Esimerkkien ratkaisut
Esimerkin 1 ratkaisu
Fotonin energia on 2,8 eV. Laske sen liikemäärä.
RatkaisuFotonin energiakaavan perusteella voidaan ratkaista sen aallonpituus:
[[$\begin{align*} \quad E&=hf=\dfrac {hc}{\lambda} \\ \ \\ \quad \lambda&=\dfrac {hc}{E}=\dfrac{4{,}136\cdot10^{-15}\ \mathrm{eVs}\cdot2{,}998\cdot10^8\ \mathrm{\dfrac{m}{s}}}{2{,}8\ \mathrm{eV}}=442,84\dots\text{nm}\approx4{,}428\cdot10^{-7}\mathrm{\ m} \\ \end{align*} $]]
Fotonin liikemäärä on
[[$ \quad p=\dfrac{h}{\lambda}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}\ \mathrm{Js}}{4{,}428\cdot10^{-7}\mathrm{\ m}}=1,49\dotso\cdot 10^{-27}\text{ kg m/s}\approx1{,}5\cdot10^{-27}\ \text{kg m/s} $]]
Liikemäärä on 1,5 ⋅ 10-27 kg m/s.
Esimerkin 2 ratkaisu
Comptonin sironnassa fotoni, jonka aallonpituus on 8,5 nm, osuu vapaaseen elektroniin. Elektronista siroavan fotonin aallonpituus on 21 nm. Laske, kuinka suuren energian elektroni saa.
RatkaisuEnergia säilyy. Elektronin saama energia on tulevan ja siroavan fotonin energioiden erotus.
[[$\begin{align*} \quad E_{\mathrm{elektroni}}&=E_1-E_2=\dfrac{hc}{\lambda_1}-\dfrac{hc}{\lambda_2} \\ \ \\ \quad E_{\mathrm{elektroni}}&=\dfrac{4{,}136\cdot10^{-15}\ \mathrm{eVs}\cdot2{,}998\cdot10^8\ \mathrm{m/s}}{8{,}5\cdot10^{-9}\mathrm{\ m}}-\dfrac{4{,}136\cdot10^{-15}\ \mathrm{eVs}\cdot2{,}998\cdot10^8\ \mathrm{m/s}}{21\cdot10^{-9}\mathrm{\ m}}=86,8\dots\text{eV}\approx87\mathrm{\ eV} \\ \end{align*} $]]
Elektronin saama energia on 87 eV.
Esimerkin 3 ratkaisu
Auringon valon intensiteetti Maassa on 1300 W/m2. Oletetaan valon keskimääräiseksi aallonpituudeksi 510 nm. Laske paine, jonka valo kohdistaa absorboituessaan lierihattuun, jonka pinta-ala on 0,071 m2.
RatkaisuImpulssiperiaatteen mukaan voidaan ilmaista hattuun kohdistuva voima.
[[$ \begin{align*}\quad F\cdot\Delta t&=\Delta p \\ \ \\ \quad F&=\dfrac{\Delta p}{\Delta t} \\ \end{align*}$]]
Liikemäärän muutos aikayksikössä on yhtä suuri kuin absorboituvien fotonien kokonaisliikemäärä. Fotonien lukumäärää merkitään N.
[[$ \quad F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}=\dfrac{N\cdot \frac{h}{\lambda }}{\Delta t}=\dfrac{Nh}{\lambda \Delta t} $]]
Fotonien lukumäärä lasketaan niiden intensiteetin ja energian avulla:
[[$ \quad N=\dfrac{E\mathrm{_{kok}}}{E\mathrm{_{fotoni}}}=\dfrac{P\Delta t}{hf}=\dfrac{P\Delta t \lambda}{hc}=\dfrac{IA\Delta t\lambda}{hc} $]]
Voiman lauseke on siis
[[$ \quad F=\dfrac{Nh}{\lambda\Delta t}=N\cdot \dfrac{h}{\lambda \Delta t}=\dfrac{IA\Delta t\lambda}{hc}\cdot \dfrac{h}{\lambda \Delta t}=\dfrac{IA}{c} $]]
[[$ \quad F=\dfrac{IA}{c} = \dfrac{1300\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\cdot 0,071 \text{ m}^2}{2{,}998\cdot10^{8\ }\ \mathrm{m/s}}=3,053\cdot 10^{-7} \text{ N}\approx 3,1\cdot 10^{-7}\text{ N} $]]
Voiman suuruus on 3,1 ⋅ 10-7 N.Esimerkin 4 ratkaisu
Ammuttaessa elektroneja kaksoisraon läpi varjostimelle päämaksimin molemmille puolille muodostui sivumaksimit 2,8 cm:n päähän. Varjostin oli 97 cm:n päässä kaksoisraosta. Kaksoisraon rakojen etäisyys toisistaan oli 200 nm.
- Laske elektronien de Broglien aallonpituus.
- Laske elektronien nopeus ja kiihdyttämiseen vaadittu jännite.
- Miten tilanne muuttuu, jos elektronien nopeutta kasvatetaan tai pienennetään?
Ratkaisu
a. Aallonpituus saadaan hilayhtälöstä [[$k\lambda=d\sin\theta$]]. Nyt kyse on ensimmäisestä sivumaksimista, joten [[$k=1$]]. Kulma saadaan annetuista tiedoista trigonometrialla:
[[$ \quad \tan\theta=\dfrac{2,8\text{ cm}}{97\text{ cm}}\qquad\Rightarrow\qquad\theta=\arctan\dfrac{2,8\text{ cm}}{97\text{ cm}}=1,6534\dots^\circ\approx 1,653^\circ$]]
Aallonpituudeksi tulee
[[$ \quad \lambda=d\sin\theta=200\cdot 10^{-9}\text{ m}\cdot\sin 1,653^\circ=5,770\cdot 10^{-9}\text{ m}\approx 5,8\text{ nm}$]]
de Broglien aallonpituus on 5,8 nm.b. De Broglien kaavan mukaan [[$\lambda=\dfrac{h}{mv}$]]. Tästä saadaan nopeudeksi
[[$ \quad v=\dfrac{h}{m\lambda}=\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\text{ Js}}{9,109\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot 5,77\cdot 10^{-9}\text{ m}}=126068,0\dots\text{ m/s}\approx 130\text{ km/s}$]]
Kiihdytysjännite saadaan energiaperiaatteella. Kaikki elektronien liike-energia on peräisin kiihdytyksessä vapautuneesta sähköisestä potentiaalienergiasta:
[[$\begin{align*} \quad E_\text{KIN}&=E_\text{POT}\\ \dfrac{1}{2}mv^2&=qU\\U&=\dfrac{mv^2}{2q}=\dfrac{9,109\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot\left(126\,000\text{ m/s}\right)^2}{2\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\text{ C}}=45,1\dots\text{ mV}\approx 45\text{ mV}\\\end{align*}$]]
Nopeus on 130 km/s ja kiihdytysjännite 45 mV.
c. Jos nopeutta kasvatetaan, aallonpituus pienenee. Tällöin myös kulma, jossa sivumaksimi näkyy, muuttuu pienemmäksi, ja ennen pitkää sivumaksimit eivät erotu päämaksimista. Aallonpituuden pienentyessä aaltoluonnetta on hankalampi havaita.
Jos nopeutta pienennetään, tapahtuu päinvastoin, ja sivumaksimit erottuvat entistä selvemmin. Tällöin kuitenkin elektronien nopeus pienenee myös, jolloin ne ovat entistä alttiimpia häiriöille kulkiessaan kohti kaksoisrakoa.
Esimerkin 5 ratkaisu
Tarkimmat elektronimikroskoopit (katso tietolaatikko) pystyvät erottamaan 50 pikometrin kokoisia yksityiskohtia. Laske tällaisen elektronimikroskoopin käyttämien elektronien nopeus ja jännite, jolla elektronit tulee kiihdyttää. Miten tilanne muuttuu, jos elektronien nopeutta suurennetaan tai pienennetään?
Ratkaisu
Erotuskyky on samaa suuruusluokkaa kuin elektronien de Broglien aallonpituus. Ratkaistaan aallonpituuden lausekkeesta nopeus:
[[$ \quad \begin{align*}\lambda&=\dfrac{h}{mv} \\ \ \\ v&=\dfrac{h}{m\lambda}=\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\text{ Js}}{9,109\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot 50\cdot 10^{-12}\text{ m}}=1,4\cdot 10^7\text{ m/s}\approx 1\cdot 10^7\text{ m/s} \\ \end{align*}$]]
Kiihdytysjännite tarkoittaa jännitettä, jonka yli elektroni liikkuu sähköisen voiman kiihdyttäessä sitä. Kiihdytyksessä sähkökentän sähköinen potentiaalienergia [[$E_\text{P}=qU$]] muuttuu liike-energiaksi [[$E_\text{K}=\dfrac{1}{2}mv^2$]]. Saadaan yhtälö, josta jännite ratkeaa:
[[$ \quad \begin{align*}E_\text{P}&=E_\text{K} \\ \ \\ qU&=\dfrac{1}{2}mv^2 \\ \ \\ U&=\dfrac{mv^2}{2q}=\dfrac{9,1\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot \left(1,4\cdot 10^7\text{ m/s}\right)^2}{2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\text{ C}}=557,3\dots\text{V}\approx 600\text{ V} \\ \end{align*}$]]
Kun elektronien nopeutta kasvatetaan, niiden de Broglien aallonpituus pienenee. Aaltomaisuus on yhä vaikeammin havaittavissa, elektronit vaikuttavat pistemäisemmiltä ja erottelukyky kasvaa. Pienennettäessä nopeutta käy päinvastoin.