$\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=2$

Halutaan, että funktio f on jatkuva
Joten

$f\left(1\right)=\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)$

$3\ne2$

Funktio ei ole jatkuva

704

$f\left(x\right)=\begin{cases} ax^2+3&{,}\ x<-2\\ x^2+a^2x-1&{,}\ x\ge-2 \end{cases}$

Halutaan, että $f\left(-2\right)=\lim_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)$

$f\left(-2\right)=\left(-2\right)^2+a^2\cdot\left(-2\right)-1=4-2a^2-1$

toispuoleiset raja-arvot

$\lim_{x\rightarrow-2-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-2-}ax^2+3=a\left(-2\right)^2+3=4a+3$
$\lim_{x\rightarrow-2+}f\left(x\right)=4-2a^2-1$

Jotta raja-arvo olisi olemassa ja funktio olisi jatkuva, on oltava

$4a+3=4-2a^2-1$
$2a^2+4a=0$
$a\left(2a+4\right)=0$

$a=0\ tai\ a=-2$

Nyt siis

$\lim_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)=4\cdot\left(-2\right)+3=-5$

$f\left(-2\right)=\left(-2\right)^2+\left(-2\right)^2\cdot\left(-2\right)-1=-5$

tai

$\lim_{x\rightarrow}$

705
a)
Ei mitään. Bolzanon lauseen jatkuvuusehto ei toteudu välillä [1, 3]. Väleillä ]1, 2[ ja ]2, 3[ voi olla nollakohtia, mutta annetut tiedot eivät riitä asian päättelemiseen.

b)
Tosi. Funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella ainakin yksi nollakohta välillä ]3, 4[.
c)

Ei mitään. Nollakohtia voi olla enemmänkin kuin yksi – Bolzanon lause tai muu rationaalifunktioon liittyvä tulos ei tätä estä.

Esim. Derivoi

$f\left(x\right)=x\sqrt[3]{x^2+x}$
$f'\left(x\right)=x\left(x^2+x\right)^{\frac{1}{3}}$
$f'\left(x\right)=1\cdot\sqrt[3]{x^2+x}+x\cdot\left(\frac{1}{3}\left(x^2+x\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot\left(2x+1\right)\right)$
$=\sqrt[3]{x^2+x}+\frac{2x^2+x}{3\sqrt[3]{x^2+x}^2}$

708
a)
$D\left(3x^5-2x+\pi\right)=15x^4-2$
b)

712

$f\left(x\right)=x^2-2x$

$f'\left(-1\right)$

$f'\left(-1\right)=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-3x-\left(\left(-1\right)^2-3\cdot\left(-1\right)\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-3x-4}{x+1}$

Lasketaan osoittajan nollakohdat:

$x^2-3x-4=0$

$x=\frac{3\pm\sqrt[]{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2}\$

$x=4$
$x=-1$

Siis

$x^2-3x-4=1\cdot\left(x-4\right)\left(x-\left(-1\right)\right)=\left(x-4\right)\left(x+1\right)$

$\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-3x-4}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}=\frac{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}x-4=-1-4=-5$