Luku 1

101
a)

$2\frac{1}{3}-1\frac{5}{7}=\frac{7}{3}-\frac{12}{7}=^{7\text{)}}\frac{7}{3}-^{3\text{)}}\frac{12}{7}=\frac{49}{21}-\frac{36}{21}=\frac{13}{21}$

$3\frac{1}{3}:1\frac{2}{3}+2\frac{1}{2}\cdot\left(-1\frac{5}{9}\right)$

$=\frac{10}{3}:\frac{5}{3}+\frac{5}{2}\cdot\left(-\frac{14}{9}\right)$
$=^{2\text{)}}\frac{10}{3}:^{2\text{)}}\frac{5}{3}+\left(-\frac{5}{2}\cdot\frac{14}{9}\right)$
$=\frac{20}{6}:\frac{10}{6}+\left(-\frac{5}{1}\cdot\frac{7}{9}\right)$
$=2-\frac{35}{9}=\frac{18}{9}-\frac{35}{9}=-\frac{17}{9}$

$3\cdot\frac{2-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}}=3\cdot\frac{\frac{6}{3}-\frac{1}{3}}{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}=3\cdot\frac{\frac{5}{3}}{\frac{3}{2}}=3\cdot\left(\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}\right)=3\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{9}^{\text{(}3}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}$

$\frac{3a}{4}+\frac{a}{2}=^{2\text{)}}\frac{3a}{4}+^{4\text{)}}\frac{a}{2}=\frac{6a}{8}+\frac{4a}{8}=\frac{10a}{8}^{\text{(}2}=\frac{5a}{4}$

$\frac{4a}{5}:\frac{a}{4}-\frac{a}{2}\left(a-1\right)$

$=\frac{16a}{5a}-\frac{a^2}{2}+\frac{a}{2}$
$=-\frac{a^2}{2}+\frac{a}{2}+\frac{16}{5}$

$-a\cdot\left(\frac{2a-3}{3}\right):3$
$=\frac{-2a^2+3a}{3}:\frac{3}{1}$
$=\frac{-2a^2+3a}{9}=\frac{-2a^2}{9}+\frac{3a}{9}^{\text{(}3}=\frac{-2a^2}{9}+\frac{a}{3}$

103

$4\cdot2^{-3}-2^{-1}+2^0$

$=4\cdot\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2}+1$
$=4\cdot\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+1$
$=\frac{4}{8}^{\text{(}4}-\frac{1}{2}+1$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1=1$

$3^0+\left(\left(-1\right)^3\right)^7$

$=1+\left(-1\right)^7$
$=1-1=0$

$\frac{2\cdot3^2}{27}-\frac{1}{3^2}$
$=\frac{18}{27}-^{3\text{)}}\frac{1}{9}$
$=\frac{18}{27}-\frac{3}{27}$
$=\frac{15}{27}^{\text{(}3}$
$=\frac{5}{9}$

$7^4\cdot7^{-4}-7^{-2}+\left(-7\right)^2$
$=7^{4-4}-\frac{1}{7^2}+49$
$=1-\frac{1}{49}+49$
$=50-\frac{1}{49}=\frac{50\cdot49-1}{49}$
$=\frac{2449}{49}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}-\frac{2^4}{3^2}$
$=\left(\frac{1}{3^2}:\frac{1}{4^2}\right)-\frac{16}{9}$
$=\left(\frac{1}{9}\cdot16\right)-\frac{16}{9}$
$=0$

$\left(5\cdot10^{-4}\right)\cdot\left(3\cdot10^6\right)$
$=5\cdot\frac{1}{10^4}\cdot\left(3\cdot10^6\right)$
$=\frac{5}{10000}\cdot3\cdot1000000$
$=\frac{15000000}{10000}=1500$

105

a)
Luvut ovat toistensa käänteisluvut, kun niiden tulo on 1
$\frac{\sqrt[]{6}}{3}\cdot\frac{\sqrt[]{6}}{2}=\frac{\left(\sqrt[]{6}\right)^2}{6}=\frac{6}{6}=1$
Luvut ovat toistensa kääteislukuja.
b)
Luvut ovat toistensa käänteisluvut, kun niiden tulo on 1
$\left(2+\sqrt[]{3}\right)\left(2-\sqrt[]{3}\right)=2^2-\left(\sqrt[]{3}\right)^2=4-3=1$
Luvut ovat toistensa käänteislukuja
Luvut ovat toistensa vastaluvut, kun niiden summa on 0

$\left(2+\sqrt[]{3}\right)\left(2-\sqrt[]{3}\right)=2+2+\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}=4\ne0$

Luvut eivät olet toistensa vastaluvut.

107
a)

$\left(a+3\right)^2-\left(a-3\right)^2$

$=\left(a^2+6a+3^2\right)-\left(a^2-6a+3^2\right)$

=a^2+6a+9-a^2+6a-9

=12a

$\left(\left(a+3\right)\left(a-3\right)\right)^2$

$=\left(a^2-3^2\right)^2$

$=\left(a^2-9\right)^2$

$=\left(a^2\right)^2-18a^2+\left(-9\right)^2$

=a^4-18a^2+81

c)
$2+2\left(\sqrt[]{a}+1\right)\left(\sqrt[]{a}-1\right)$
$=2+2\cdot\left(\left(\sqrt[]{a}\right)^2-1^2\right)$
=2+2a-2

109
a)
$\frac{a^2}{3}-\left(\frac{-a}{3}\right)^2$
$=\frac{a^2}{3}-\left(\frac{\left(-a\right)^2}{3^2}\right)$
$=\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{9}$
$=^{3\text{)}}\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{9}$
$=\frac{3a^2}{9}-\frac{a^2}{9}$
$=\frac{2a^2}{9}$
b)

$\frac{a^2-b^2}{a-b}+\frac{a^2-b^2}{a+b}$

$=^{\left(a+b\right)\text{)}}\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}+^{\left(a-b\right)\text{)}}\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)}{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}$

$=\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a+b\right)}{\left(a^2-b^2\right)}+\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)}{\left(a^2-b^2\right)}$

$=\left(a+b\right)+\left(a-b\right)$
$=2a+b-b$

$=2a$
c)
$\left(a+b\right)^2\cdot\left(a-b\right)^2-\left(a^4+b^4\right)$

$=\left(a+b\right)^2\cdot\left(a-b\right)^2-\left(a^4+b^4\right)$

$=\left(a^2-b^2\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(a^4+b^4\right)$
$=\left(a^4-2a^2b^2-b^4\right)-\left(a^4+b^4\right)$
$=a^4-2a^2b^2-b^4-a^4-b^4$
$=-2a^2b^2$

110
a) 1,15a
b) 0,65a
c) 3,3a
d) 2,25a

113

$m_{alku}\left(suola\right)=500g\cdot0{,}06=30g$

$m_2\left(suola\right)=300g\cdot0{,}05=15g$

$m_{loppu}\left(suola\right)=45g$

$m_{loppu}\left(liuos\right)=800g$

$suolapitoisuus=\frac{45g}{800g}=0{,}05625\approx0{,}056=5{,}6\%$

115
$Osake=35{,}50€$
$Osakkeen\ arvo\ lopussa=35{,}50\cdot1{,}12\cdot0{,}90=35{,}784€$

$\frac{35{,}784}{35{,}50}=1{,}008=+0{,}8\%$

Arvo kasvoi 0,8%

116
A3 B5 C2 D6 E1 F4

117
a)

$\sqrt[]{2}=1{,}414...>1$

Luku on negatiivinen
b)

Luvun itseisarvo on sen vastaluku, kun sen on negatiivinen

Näin ollen

$\left|1-\sqrt[]{2}\right|=-\left(1-\sqrt[]{2}\right)=\sqrt[]{2}-1$

119
a)

$\left|\sqrt[]{3}+2\right|-\left|\sqrt[]{3}-2\right|=\left(\sqrt[]{3}+2\right)-\left(-\left(\sqrt[]{3}-2\right)\right)$

$=\left(\sqrt[]{3}+2\right)-\left(-\sqrt[]{3}+2\right)$

$=\left(\sqrt[]{3}+2\right)+\sqrt[]{3}-2$

$=2\sqrt[]{3}$
b)
$\frac{\left|1-\sqrt[]{2}\right|}{\sqrt[]{2}-1}=\frac{-\left(1-\sqrt[]{2}\right)}{\sqrt[]{2}-1}=\frac{\sqrt[]{2}-1}{\sqrt[]{2}-1}=1$
c)

$\left|\sqrt[]{5}-5\right|-\left|5-\sqrt[]{5}\right|=-\left(\sqrt[]{5}-5\right)-\left(5-\sqrt[]{5}\right)$

$=-\sqrt[]{5}+5-5+\sqrt[]{5}=0$

123
a) Epätosi
b) Epätosi
c) Tosi
d) Epätosi
e) Epätosi
f) Tosi
g) Tosi
h) Tosi

124
a)

Suurin: $\frac{2}{2}=1$

Pienin $-\frac{1}{2}$

$1{,}5=\frac{3}{2}$

Käänteisluvun vastaluku: $-\frac{2}{3}$

Vastaluvun käänteisluku: $-\frac{2}{3}$

126
a)

$^{\text{35)}}\frac{1}{2}{,}\ ^{14\text{)}}\frac{3}{5}{,}\ ^{10\text{)}}\frac{4}{7}$

$\frac{35}{70}{,}\ \frac{42}{70}{,}\ \frac{40}{70}$

$\frac{1}{2}<\frac{4}{7}<\frac{3}{5}$
b)
Koska $\sqrt[]{a+b}$ :n ratkaisu pienenee, kun b<0

128
Oletetaan, että $a=1$

$a=0{,}75b$
$0{,}75b=1$
$b=\frac{4}{3}=1{,}33333...$
$1{,}33333...-1=0{,}33333...\approx0{,}33=33\%$

132
a)

Luvut ovat toistensa vastalukuja, kun niiden summa on 0

$\left(a-b\right)+\left(b-a\right)=a-a-b+b=0$

Luvut ovat toistensa vastalukuja

Luvut ovat toistensa käänteisluvut, kun niiden tulo on 1

$\frac{\sqrt[]{a}}{b}\cdot\frac{b\sqrt[]{a}}{a}$

$\frac{\sqrt[]{a}}{b}\cdot\frac{b\sqrt[]{a}}{a}=\frac{b\cdot\left(\sqrt[]{a}\right)^2}{ab}=\frac{ab}{ab}=1$

Luvut ovat toistensa käänteislukuja.

134
a)

$\frac{1}{\sqrt[]{2}}+\frac{1}{2+\sqrt[]{2}}=^{2+\sqrt[]{2}\text{)}}\frac{1}{\sqrt[]{2}}+^{\sqrt[]{2}\text{)}}\frac{1}{2+\sqrt[]{2}}$

$=\frac{2+\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{2}+2}+^{\sqrt[]{2}\text{)}}\frac{\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{2}+2}=\frac{2+2\sqrt[]{2}}{2+2\sqrt[]{2}}=1$

$\sqrt[]{3\frac{3}{4}}:\sqrt[]{1\frac{2}{3}}$

$=\sqrt[]{\frac{15}{4}}:\sqrt[]{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt[]{15}}{\sqrt[]{4}}:\frac{\sqrt[]{5}}{\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt[]{3\cdot15}}{\sqrt[]{4\cdot5}}=\frac{\sqrt[]{45}}{\sqrt[]{20}}=\frac{\sqrt[]{5\cdot9}}{\sqrt[]{5\cdot4}}=\frac{\sqrt[]{5\cdot3^2}}{\sqrt[]{5\cdot2^2}}=\frac{3\sqrt[]{5}}{2\sqrt[]{5}}=\frac{3}{2}$

137
a)

$\sqrt[]{27-10\sqrt[]{2}}=5-\sqrt[]{2}$

$=\sqrt[]{27-10\sqrt[]{2}+\sqrt[]{2}^2-2}$

$=\sqrt[]{\sqrt[]{2}^2-10\sqrt[]{2}+25}$

$=\sqrt[]{\sqrt[]{2}^2-10\sqrt[]{2}+5^2}=\sqrt[]{\sqrt[]{2}^2-2\cdot5\sqrt[]{2}+5^2}$ $\left|\right|\left(a-b\right)^2{,}\ a=\sqrt[]{2}{,}\ b=5$

$=\sqrt[]{\left(\sqrt[]{2}-5\right)^2}=\sqrt[]{\left(5-\sqrt[]{2}\right)^2}$ $\left|\right|a^2=\left(-a\right)^2$

$=5-\sqrt[]{2}$
b)*****

$\sqrt[]{9-4\sqrt[]{5}}=2-\sqrt[]{5}$

$=\sqrt[]{9-4\sqrt[]{5}+\sqrt[]{5}^2-5}$

$=\sqrt[]{\sqrt[]{5}^2-4\cdot\sqrt[]{5}+4}=\sqrt[]{\sqrt[]{5}^2-2\cdot2\cdot\sqrt[]{5}+2^2}$ $\left|\right|\left(a-b\right)^2{,}\ a=\sqrt[]{5}{,}\ b=2$
$=\sqrt[]{\left(\sqrt[]{5}-2\right)^2}=\sqrt[]{\left(2-\sqrt[]{5}\right)^2}$ $\left|\right|a^2=\left(-a\right)^2$

$=2-\sqrt[]{5}$

On
c)

$\sqrt[3]{a\sqrt[]{a}}$

$=\sqrt[3]{a^1a^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}}}=a^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[]{a}$

139
a)

$5\sqrt[]{3}>6\sqrt[]{2}$
b)

$\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}$

c)
$\sqrt[3]{3}>\sqrt[6]{6}$

141
a)
$\frac{1{,}25x-x}{1{,}25x}==\frac{0{,}25x}{1{,}25x}=\frac{0{,}25}{1{,}25}=0{,}2=20\%$
b)

$x-0{,}25x=1$

$0{,}75x=1$
$x=\frac{1}{0{,}75}=1{,}333...\approx1{,}33=+33\%$

144
$\frac{2^{n-3}\cdot4^n}{8^{n-1}}=\frac{\frac{2^n}{2^3}\cdot4^n}{\frac{8^n}{8}}=\frac{\frac{8^n}{8}}{\frac{8^n}{8}}=1$

148

$m-\%\left(suola\right)=4{,}0\%$

Oletetaan, että meriveden massa on x

suolan määrä alkutilanteessa oli $0{,}04x$

Meriveden massa vähenetään 28%, mutta suolan määrä ei muutu

näin ollen

$\frac{0{,}04x}{x-0{,}28x}=\frac{0{,}04x}{0{,}72x}=\frac{1}{18}=0{,}0555...\approx0{,}056=5{,}6\%$

150
a)

$a^{\frac{1}{3}}=4$

$\log_a4=\frac{1}{3}$
$a=64$

$a^{\frac{2}{3}}=64^{\frac{2}{3}}=16$

$2^m=3$

$\log_23=m$
$8^m=8^{\log_23}=27$
c)

$4^k=6$

$\log_46=k$

$2^{4k}=2^{4\cdot\log_46}=36$

151

vettä=80%

sokeri=4%

$vettä_{loppu}=20\%$

Omenan messasta on poistettu $0{,}6x$

Oletetaan, että y on omenan loppu sokeriprosentti

$\frac{0{,}04x}{x}=\frac{y}{x-0{,}6x}$

$\frac{0{,}04x}{x}=\frac{y}{0{,}4x}$
$\frac{0{,}04x\cdot0{,}4x}{x}=y$

$0{,}04\cdot0{,}4=y$
$y=0{,}016=1.6\%$

153
a)

$a\ge0\ ja\ b\ge0$

$a\le0\ ja\ b\le0$
b)
$a<0\ ja\ b>0$
$a>0\ ja\ b<0$

156
a)
$\left|x\right|\begin{cases} x{,}&kun\ x\ge0\\ -x{,}&kun\ x<0 \end{cases}$
b)

Esim.

Kun x on negatiivinen, luvun itseisarvo on aidosti suurempi kuin x itse

Kun x on positiivinen, luvun itseisarvo on aidosti yhtä suuri kuin x itse

$x=1{,}\ \left|x\right|=1=x$

$x=-1{,}\ \left|x\right|=1>x$
c)

Esim.

Kun x tai y on negatiivinen, luvun itseisarvo on aidosti suurempi kuin luku itse

Kun x tai y on positiivinen, luvun itseisarvo on aidosti yhtä suuri kuin luku itse

$x=1{,}\ y=2$

$\left|x\right|+\left|y\right|=1+2=3=x+y$

$x=-1{,}\ y=2$
$\left|x\right|+\left|y\right|=1+2=3>-1+2=1$
$x=-1{,}\ y=-2$
$\left|x\right|+\left|y\right|=1+2=3>-1-2=-3$
d)

Esim. jos x on negatiivinen, luvun itseisarvo on aidosti suurempi kuin x itse

taas kun x on positiivinen, luvun itseisarvo on aidosti yhtä suuri kuin x itse

$x=1{,}\ y=2$

$x=-1{,}\ y=2$

$x=-1{,}\ y=-2$
$\left|x\right|+\left|y\right|=1+2=3=\left|-1-2\right|=\left|x+y\right|$

Esim. jos x on negatiivinen, luvun itseisarvo on aidosti suurempi kuin x itse

taas kun x on positiivinen, luvun itseisarvo on aidosti yhtä suuri kuin x itse

$x=1{,}\ y=2$

$x=-1{,}\ y=2$
$\left|\left|x\right|+\left|y\right|\right|=1+2=3=\left|-1\right|+\left|2\right|=\left|x\right|+\left|y\right|$

$x=-1{,}\ y=-2$

157