Esimerkkien ratkaisut
Esimerkin 1 ratkaisu
Elektroneja kiihdytetään 1,5 kV:n jännitteellä, minkä jälkeen elektronisuihku ohjataan kohtisuorasti homogeeniseen magneettikenttään. Kuinka suuri pitää magneettikentän magneettivuon tiheyden olla, kun elektronisuihkun radan säteeksi halutaan 12 cm?
Ratkaisu
Ratkaistaan ensin elektronien nopeus kiihdyttävän sähkökentän jälkeen.
Työperiaatteen mukaan sähkökentän tekemä työ on yhtä suuri kuin elektronin liike-energian muutos. Oletetaan, että elektronit ovat aluksi levossa, jolloin elektronien liike-energia on 0.
[[$ \begin{align}
W&=\Delta E_k \\ \, \\
\quad qU&=\dfrac{1}{2}mv^2-0 \\ \, \\
v&=\sqrt{\dfrac{2qU}{m}} \\ \, \\
v&=\sqrt{\dfrac{2\cdot1,6022 \cdot 10^{-19} \text{ C}\cdot 1500 \text{ V}}{9,1094 \cdot 10^{-31}\text{ kg}}} \\ \, \\
v&=22 \ 970\ 693,3 \ldots \text{ m/s}
\end{align} $]]
Elektronien saapuessa kohtisuorasti homogeeniseen magneettikenttään ne joutuvat tasaiseen ympyräliikkeeseen. Ratkaistaan Newtonin II lain avulla magneettivuon tiheyden suuruus.
[[$ \begin{align}
\quad \sum \overline{F}&=m\overline{a}_n \\ \, \\
F_m&=ma_n \\ \, \\
QvB&=m\dfrac{v^2}{r} \\ \, \\
B&=\dfrac{mv}{Qr} \\ \, \\
B&=\dfrac{9,1094 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 22 \ 970 \ 693 \text{ m/s}}{1,6022 \cdot 10^{-19} \cdot 0,12 \text{ m}} \\ \, \\
B&=0,00108\ldots \text{ m} \approx 1,1 \text{ mT}
\end{align} $]]
Magneettikentän magneettivuon tiheyden pitää olla n. 1,1 mT.
Esimerkin 2 ratkaisu
Kiihdyttimestä tulevan 12C+-ionisuihkun ionien energia on 65 keV. Ionit hidastetaan metallilevyjen A ja B välisellä sähkökentällä (kuva) sellaiseen nopeuteen, että niiden puoliympyrän muotoisen radan säde magneettikentässä ([[$ B $]] = 0,147 T) on 48 cm. Kuinka suuri on levyn A potentiaali, kun levyn B potentiaali on 0 V? Piirrä kuvio, josta ilmenee sähkökentän ja magneettikentän suunta.
(Ylioppilaskoe K2006)
Ratkaisu
Piirretään kuvio, jossa on sähkökentän ja magneettikentän suunta.
Homogeeniseen magneettikenttään kohtisuorasti saapuva ioni joutuu tasaiseen ympyräliikkeeseen. Newtonin II lain mukaan saadaan ratkaistua nopeus, jolla ionit tulevat magneettikenttään.
[[$ \begin{align}
\sum \overline{F}&=m\overline{a} \\ \, \\
F_m&=ma_n \\\, \\
\quad QvB&=m\dfrac{v^2}{r} \\\, \\
QB&=m\dfrac{v}{r} \\\, \\
QBr&=mv \\\, \\
v&=\dfrac{QBr}{m} \\\, \\
v&=\dfrac{1,6022 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 0,147 \text{ T} \cdot 0,48 \text{ m}}{12,000 \cdot 1,66054\cdot 10^{-27} \text{ kg}} \\\, \\
v&=567 \ 341,7 \ldots \text{ m/s}
\end{align} $]]
Lasketaan tällä nopeudella magneettikenttään tulevien ionien liike-energia.
[[$ \begin{align}
\quad E_k&=\dfrac{1}{2}mv^2\\ \, \\
E_k&=\dfrac{1}{2}\cdot 12,000 \cdot 1,66054 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot (567 \ 341,7 \text{ m/s})^2 \\ \, \\
E_k&=8,0173 \ldots \cdot 10^{-16} \text{ J} \quad &&||1 \text{ eV} = 3,2069 \cdot 10^{-15} \text{ J} \\ \, \\
E_k&=20 \ 018,3 \ldots \text{ eV} \approx 20 \text{ keV}
\end{align} $]]
Ionin liike-energia sen saapuessa magneettikenttään on n. 20 keV ja ennen sähkökenttää n. 65 keV.
Työperiaatteen avulla saadaan ratkaistua potentiaali pisteessä A.
[[$ \begin{align*}
W&=\Delta E_k \\ \, \\
\quad QU&=E_{k,lopuksi}-E_{k,aluksi} \\ \, \\
\quad e\cdot U&=20 \text{ keV} - 65 \text{ keV} \quad &&||:e \\ \, \\
U&=-45 \text{ kV}
\end{align*} $]]
Pisteiden A ja B välinen potentiaaliero on jännite, eli [[$ U_{\text {AB}} = V_{\text {A}} - V_{\text {B}} $]]. Koska [[$ V_{\text {B}} = 0 \text { V} $]], niin [[$ V_{\text {A}} = -45 \text { kV} $]].
Levyn A potentiaali on -45 kV.