2.1 de Broglien aallonpituus
Kaksoisrakokoe elektroneilla
Jos suolahippusia pudotetaan levylle, jossa on lähekkäin kaksi rakoa, suurin osa hippusista kertyy levyn alle suoraan rakojen alapuolelle. Oikealla on kuva tilanteesta. Klassinen malli käsittelee elektroneja ja muita alkeishiukkasia suolahippusten kaltaisina pistemäisinä kappaleina. Sen mukaan elektroneille suoritetussa kaksoisrakokokeessa varjostimelle rakojen taakse tulisi syntyä vastaavalla tavoin kaksi elektroniosumien keskittymää. Näin ei kuitenkaan tapahdu, kun koe suoritetaan.
Sen sijaan, että elektroniosumista muodostuisi kaksi kukkulaa suolahippusten tavoin, syntyy samankaltainen kuvio kuin kaksoisraon läpi kulkeneen valon tapauksessa. Elektronien osumakohtia on vuoroin lähekkäin ja vuoroin harvassa. Tämä osoittaa elektronien käyttäytyvän kaksoisraossa aallon tavoin. Raosta kulkevat elektronit interferoivat kuin olisivat aaltoja, ja varjostimelle syntyy maksimi- ja minimikohtia sen mukaan, onko interferenssi vahvistava vai heikentävä.
Elektroniosumat eivät muodosta kahta kukkulaa suolahippusten tavoin, vaan ne muodostavat kohtia, joissa elektroneja on runsaasti ja kohtia, joissa elektroneja on vähän.
Jotta havaitaan, onko aaltomaisuus yksittäisen elektronin vai usean elektronin muodostaman joukon ominaisuus, täytyy tarkkailla elektronien kertymistä varjostimelle yksi kerrallaan. Alla on kuvasarja, jossa valkoiset pisteet kuvaavat yksittäisten elektronien osumakohtia varjostimella. Kuvat on otettu 11:nnen, 200:nnen, 6 000:nnen, 40 000:nnen ja 140 000:nnen elektronin jälkeen. Havaitaan, että yksittäiset elektronit osuvat varjostimella näennäisesti minne sattuu, mutta ammuttujen elektronien määrän kasvaessa osumakohdista muodostuu aaltoliikkeelle ominainen kertymäkuvio. Yksittäinen elektroni osuu todennäköisimmin sinne, missä raoista kulkeneet aallot vahvistavat toisiaan. Aaltomaisuus on näin ollen yksittäisen elektronin ominaisuus, aivan kuten fotoneillakin. Yksittäisen elektronin osumakohtaa ei voida määrittää, mutta aaltojen interferenssin avulla voidaan laskea, minne se todennäköisimmin osuu.
de Broglie -aallonpituus
Ranskalainen Louis de Broglie (1892–1987) esitti jo v.1923 hypoteesin hiukkasen aaltoluonteesta ennen kokeellisia havaintoja. Hypoteesi syntyi, kun valon kaksoisluonne oli havaittu valosähköisen ilmiön ja Comptonin sironnan perusteella. Tiedettiin, että fotonilla oli liikemäärä, joka riippui valon aallonpituudesta: [[$p=\dfrac{h}{\lambda}$]]. de Broglie esitti, että sama kaava toisinpäin käytettynä ilmaisisi hiukkasen aallonpituuden: [[$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv}$]]. Ensimmäinen vahvistus de Broglien hypoteesille saatiin tarkastelemalla elektronien siroamista nikkelihilasta v. 1927. Sittemmin hypoteesi on vahvistettu useissa eri tilanteissa.
Hiukkasen de Broglien aallonpituus
[[$ \lambda=\dfrac{h}{mv}$]] on nopeudella v liikkuvan m-massaisen hiukkasen aallonpituus. h on Planckin vakio.Aaltomaisuus on yleensä sitä helpompi havaita, mitä suurempi aallonpituus on. Jotta aallon havaitaan leviävän merkittävästi kulkiessaan rakojen läpi, on aallonpituuden ja raon leveyden oltava samaa suuruusluokkaa. Äänelle riittää oven kokoinen rako, mutta valolle rako saa olla enintään mikrometrien suuruusluokkaa.
Lasketaan de Broglien aaltojen suuruusluokan hahmottamiseksi esimerkiksi vanhanaikaisessa kuvaputkitelevisiossa ruutua kohti liikkuvan elektronin aallonpituus. Nopeus on tyypillisesti suuruusluokkaa 107 m/s, jolloin aallonpituudeksi saadaan
[[$ \quad \lambda=\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\text{ m}^2\text{kg/s}}{9,109\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot 10^7\text{ m/s}}=7,27\dotso\cdot 10^{-11}\text{ m}\approx 0,07\text{ nm}$]]
Kuvaputkitelevisiossa liikkuvan elektronin aaltomaisuuden havaitsemiseen aallon taipumisen kautta tarvitaan erittäin ohut rako, ohuempi kuin valolle. de Broglien aallonpituuden kaavasta havaitaan, että hiukkasen aallonpituus on sitä suurempi, mitä kevyempi se on ja mitä hitaammin se liikkuu. Elektronista kevyempiä alkeishiukkasia ei oikeastaan ole tarjolla, joten ainoaksi vaihtoehdoksi aallonpituuden kasvattamiseen jää hiukkasten hidastaminen. Aaltomaisuuden havaitseminen muilla kuin kohtuullisen hitaasti liikkuvilla alkeishiukkasilla on suuri kokeellinen haaste, ja makroskooppisilla kappaleilla aaltomaisuuden havaitseminen on käytännössä mahdotonta.
Esimerkkitilanne: de Broglien aallonpituus ja kaksoisrakokoe
Tarkastellaan kaksoisraon läpi varjostimelle kulkevien elektronien muodostamaa interferenssikuviota. Elektroneja kertyy eniten niihin kohtiin, joissa raoista tulleet aallot vahvistavat toisiaan. Tällöin aaltojen on oltava samassa vaiheessa, eli matkaeron tulee olla kokonainen määrä aallonpituuksia, [[$k\lambda$]], missä [[$k=0,1,2,\ldots$]] Matkaero puolestaan on [[$d\sin\theta$]], missä [[$d$]] on rakojen etäisyys toisistaan ja [[$\theta$]] on kulma, jossa maksimi sijaitsee. Hilayhtälö on täsmälleen sama kuin valolle: [[$k\lambda=d\sin\theta$]].
Hilayhtälön mukaan maksimit syntyvät kulmiin
[[$\sin \theta =\dfrac{k\lambda}{d}\\ \theta_k=\arcsin\dfrac{k\lambda}{d}.$]]
Kulmat ovat sitä pienempiä, mitä pienempi aallonpituus on. Erittäin pienillä aallonpituuksilla maksimeja ei erota toisistaan, eikä interferenssikuviota havaita. de Broglien kaavan mukaan aallonpituus on sitä suurempi, mitä kevyemmästä hiukkasesta on kyse, ja mitä hitaammin se liikkuu. Kaksoisrakokokeen onnistumisen kannalta elektronit eivät kuitenkaan voi liikkua miten hitaasti tahansa. Elektroneilla on varaus, joten ne ovat alttiita sähkömagneettisille vuorovaikutuksille, eivätkä kulje suoraan kohti rakoa. Tämä tekee kokeen käytännön järjestelystä vaikeaa: elektronit on ammuttava riittävän suurella nopeudella, mutta tällöin interferenssikuvio pienenee ja sen havaitseminen on haasteellisempaa. Kokeen onnistui toteuttamaan ensimmäisen kerran saksalainen Claus Jönsson v. 1961.
de Broglien hypoteesin mukaisesti jokaisella hiukkasella on aallonpituus. Kuten edellä todettiin, hiukkasen massan kasvaessa sen aallonpituus pienenee, ja interferenssikuvion havaitseminen tulee vaikeammaksi. Toistaiseksi interferenssikuvio on onnistuttu havaitsemaan kaksoisrakokokeessa elektronien lisäksi esim. protoneilla ja joillakin molekyyleillä. Massiivisin molekyyli, jolla tässä on onnistuttu, on eräs orgaaninen yhdiste. Molekyylin massa on n. 10 000 -kertainen protonin massaan nähden. Näin ollen de Broglien hypoteesin voidaan katsoa osoitetun todeksi myös atomia selvästi suuremmille hiukkasille.
Esimerkkejä
Esimerkki 1
Laske de Broglien aallonpituus
a) jääkiekolle (massa 160g), joka liukuu jäällä nopeudella 8 m/s
b) adenovirukselle (massa 2,5[[$\cdot$]]10-19 kg), joka lähestyy solukalvoa nopeudella 0,5 mm/s
c) ydinreaktiossa vapautuneelle neutronille, jonka nopeus on hidastunut huomattavasti sen kulkiessa raskaan veden läpi (nopeus n. 10 km/s)
Esimerkki 2
Tarkimmat elektronimikroskoopit (katso sivupalkin tietolaatikko) pystyvät erottamaan 50 pikometrin kokoisia yksityiskohtia. Laske tällaisen elektronimikroskoopin käyttämien elektronien nopeus ja jännite, jolla elektronit tulee kiihdyttää. Miten tilanne muuttuu, jos elektronien nopeutta suurennetaan tai pienennetään?
Esimerkki 3
Ammuttaessa elektroneja kaksoisraon läpi varjostimelle, päämaksimin molemmille puolille muodostui sivumaksimit 2,8 cm:n päähän. Varjostin oli 97 cm:n päässä kaksoisraosta. Kaksoisraon rakojen etäisyys toisistaan oli 200 nm.
a) Laske elektronien de Broglien aallonpituus.
b) Laske elektronien nopeus ja kiihdyttämiseen vaadittu jännite.
c) Miten tilanne muuttuu, jos elektronien nopeutta kasvatetaan tai pienennetään?