Luku 8

802
a)
$\int_{ }^{ }\left(4x^6-2x^3+3x\right)dx=\frac{4}{7}x^7-\frac{2}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2+C{,}\ C\in\mathbb{R}$
b)

$\int_{ }^{ }\left(x^2-1\right)^2dx=\int_{ }^{ }\left(x^2-1\right)\left(x^2-1\right)=\int_{ }^{ }\left(x^4-2x^2+1\right)$

$=\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+x+C{,}\ C\in\mathbb{R}$
c)
$\int_{ }^{ }\left(\frac{1}{x^3}+\sqrt[]{x}\right)dx=\int_{ }^{ }\left(x^{-3}+x^{\frac{1}{2}}\right)dx=-\frac{1}{2}x^{-2}+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{2}{3}x^{\frac{2}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2x^2}+\frac{2}{3}x\sqrt[]{x}+C{,}\ C\in\mathbb{R}$

d)
$\int_{ }^{ }\left(2x+t\right)dx=x^2+tx+C{,}\ C\in\mathbb{R}$
e)
$\int_{ }^{ }\left(2x+t\right)dt=\frac{1}{2}t^2+2xt+C{,}\ C\in\mathbb{R}$
f)
$\int_{ }^{ }\left(a+b+t\right)dt=\frac{1}{2}t^2+at+bt+C{,}\ C\in\mathbb{R}$

803
a)
$\int_{ }^{ }\left(\sqrt[]{x}\left(x-2\right)\right)dx=\int_{ }^{ }\left(x\sqrt[]{x}-2\sqrt[]{x}\right)dx$
$=\int_{ }^{ }\left(x\cdot x^{\frac{1}{2}}-2\cdot x^{\frac{1}{2}}\right)dx$
$=\int_{ }^{ }\left(x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}\right)dx$
$=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{5}x^{\frac{4}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}-\frac{4}{3}x\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{5}x^2\sqrt[]{x}-\frac{4}{3}x\sqrt[]{x}+C{,}\ C\in\mathbb{R}$
b)
$F\left(x\right)=\frac{2}{5}x^2\sqrt[]{x}-\frac{4}{3}x\sqrt[]{x}+C$

Halutaan, että

$F\left(4\right)=7$
$F\left(4\right)=\frac{2}{5}\cdot4^2\cdot\sqrt[]{4}-\frac{4}{3}\cdot4\cdot\sqrt[]{4}+C$

$F\left(4\right)=\frac{64}{5}-\frac{32}{3}+C$
$\frac{64}{5}-\frac{32}{3}+C=7$
$C=7-\frac{64}{5}+\frac{32}{3}$
$C=\frac{73}{15}$

$F\left(x\right)=\frac{2}{5}x^2\sqrt[]{x}-\frac{4}{3}x\sqrt[]{x}+\frac{73}{15}$

810
b)

y=x^2+2x^2

Ratkaistaan leikkauskohdat

$x\left(x^2+2x-3\right)=0$ x=0

tai

$x=\frac{-2\pm\sqrt[]{2^2-4\cdot1\cdot\left(-3\right)}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm\sqrt[]{4+12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt[]{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}$ $x=\frac{-2+4}{2}=1$

tai
$x=\frac{-2-4}{2}=-3$ Koska käyrien järjestys voi muuttua vain leikkauskohdissa, voidaan järjestystä väleillä [-3,0] ja [0,1] tutkia testipisteillä

$3\cdot\left(-1\right)=-3$

$\left(-1\right)^3+2\cdot\left(-1\right)^2=-1+2=1$

Siis välillä [-3,0] on

$x^3+2x\ge3x$

$3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^3+2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}+\frac{2}{4}=\frac{1}{8}+\frac{4}{8}=\frac{5}{8}$

Siis välillä [0,1]

$3x\ge x^3+2x^2$

Kysytty pinta-ala on siis

$A=\int_{-3}^0x^3+2x^2-3xdx+\int_0^13x-\left(x^3-2x^2\right)dx$

$=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-3}}^0\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^1\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3$

$=\left(0-\left(\frac{1}{4}\left(-3\right)^4+\frac{2}{3}\left(-3\right)^3-\frac{3}{2}\left(-3\right)^2\right)\right)+\left(\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\right)-0\right)$

$=\frac{45}{4}+\frac{7}{12}$

$=\frac{71}{6}$