Esimerkkien ratkaisut
Esimerkin 1 ratkaisu
Laske de Broglien aallonpituus
a) jääkiekolle (massa 160g), joka liukuu jäällä nopeudella 8 m/s
b) adenovirukselle (massa 2,5[[$\cdot 10^{-19}$]] kg), joka lähestyy solukalvoa nopeudella 0,5 mm/s
c) ydinreaktiossa vapautuneelle neutronille, jonka nopeus on hidastunut huomattavasti sen kulkiessa raskaan veden läpi (nopeus n. 10 km/s)
De Broglien aallonpituus on [[$\lambda=\dfrac{h}{mv}$]]. Kysytyille kappaleille saadaan aallonpituuksiksi
a)
Jääkiekko: [[$\lambda=\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\text{ Js}}{0,160\text{ kg}\cdot 8\text{ m/s}}=5,1\dotso\cdot 10^{-34}\text{ m}\approx 5\cdot 10^{-34}\text{ m}$]]
b)
Adenovirus: [[$\lambda=\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\text{ Js}}{2,5\cdot 10^{-19}\text{ kg}\cdot 0,0005\text{ m/s}}=5,3\dotso\cdot 10^{-12}\text{ m}\approx 5\cdot 10^{-12}\text{ m}$]]
c)
Neutroni: [[$\lambda=\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\text{ Js}}{1,675\cdot 10^{-27}\text{ kg}\cdot 10 \ 000\text{ m/s}}=3,9\dotso\cdot 10^{-11}\text{ m}\approx 4\cdot 10^{-11}\text{ m}$]]
Jääkiekon aallonpituus on monta kertaluokkaa pienempi kuin pienimmät alkeishiukkaset. Jääkiekon aaltomaisuutta ei näy millään koejärjestelyllä. Adenoviruksen ja etenkin neutronin aaltomaisuus voidaan havaita.
Esimerkin 2 ratkaisu
Tarkimmat elektronimikroskoopit (katso sivupalkin tietolaatikko) pystyvät erottamaan 50 pikometrin kokoisia yksityiskohtia. Laske tällaisen elektronimikroskoopin käyttämien elektronien nopeus ja jännite, jolla elektronit tulee kiihdyttää. Miten tilanne muuttuu, jos elektronien nopeutta suurennetaan tai pienennetään?
Erotuskyky on samaa suuruusluokkaa kuin elektronien de Broglien aallonpituus. Ratkaistaan aallonpituuden lausekkeesta nopeus:
[[$ \quad \begin{align*}\lambda&=\dfrac{h}{mv} \\ \ \\ v&=\dfrac{h}{m\lambda}=\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\text{ Js}}{9,109\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot 50\cdot 10^{-12}\text{ m}}=1,4\cdot 10^7\text{ m/s}\approx 1\cdot 10^7\text{ m/s} \\ \end{align*}$]]
Kiihdytysjännite tarkoittaa jännitettä, jonka yli elektroni liikkuu sähköisen voiman kiihdyttäessä sitä. Kiihdytyksessä elektronin sähköinen potentiaalienergia [[$E_\text{P}=qU$]] muuttuu liike-energiaksi [[$E_\text{K}=\dfrac{1}{2}mv^2$]]. Saadaan yhtälö, josta jännite ratkeaa:
[[$ \quad \begin{align*}E_\text{P}&=E_\text{K} \\ \ \\ qU&=\dfrac{1}{2}mv^2 \\ \ \\ U&=\dfrac{mv^2}{2q}=\dfrac{9,1\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot \left(1,4\cdot 10^7\text{ m/s}\right)^2}{2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\text{ C}}=557,3\dots\text{V}\approx 600\text{ V} \\ \end{align*}$]]
Kun elektronien nopeutta kasvatetaan, niiden de Broglien aallonpituus pienenee. Aaltomaisuus on yhä vaikeammin havaittavissa, elektronit vaikuttavat pistemmäisemmilta ja erottelukyky kasvaa. Pienennettäessä nopeutta käy päinvastoin.
Esimerkin 3 ratkaisu
Ammuttaessa elektroneja kaksoisraon läpi varjostimelle, päämaksimin molemmille puolille muodostui sivumaksimit 2,8 cm:n päähän. Varjostin oli 97 cm:n päässä kaksoisraosta. Kaksoisraon rakojen etäisyys toisistaan oli 200 nm.
a) Laske elektronien de Broglien aallonpituus.
b) Laske elektronien nopeus ja kiihdyttämiseen vaadittu jännite.
c) Miten tilanne muuttuu, jos elektronien nopeutta kasvatetaan tai pienennetään?
a) Aallonpituus saadaan hilayhtälöstä [[$k\lambda=d\sin\theta$]]. Nyt kyse on ensimmäisestä sivumaksimista, joten [[$k=1$]]. Kulma saadaan annetuista tiedoista trigonometrialla:
[[$ \quad \tan\theta=\dfrac{2,8\text{ cm}}{97\text{ cm}}\qquad\Rightarrow\qquad\theta=\arctan\dfrac{2,8\text{ cm}}{97\text{ cm}}=1,6534\dots^\circ\approx 1,653^\circ$]]
Aallonpituudeksi tulee
[[$ \quad \lambda=d\sin\theta=200\cdot 10^{-9}\text{ m}\cdot\sin 1,653^\circ=5,770\cdot 10^{-9}\text{ m}\approx 5,8\text{ nm}$]]
b) De Broglien kaavan mukaan [[$\lambda=\dfrac{h}{mv}$]]. Tästä saadaan nopeudeksi
[[$ \quad v=\dfrac{h}{m\lambda}=\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\text{ Js}}{9,109\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot 5,77\cdot 10^{-9}\text{ m}}=126068,0\dots\text{ m/s}\approx 130\text{ km/s}$]]
Kiihdytysjännite saadaan energiaperiaatteella. Kaikki elektronien liike-energia on peräisin kiihdytyksessä vapautuneesta sähköisestä potentiaalienergiasta:
[[$\begin{align*}E_\text{KIN}&=E_\text{POT}\\ \dfrac{1}{2}mv^2&=qU\\U&=\dfrac{mv^2}{2q}=\dfrac{9,109\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot\left(126\,000\text{ m/s}\right)^2}{2\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\text{ C}}=45,1\dots\text{ mV}\approx 45\text{ mV}\\\end{align*}$]]
c) Jos nopeutta kasvatetaan, aallonpituus pienenee. Tällöin myös kulma, jossa sivumaksimi näkyy, muuttuu pienemmäksi, ja ennen pitkää sivumaksimit eivät erotu päämaksimista. Aallonpituuden pienentyessä aaltoluonnetta on hankalampi havaita.
Jos nopeutta pienennetään, tapahtuu päinvastoin, ja sivumaksimit erottuvat entistä selvemmin. Tällöin kuitenkin elektronien nopeus pienenee myös, jolloin ne ovat entistä alttiimpia häiriöille kulkiessaan kohti kaksoisrakoa.